Theorem sge0sn 47592

Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0sn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0sn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0sn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem sge0sn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5401	. . . . 5 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
3		sge0sn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
5		id 23	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = +∞ → (𝐹‘𝐴) = +∞)
6	5	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = +∞ → +∞ = (𝐹‘𝐴))
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → +∞ = (𝐹‘𝐴))
8	3	ffund 6733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Fun 𝐹)
10		sge0sn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		snidg 4621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴})
13	3	fdmd 6739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = {𝐴})
14	13	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = dom 𝐹)
15	12, 14	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 7097	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
18	9, 16, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
19	7, 18	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
20	2, 4, 19	sge0pnfval 47586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = +∞)
21		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = +∞)
22	20, 21	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
23	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
24	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
25		elsni 4601	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)} → +∞ = (𝐹‘𝐴))
26	25	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)} → (𝐹‘𝐴) = +∞)
27	26	con3i 155	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝐴) = +∞ → ¬ +∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)})
28	27	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)})
29	10, 3	rnsnf 46402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
30	29	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝐴)} = ran 𝐹)
31	30	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {(𝐹‘𝐴)} = ran 𝐹)
32	28, 31	neleqtrd 2886	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
33	24, 32	fge0iccico 47583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,)+∞))
34	23, 33	sge0reval 47585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
35		sum0 15913	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) = 0
36	35	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
38		nfcvd 2927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Ⅎ𝑦(𝐹‘𝐴))
39		nfv 1949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞)
40		fveq2 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
41	40	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
42	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
43		rge0ssre 13611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
44		ax-resscn 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
45	43, 44	sstri 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
46	42, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ {𝐴})
47	33, 46	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,)+∞))
48	45, 47	sselid 3911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
49	38, 39, 41, 42, 48	sumsnd 46246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
50	49	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
51	37, 50	preq12d 4702	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {0, (𝐹‘𝐴)} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)})
52	51	supeq1d 9462	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < ))
53		xrltso 13294	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
55		0xr 11380	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
57		iccssxr 13585	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
58	3, 12	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
59	57, 58	sselid 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
60		suppr 9488	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)))
61	54, 56, 59, 60	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)))
62		pnfxr 11387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
64	56, 63, 58	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)))
65		iccgelb 13557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
67	56, 59	xrlenltd 11399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ ¬ (𝐹‘𝐴) < 0))
68	66, 67	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐴) < 0)
69	68	iffalsed 4496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))
70	61, 69	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ))
71	70	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ))
72		pwsn 4830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 {𝐴} = {∅, {𝐴}}
73	72	ineq1i 4116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = ({∅, {𝐴}} ∩ Fin)
74		0fi 9095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
75		snfi 9096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
76		prssi 4780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → {∅, {𝐴}} ⊆ Fin)
77	74, 75, 76	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅, {𝐴}} ⊆ Fin
78		dfss2 4097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin ↔ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
79	78	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin → ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
80	77, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
81	73, 80	eqtri 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
82		mpteq1 5197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}} → (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
84		0ex 5264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
86	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → {𝐴} ∈ V)
87		sumex 15881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) ∈ V)
89		sumex 15881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) ∈ V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) ∈ V)
91		sumeq1 15882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
92	91	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 = ∅) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
93		sumeq1 15882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
94	93	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 = {𝐴}) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
95	85, 86, 88, 90, 92, 94	fmptpr 7197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
96	95	mptru 1577	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
97	96	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
98	83, 97	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
99	98	rneqi 5925	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
100		rnpropg 6235	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)})
101	84, 1, 100	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}
102	99, 101	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}
103	102	supeq1i 9463	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < )
104	103	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < ))
105	52, 71, 104	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
106	34, 105	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
107	22, 106	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Or wor 5562  dom cdm 5655  ran crn 5656  Fun wfun 6549  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Fincfn 8998  supcsup 9456  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224  +∞cpnf 11364  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367   ≤ cle 11368  [,)cico 13502  [,]cicc 13503  Σcsu 15879  Σ^{^}csumge0 47575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-sumge0 47576

This theorem is used by:  sge0snmpt  47596  sge0sup  47604  sge0snmptf  47650  caratheodorylem1  47739