Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0sn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0sn 44706
Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0sn.1 (𝜑𝐴𝑉)
sge0sn.2 (𝜑𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0sn (𝜑 → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))

Proof of Theorem sge0sn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5389 . . . . 5 {𝐴} ∈ V
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
3 sge0sn.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
43adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
5 id 22 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = +∞ → (𝐹𝐴) = +∞)
65eqcomd 2739 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) = +∞ → +∞ = (𝐹𝐴))
76adantl 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → +∞ = (𝐹𝐴))
83ffund 6673 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → Fun 𝐹)
10 sge0sn.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
11 snidg 4621 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ {𝐴})
133fdmd 6680 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = {𝐴})
1413eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐴} = dom 𝐹)
1512, 14eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
17 fvelrn 7028 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
189, 16, 17syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
197, 18eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
202, 4, 19sge0pnfval 44700 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = +∞)
21 simpr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = +∞)
2220, 21eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))
231a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
243adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
25 elsni 4604 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ {(𝐹𝐴)} → +∞ = (𝐹𝐴))
2625eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ {(𝐹𝐴)} → (𝐹𝐴) = +∞)
2726con3i 154 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝐴) = +∞ → ¬ +∞ ∈ {(𝐹𝐴)})
2827adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ {(𝐹𝐴)})
2910, 3rnsnf 43490 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = {(𝐹𝐴)})
3029eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝐹𝐴)} = ran 𝐹)
3130adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → {(𝐹𝐴)} = ran 𝐹)
3228, 31neleqtrd 2856 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3324, 32fge0iccico 44697 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,)+∞))
3423, 33sge0reval 44699 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
35 sum0 15611 . . . . . . . 8 Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦) = 0
3635eqcomi 2742 . . . . . . 7 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦))
38 nfcvd 2905 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝑦(𝐹𝐴))
39 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑦(𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞)
40 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
4140adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
4210adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐴𝑉)
43 rge0ssre 13379 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
44 ax-resscn 11113 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44sstri 3954 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4642, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ {𝐴})
4733, 46ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,)+∞))
4845, 47sselid 3943 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
4938, 39, 41, 42, 48sumsnd 43319 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
5049eqcomd 2739 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦))
5137, 50preq12d 4703 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → {0, (𝐹𝐴)} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)})
5251supeq1d 9387 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}, ℝ*, < ))
53 xrltso 13066 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
5453a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ*)
55 0xr 11207 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
5655a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
57 iccssxr 13353 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
583, 12ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
5957, 58sselid 3943 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
60 suppr 9412 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹𝐴) < 0, 0, (𝐹𝐴)))
6154, 56, 59, 60syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹𝐴) < 0, 0, (𝐹𝐴)))
62 pnfxr 11214 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6456, 63, 583jca 1129 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞)))
65 iccgelb 13326 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐴))
6756, 59xrlenltd 11226 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ ¬ (𝐹𝐴) < 0))
6866, 67mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐴) < 0)
6968iffalsed 4498 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝐹𝐴) < 0, 0, (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
7061, 69eqtr2d 2774 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) = sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ))
7170adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ))
72 pwsn 4858 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 {𝐴} = {∅, {𝐴}}
7372ineq1i 4169 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = ({∅, {𝐴}} ∩ Fin)
74 0fin 9118 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
75 snfi 8991 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴} ∈ Fin
76 prssi 4782 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → {∅, {𝐴}} ⊆ Fin)
7774, 75, 76mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 {∅, {𝐴}} ⊆ Fin
78 df-ss 3928 . . . . . . . . . . . . 13 ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin ↔ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
7978biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin → ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
8173, 80eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
82 mpteq1 5199 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}} → (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
84 0ex 5265 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ∅ ∈ V)
861a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → {𝐴} ∈ V)
87 sumex 15578 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦) ∈ V
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦) ∈ V)
89 sumex 15578 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦) ∈ V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦) ∈ V)
91 sumeq1 15579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦))
9291adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 = ∅) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦))
93 sumeq1 15579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝐴} → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦))
9493adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 = {𝐴}) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦))
9585, 86, 88, 90, 92, 94fmptpr 7119 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
9695mptru 1549 . . . . . . . . . 10 {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
9796eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩}
9883, 97eqtri 2761 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩}
9998rneqi 5893 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩}
100 rnpropg 6175 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)})
10184, 1, 100mp2an 691 . . . . . . 7 ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}
10299, 101eqtri 2761 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}
103102supeq1i 9388 . . . . 5 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}, ℝ*, < )
104103a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}, ℝ*, < ))
10552, 71, 1043eqtr4d 2783 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
10634, 105eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))
10722, 106pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107  Vcvv 3444  cin 3910  wss 3911  c0 4283  ifcif 4487  𝒫 cpw 4561  {csn 4587  {cpr 4589  cop 4593   class class class wbr 5106  cmpt 5189   Or wor 5545  dom cdm 5634  ran crn 5635  Fun wfun 6491  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  supcsup 9381  cc 11054  cr 11055  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195  [,)cico 13272  [,]cicc 13273  Σcsu 15576  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  sge0snmpt  44710  sge0sup  44718  sge0snmptf  44764  caratheodorylem1  44853
  Copyright terms: Public domain W3C validator