MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfvalrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfvalrn 19506
Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfvalrn ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}

Proof of Theorem pmtrprfvalrn
Dummy variables 𝑡 𝑝 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrprfval 19505 . . 3 (pmTrsp‘{1, 2}) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
21rneqi 5948 . 2 ran (pmTrsp‘{1, 2}) = ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
3 eqid 2737 . . . 4 (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
43rnmpt 5968 . . 3 ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))}
5 1ex 11257 . . . . . . . 8 1 ∈ V
6 id 22 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V → 1 ∈ V)
7 2nn 12339 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V → 2 ∈ ℕ)
9 iftrue 4531 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
109adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ V ∧ 𝑧 = 1) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
11 1ne2 12474 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 2
1211nesymi 2998 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ 2 = 1
13 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 2 → (𝑧 = 1 ↔ 2 = 1))
1412, 13mtbiri 327 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 = 1)
1514iffalsed 4536 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 2 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
1615adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ V ∧ 𝑧 = 2) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
176, 8, 8, 6, 10, 16fmptpr 7192 . . . . . . . . 9 (1 ∈ V → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
1817eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (1 ∈ V → (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))))
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
2019bicomi 224 . . . . . 6 (𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)) ↔ 𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
2120rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)) ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
2221abbii 2809 . . . 4 {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))} = {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
23 prex 5437 . . . . . . . 8 {1, 2} ∈ V
2423snnz 4776 . . . . . . 7 {{1, 2}} ≠ ∅
25 r19.9rzv 4500 . . . . . . . 8 ({{1, 2}} ≠ ∅ → (𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2625bicomd 223 . . . . . . 7 ({{1, 2}} ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2724, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
28 vex 3484 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
29 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3029rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑠 → (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3128, 30elab 3679 . . . . . 6 (𝑠 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
32 velsn 4642 . . . . . 6 (𝑠 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
3327, 31, 323bitr4i 303 . . . . 5 (𝑠 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ 𝑠 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
3433eqriv 2734 . . . 4 {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
3522, 34eqtri 2765 . . 3 {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))} = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
364, 35eqtri 2765 . 2 ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
372, 36eqtri 2765 1 ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628  cop 4632  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  1c1 11156  cn 12266  2c2 12321  pmTrspcpmtr 19459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-pmtr 19460
This theorem is referenced by:  psgnprfval2  19541
  Copyright terms: Public domain W3C validator