Theorem pmtrprfvalrn 19418

Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfvalrn	⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}

Proof of Theorem pmtrprfvalrn

Dummy variables 𝑡 𝑝 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrprfval 19417	. . 3 ⊢ (pmTrsp‘{1, 2}) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
2	1	rneqi 5901	. 2 ⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
4	3	rnmpt 5921	. . 3 ⊢ ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))}
5		1ex 11170	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
6		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ V → 1 ∈ V)
7		2nn 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ V → 2 ∈ ℕ)
9		iftrue 4494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑧 = 1) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
11		1ne2 12389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 2
12	11	nesymi 2982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 = 1
13		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = 1 ↔ 2 = 1))
14	12, 13	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 = 1)
15	14	iffalsed 4499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 2 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑧 = 2) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
17	6, 8, 8, 6, 10, 16	fmptpr 7146	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ V → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
18	17	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ V → (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))))
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
20	19	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)) ↔ 𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
21	20	rexbii 3076	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)) ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
22	21	abbii 2796	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))} = {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
23		prex 5392	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 2} ∈ V
24	23	snnz 4740	. . . . . . 7 ⊢ {{1, 2}} ≠ ∅
25		r19.9rzv 4463	. . . . . . . 8 ⊢ ({{1, 2}} ≠ ∅ → (𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
26	25	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ ({{1, 2}} ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
28		vex 3451	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
29		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
30	29	rexbidv 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
31	28, 30	elab 3646	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
32		velsn 4605	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
33	27, 31, 32	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ 𝑠 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
34	33	eqriv 2726	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
35	22, 34	eqtri 2752	. . 3 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))} = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
36	4, 35	eqtri 2752	. 2 ⊢ ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
37	2, 36	eqtri 2752	1 ⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3447  ∅c0 4296  ifcif 4488  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639  ‘cfv 6511  1c1 11069  ℕcn 12186  2c2 12241  pmTrspcpmtr 19371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296  df-pmtr 19372

This theorem is referenced by:  psgnprfval2  19453