Theorem pmtrprfvalrn 19615

Description: The range of the transpositions on a pair is actually a singleton: the transposition of the two elements of the pair. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pmtrprfvalrn	⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}

Proof of Theorem pmtrprfvalrn

Dummy variables 𝑡 𝑝 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrprfval 19614	. . 3 ⊢ (pmTrsp‘{1, 2}) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
2	1	rneqi 5921	. 2 ⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
4	3	rnmpt 5941	. . 3 ⊢ ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))}
5		1ex 11227	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
6		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ V → 1 ∈ V)
7		2nn 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ V → 2 ∈ ℕ)
9		iftrue 4488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
10	9	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑧 = 1) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 2)
11		1ne2 12475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 2
12	11	nesymi 3012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ 2 = 1
13		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 = 1 ↔ 2 = 1))
14	12, 13	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 = 1)
15	14	iffalsed 4493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 2 → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑧 = 2) → if(𝑧 = 1, 2, 1) = 1)
17	6, 8, 8, 6, 10, 16	fmptpr 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ V → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
18	17	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ V → (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))))
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)))
20	19	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)) ↔ 𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
21	20	rexbii 3109	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1)) ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
22	21	abbii 2827	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))} = {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
23		prex 5403	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 2} ∈ V
24	23	snnz 4737	. . . . . . 7 ⊢ {{1, 2}} ≠ ∅
25		r19.9rzv 4461	. . . . . . . 8 ⊢ ({{1, 2}} ≠ ∅ → (𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
26	25	bicomd 226	. . . . . . 7 ⊢ ({{1, 2}} ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
28		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
29		eqeq1 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
30	29	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
31	28, 30	elab 3633	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
32		velsn 4600	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ 𝑠 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩})
33	27, 31, 32	3bitr4i 306	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} ↔ 𝑠 ∈ {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
34	33	eqriv 2757	. . . 4 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
35	22, 34	eqtri 2783	. . 3 ⊢ {𝑡 ∣ ∃𝑝 ∈ {{1, 2}}𝑡 = (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))} = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
36	4, 35	eqtri 2783	. 2 ⊢ ran (𝑝 ∈ {{1, 2}} ↦ (𝑧 ∈ {1, 2} ↦ if(𝑧 = 1, 2, 1))) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
37	2, 36	eqtri 2783	1 ⊢ ran (pmTrsp‘{1, 2}) = {{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ∅c0 4279  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ‘cfv 6533  1c1 11125  ℕcn 12257  2c2 12319  pmTrspcpmtr 19568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-hash 14395  df-pmtr 19569

This theorem is used by:  psgnprfval2  19650