Theorem sge0sn 47194

Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0sn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0sn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0sn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem sge0sn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5408	. . . . 5 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
3		sge0sn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
5		id 23	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = +∞ → (𝐹‘𝐴) = +∞)
6	5	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = +∞ → +∞ = (𝐹‘𝐴))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → +∞ = (𝐹‘𝐴))
8	3	ffund 6711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Fun 𝐹)
10		sge0sn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		snidg 4624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴})
13	3	fdmd 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = {𝐴})
14	13	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = dom 𝐹)
15	12, 14	eleqtrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 7072	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
18	9, 16, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
19	7, 18	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
20	2, 4, 19	sge0pnfval 47188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = +∞)
21		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = +∞)
22	20, 21	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
23	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
24	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
25		elsni 4604	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)} → +∞ = (𝐹‘𝐴))
26	25	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)} → (𝐹‘𝐴) = +∞)
27	26	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝐴) = +∞ → ¬ +∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)})
28	27	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)})
29	10, 3	rnsnf 46003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
30	29	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝐴)} = ran 𝐹)
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {(𝐹‘𝐴)} = ran 𝐹)
32	28, 31	neleqtrd 2884	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
33	24, 32	fge0iccico 47185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,)+∞))
34	23, 33	sge0reval 47187	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
35		sum0 15809	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) = 0
36	35	eqcomi 2771	. . . . . . 7 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
38		nfcvd 2925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Ⅎ𝑦(𝐹‘𝐴))
39		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞)
40		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
41	40	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
42	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
43		rge0ssre 13511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
44		ax-resscn 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
45	43, 44	sstri 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
46	42, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ {𝐴})
47	33, 46	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,)+∞))
48	45, 47	sselid 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
49	38, 39, 41, 42, 48	sumsnd 45847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
50	49	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
51	37, 50	preq12d 4705	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {0, (𝐹‘𝐴)} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)})
52	51	supeq1d 9419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < ))
53		xrltso 13194	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
55		0xr 11283	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
57		iccssxr 13485	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
58	3, 12	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
59	57, 58	sselid 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
60		suppr 9445	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)))
61	54, 56, 59, 60	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)))
62		pnfxr 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
64	56, 63, 58	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)))
65		iccgelb 13457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
67	56, 59	xrlenltd 11302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ ¬ (𝐹‘𝐴) < 0))
68	66, 67	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐴) < 0)
69	68	iffalsed 4496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))
70	61, 69	eqtr2d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ))
71	70	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ))
72		pwsn 4863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 {𝐴} = {∅, {𝐴}}
73	72	ineq1i 4165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = ({∅, {𝐴}} ∩ Fin)
74		0fi 9052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
75		snfi 9053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
76		prssi 4785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → {∅, {𝐴}} ⊆ Fin)
77	74, 75, 76	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅, {𝐴}} ⊆ Fin
78		dfss2 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin ↔ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
79	78	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin → ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
80	77, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
81	73, 80	eqtri 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
82		mpteq1 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}} → (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
84		0ex 5268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
86	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → {𝐴} ∈ V)
87		sumex 15777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) ∈ V)
89		sumex 15777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) ∈ V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) ∈ V)
91		sumeq1 15778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
92	91	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 = ∅) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
93		sumeq1 15778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
94	93	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 = {𝐴}) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
95	85, 86, 88, 90, 92, 94	fmptpr 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
96	95	mptru 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
97	96	eqcomi 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
98	83, 97	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
99	98	rneqi 5925	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
100		rnpropg 6222	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)})
101	84, 1, 100	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}
102	99, 101	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}
103	102	supeq1i 9420	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < )
104	103	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < ))
105	52, 71, 104	3eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
106	34, 105	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
107	22, 106	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  {cpr 4589  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   Or wor 5566  dom cdm 5659  ran crn 5660  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  supcsup 9413  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  [,)cico 13402  [,]cicc 13403  Σcsu 15775  Σ^{^}csumge0 47177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-sumge0 47178

This theorem is used by:  sge0snmpt  47198  sge0sup  47206  sge0snmptf  47252  caratheodorylem1  47341