MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfvalrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfvalrn 19349
Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfvalrn ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}

Proof of Theorem pmtrprfvalrn
Dummy variables 𝑡 𝑝 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrprfval 19348 . . 3 (pmTrsp‘{1, 2}) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
21rneqi 5934 . 2 ran (pmTrsp‘{1, 2}) = ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
3 eqid 2733 . . . 4 (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
43rnmpt 5952 . . 3 ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))}
5 1ex 11206 . . . . . . . 8 1 ∈ V
6 id 22 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V → 1 ∈ V)
7 2nn 12281 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V → 2 ∈ ℕ)
9 iftrue 4533 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
109adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ V ∧ 𝑧 = 1) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
11 1ne2 12416 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 2
1211nesymi 2999 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 = 1
13 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 2 → (𝑧 = 1 ↔ 2 = 1))
1412, 13mtbiri 327 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 = 1)
1514iffalsed 4538 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 2 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
1615adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ V ∧ 𝑧 = 2) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
176, 8, 8, 6, 10, 16fmptpr 7165 . . . . . . . . 9 (1 ∈ V → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
1817eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (1 ∈ V → (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))))
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
2019bicomi 223 . . . . . 6 (𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)) ↔ 𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
2120rexbii 3095 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)) ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
2221abbii 2803 . . . 4 {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))} = {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
23 prex 5431 . . . . . . . 8 {1, 2} ∈ V
2423snnz 4779 . . . . . . 7 {{1, 2}} ≠ ∅
25 r19.9rzv 4498 . . . . . . . 8 ({{1, 2}} ≠ ∅ → (𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2625bicomd 222 . . . . . . 7 ({{1, 2}} ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2724, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
28 vex 3479 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
29 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3029rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑠 → (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3128, 30elab 3667 . . . . . 6 (𝑠 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
32 velsn 4643 . . . . . 6 (𝑠 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
3327, 31, 323bitr4i 303 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ 𝑠 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
3433eqriv 2730 . . . 4 {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
3522, 34eqtri 2761 . . 3 {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))} = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
364, 35eqtri 2761 . 2 ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
372, 36eqtri 2761 1 ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wne 2941  wrex 3071  Vcvv 3475  c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629  cop 4633  cmpt 5230  ran crn 5676  cfv 6540  1c1 11107  cn 12208  2c2 12263  pmTrspcpmtr 19302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-pmtr 19303
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  19384
  Copyright terms: Public domain W3C validator