Theorem sge0sn 41113

Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0sn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0sn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0sn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem sge0sn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5036	. . . . 5 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
3		sge0sn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = +∞ → (𝐹‘𝐴) = +∞)
6	5	eqcomd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = +∞ → +∞ = (𝐹‘𝐴))
7	6	adantl 467	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → +∞ = (𝐹‘𝐴))
8		ffun 6188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞) → Fun 𝐹)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
10	9	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Fun 𝐹)
11		sge0sn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		snidg 4345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴})
14		fdm 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = {𝐴})
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = {𝐴})
16	15	eqcomd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = dom 𝐹)
17	13, 16	eleqtrd 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
18	17	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
19		fvelrn 6495	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
20	10, 18, 19	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
21	7, 20	eqeltrd 2850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
22	2, 4, 21	sge0pnfval 41107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = +∞)
23		simpr 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = +∞)
24	22, 23	eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
25	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
26	3	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
27		elsni 4333	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)} → +∞ = (𝐹‘𝐴))
28	27	eqcomd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)} → (𝐹‘𝐴) = +∞)
29	28	con3i 151	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝐴) = +∞ → ¬ +∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)})
30	29	adantl 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)})
31	11, 3	rnsnf 39890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
32	31	eqcomd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝐴)} = ran 𝐹)
33	32	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {(𝐹‘𝐴)} = ran 𝐹)
34	30, 33	neleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
35	26, 34	fge0iccico 41104	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,)+∞))
36	25, 35	sge0reval 41106	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
37		sum0 14660	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) = 0
38	37	eqcomi 2780	. . . . . . 7 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
40		nfcvd 2914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Ⅎ𝑦(𝐹‘𝐴))
41		nfv 1995	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞)
42		fveq2 6332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
43	42	adantl 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
44	11	adantr 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
45		rge0ssre 12487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
46		ax-resscn 10195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
47	45, 46	sstri 3761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
48	44, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ {𝐴})
49	35, 48	ffvelrnd 6503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,)+∞))
50	47, 49	sseldi 3750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
51	40, 41, 43, 44, 50	sumsnd 39707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
52	51	eqcomd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
53	39, 52	preq12d 4412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {0, (𝐹‘𝐴)} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)})
54	53	supeq1d 8508	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < ))
55		xrltso 12179	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
57		0xr 10288	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
59		iccssxr 12461	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
60	3, 13	ffvelrnd 6503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
61	59, 60	sseldi 3750	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
62		suppr 8533	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)))
63	56, 58, 61, 62	syl3anc 1476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)))
64		pnfxr 10294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
66	58, 65, 60	3jca 1122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)))
67		iccgelb 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
69	58, 61	xrlenltd 10306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ ¬ (𝐹‘𝐴) < 0))
70	68, 69	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐴) < 0)
71	70	iffalsed 4236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))
72	63, 71	eqtr2d 2806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ))
73	72	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ))
74		pwsn 4566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 {𝐴} = {∅, {𝐴}}
75	74	ineq1i 3961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = ({∅, {𝐴}} ∩ Fin)
76		0fin 8344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
77		snfi 8194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
78		prssi 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → {∅, {𝐴}} ⊆ Fin)
79	76, 77, 78	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅, {𝐴}} ⊆ Fin
80		df-ss 3737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin ↔ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
81	80	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin → ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
83	75, 82	eqtri 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
84		mpteq1 4871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}} → (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
86		0ex 4924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
88	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → {𝐴} ∈ V)
89		sumex 14626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) ∈ V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) ∈ V)
91		sumex 14626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) ∈ V
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) ∈ V)
93		sumeq1 14627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
94	93	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 = ∅) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
95		sumeq1 14627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
96	95	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 = {𝐴}) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
97	87, 88, 90, 92, 94, 96	fmptpr 6582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
98	97	trud 1641	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
99	98	eqcomi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
100	85, 99	eqtri 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
101	100	rneqi 5490	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
102		rnpropg 5757	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)})
103	86, 1, 102	mp2an 672	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}
104	101, 103	eqtri 2793	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}
105	104	supeq1i 8509	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < )
106	105	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < ))
107	54, 73, 106	3eqtr4d 2815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
108	36, 107	eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
109	24, 108	pm2.61dan 814	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631  ⊤wtru 1632   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  ifcif 4225  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  {cpr 4318  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863   Or wor 5169  dom cdm 5249  ran crn 5250  Fun wfun 6025  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  supcsup 8502  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138  +∞cpnf 10273  ℝ^*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277  [,)cico 12382  [,]cicc 12383  Σcsu 14624  Σ^{^}csumge0 41096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-sumge0 41097

This theorem is referenced by:  sge0snmpt  41117  sge0sup  41125  sge0snmptf  41171  caratheodorylem1  41260