Theorem pmtrprfvalrn 19454

Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfvalrn	⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}

Proof of Theorem pmtrprfvalrn

Dummy variables 𝑡 𝑝 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrprfval 19453	. . 3 ⊢ (pmTrsp‘{1, 2}) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
2	1	rneqi 5886	. 2 ⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
4	3	rnmpt 5906	. . 3 ⊢ ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))}
5		1ex 11131	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
6		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ V → 1 ∈ V)
7		2nn 12245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ V → 2 ∈ ℕ)
9		iftrue 4473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑧 = 1) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
11		1ne2 12375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 2
12	11	nesymi 2990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 = 1
13		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = 1 ↔ 2 = 1))
14	12, 13	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 = 1)
15	14	iffalsed 4478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 2 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑧 = 2) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
17	6, 8, 8, 6, 10, 16	fmptpr 7120	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ V → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
18	17	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ V → (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))))
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
20	19	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)) ↔ 𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
21	20	rexbii 3085	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)) ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
22	21	abbii 2804	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))} = {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
23		prex 5375	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 2} ∈ V
24	23	snnz 4721	. . . . . . 7 ⊢ {{1, 2}} ≠ ∅
25		r19.9rzv 4446	. . . . . . . 8 ⊢ ({{1, 2}} ≠ ∅ → (𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
26	25	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ ({{1, 2}} ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
28		vex 3434	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
29		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
30	29	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
31	28, 30	elab 3623	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
32		velsn 4584	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
33	27, 31, 32	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ 𝑠 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
34	33	eqriv 2734	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
35	22, 34	eqtri 2760	. . 3 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))} = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
36	4, 35	eqtri 2760	. 2 ⊢ ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
37	2, 36	eqtri 2760	1 ⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625  ‘cfv 6492  1c1 11030  ℕcn 12165  2c2 12227  pmTrspcpmtr 19407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-pmtr 19408

This theorem is referenced by:  psgnprfval2  19489