Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0sn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0sn 42225
Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0sn.1 (𝜑𝐴𝑉)
sge0sn.2 (𝜑𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0sn (𝜑 → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))

Proof of Theorem sge0sn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5230 . . . . 5 {𝐴} ∈ V
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
3 sge0sn.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
5 id 22 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = +∞ → (𝐹𝐴) = +∞)
65eqcomd 2803 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) = +∞ → +∞ = (𝐹𝐴))
76adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → +∞ = (𝐹𝐴))
83ffund 6393 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → Fun 𝐹)
10 sge0sn.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
11 snidg 4510 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ {𝐴})
133fdmd 6398 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = {𝐴})
1413eqcomd 2803 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐴} = dom 𝐹)
1512, 14eleqtrd 2887 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
17 fvelrn 6716 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
189, 16, 17syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
197, 18eqeltrd 2885 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
202, 4, 19sge0pnfval 42219 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = +∞)
21 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = +∞)
2220, 21eqtr4d 2836 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))
231a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
243adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
25 elsni 4495 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ {(𝐹𝐴)} → +∞ = (𝐹𝐴))
2625eqcomd 2803 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ {(𝐹𝐴)} → (𝐹𝐴) = +∞)
2726con3i 157 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝐴) = +∞ → ¬ +∞ ∈ {(𝐹𝐴)})
2827adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ {(𝐹𝐴)})
2910, 3rnsnf 41005 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = {(𝐹𝐴)})
3029eqcomd 2803 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝐹𝐴)} = ran 𝐹)
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → {(𝐹𝐴)} = ran 𝐹)
3228, 31neleqtrd 2906 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3324, 32fge0iccico 42216 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,)+∞))
3423, 33sge0reval 42218 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
35 sum0 14915 . . . . . . . 8 Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦) = 0
3635eqcomi 2806 . . . . . . 7 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦))
38 nfcvd 2952 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝑦(𝐹𝐴))
39 nfv 1896 . . . . . . . 8 𝑦(𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞)
40 fveq2 6545 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
4140adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
4210adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐴𝑉)
43 rge0ssre 12698 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
44 ax-resscn 10447 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44sstri 3904 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4642, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ {𝐴})
4733, 46ffvelrnd 6724 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,)+∞))
4845, 47sseldi 3893 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
4938, 39, 41, 42, 48sumsnd 40843 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
5049eqcomd 2803 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦))
5137, 50preq12d 4590 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → {0, (𝐹𝐴)} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)})
5251supeq1d 8763 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}, ℝ*, < ))
53 xrltso 12388 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
5453a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ*)
55 0xr 10541 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
5655a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
57 iccssxr 12673 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
583, 12ffvelrnd 6724 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
5957, 58sseldi 3893 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
60 suppr 8788 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹𝐴) < 0, 0, (𝐹𝐴)))
6154, 56, 59, 60syl3anc 1364 . . . . . 6 (𝜑 → sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹𝐴) < 0, 0, (𝐹𝐴)))
62 pnfxr 10548 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6456, 63, 583jca 1121 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞)))
65 iccgelb 12647 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐴))
6756, 59xrlenltd 10560 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ ¬ (𝐹𝐴) < 0))
6866, 67mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐴) < 0)
6968iffalsed 4398 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝐹𝐴) < 0, 0, (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
7061, 69eqtr2d 2834 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) = sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ))
7170adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ))
72 pwsn 4743 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 {𝐴} = {∅, {𝐴}}
7372ineq1i 4111 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = ({∅, {𝐴}} ∩ Fin)
74 0fin 8599 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
75 snfi 8449 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴} ∈ Fin
76 prssi 4667 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → {∅, {𝐴}} ⊆ Fin)
7774, 75, 76mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 {∅, {𝐴}} ⊆ Fin
78 df-ss 3880 . . . . . . . . . . . . 13 ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin ↔ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
7978biimpi 217 . . . . . . . . . . . 12 ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin → ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
8173, 80eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
82 mpteq1 5055 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}} → (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
84 0ex 5109 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ∅ ∈ V)
861a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → {𝐴} ∈ V)
87 sumex 14882 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦) ∈ V
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦) ∈ V)
89 sumex 14882 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦) ∈ V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦) ∈ V)
91 sumeq1 14883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦))
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 = ∅) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦))
93 sumeq1 14883 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝐴} → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦))
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 = {𝐴}) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦))
9585, 86, 88, 90, 92, 94fmptpr 6804 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
9695mptru 1532 . . . . . . . . . 10 {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
9796eqcomi 2806 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩}
9883, 97eqtri 2821 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩}
9998rneqi 5696 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩}
100 rnpropg 5961 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)})
10184, 1, 100mp2an 688 . . . . . . 7 ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}
10299, 101eqtri 2821 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}
103102supeq1i 8764 . . . . 5 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}, ℝ*, < )
104103a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}, ℝ*, < ))
10552, 71, 1043eqtr4d 2843 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
10634, 105eqtr4d 2836 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))
10722, 106pm2.61dan 809 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wtru 1526  wcel 2083  Vcvv 3440  cin 3864  wss 3865  c0 4217  ifcif 4387  𝒫 cpw 4459  {csn 4478  {cpr 4480  cop 4484   class class class wbr 4968  cmpt 5047   Or wor 5368  dom cdm 5450  ran crn 5451  Fun wfun 6226  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  supcsup 8757  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390  +∞cpnf 10525  *cxr 10527   < clt 10528  cle 10529  [,)cico 12594  [,]cicc 12595  Σcsu 14880  Σ^csumge0 42208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-sum 14881  df-sumge0 42209
This theorem is referenced by:  sge0snmpt  42229  sge0sup  42237  sge0snmptf  42283  caratheodorylem1  42372
  Copyright terms: Public domain W3C validator