Theorem sge0sn 46836

Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0sn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0sn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0sn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem sge0sn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5371	. . . . 5 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
3		sge0sn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = +∞ → (𝐹‘𝐴) = +∞)
6	5	eqcomd 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = +∞ → +∞ = (𝐹‘𝐴))
7	6	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → +∞ = (𝐹‘𝐴))
8	3	ffund 6663	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
9	8	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Fun 𝐹)
10		sge0sn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
11		snidg 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴})
13	3	fdmd 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = {𝐴})
14	13	eqcomd 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = dom 𝐹)
15	12, 14	eleqtrd 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
16	15	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
17		fvelrn 7021	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
18	9, 16, 17	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
19	7, 18	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
20	2, 4, 19	sge0pnfval 46830	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = +∞)
21		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = +∞)
22	20, 21	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
23	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
24	3	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
25		elsni 4575	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)} → +∞ = (𝐹‘𝐴))
26	25	eqcomd 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)} → (𝐹‘𝐴) = +∞)
27	26	con3i 154	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝐴) = +∞ → ¬ +∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)})
28	27	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)})
29	10, 3	rnsnf 45645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
30	29	eqcomd 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝐴)} = ran 𝐹)
31	30	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {(𝐹‘𝐴)} = ran 𝐹)
32	28, 31	neleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
33	24, 32	fge0iccico 46827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,)+∞))
34	23, 33	sge0reval 46829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
35		sum0 15678	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) = 0
36	35	eqcomi 2750	. . . . . . 7 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
38		nfcvd 2904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Ⅎ𝑦(𝐹‘𝐴))
39		nfv 1922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞)
40		fveq2 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
41	40	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
42	10	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
43		rge0ssre 13404	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
44		ax-resscn 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
45	43, 44	sstri 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
46	42, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ {𝐴})
47	33, 46	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,)+∞))
48	45, 47	sselid 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
49	38, 39, 41, 42, 48	sumsnd 45489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
50	49	eqcomd 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
51	37, 50	preq12d 4676	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {0, (𝐹‘𝐴)} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)})
52	51	supeq1d 9353	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < ))
53		xrltso 13087	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
55		0xr 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
57		iccssxr 13378	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
58	3, 12	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
59	57, 58	sselid 3915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
60		suppr 9379	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)))
61	54, 56, 59, 60	syl3anc 1380	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)))
62		pnfxr 11194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
64	56, 63, 58	3jca 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)))
65		iccgelb 13350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
67	56, 59	xrlenltd 11206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ ¬ (𝐹‘𝐴) < 0))
68	66, 67	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐴) < 0)
69	68	iffalsed 4468	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))
70	61, 69	eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ))
71	70	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ))
72		pwsn 4834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 {𝐴} = {∅, {𝐴}}
73	72	ineq1i 4148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = ({∅, {𝐴}} ∩ Fin)
74		0fi 8983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
75		snfi 8984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
76		prssi 4755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → {∅, {𝐴}} ⊆ Fin)
77	74, 75, 76	mp2an 699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅, {𝐴}} ⊆ Fin
78		dfss2 3903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin ↔ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
79	78	biimpi 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin → ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
80	77, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
81	73, 80	eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
82		mpteq1 5164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}} → (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
84		0ex 5232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
86	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → {𝐴} ∈ V)
87		sumex 15645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) ∈ V
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) ∈ V)
89		sumex 15645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) ∈ V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) ∈ V)
91		sumeq1 15646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
92	91	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 = ∅) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
93		sumeq1 15646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
94	93	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 = {𝐴}) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
95	85, 86, 88, 90, 92, 94	fmptpr 7120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
96	95	mptru 1555	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
97	96	eqcomi 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
98	83, 97	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
99	98	rneqi 5886	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
100		rnpropg 6177	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)})
101	84, 1, 100	mp2an 699	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}
102	99, 101	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}
103	102	supeq1i 9354	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < )
104	103	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < ))
105	52, 71, 104	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
106	34, 105	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
107	22, 106	pm2.61dan 819	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548  ⊤wtru 1549   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  ifcif 4457  𝒫 cpw 4532  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156   Or wor 5528  dom cdm 5621  ran crn 5622  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  supcsup 9347  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174   ≤ cle 11175  [,)cico 13295  [,]cicc 13296  Σcsu 15643  Σ^{^}csumge0 46819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-sumge0 46820

This theorem is referenced by:  sge0snmpt  46840  sge0sup  46848  sge0snmptf  46894  caratheodorylem1  46983