Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0sn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0sn 45095
Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0sn.1 (𝜑𝐴𝑉)
sge0sn.2 (𝜑𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0sn (𝜑 → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))

Proof of Theorem sge0sn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5432 . . . . 5 {𝐴} ∈ V
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
3 sge0sn.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
43adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
5 id 22 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = +∞ → (𝐹𝐴) = +∞)
65eqcomd 2739 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) = +∞ → +∞ = (𝐹𝐴))
76adantl 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → +∞ = (𝐹𝐴))
83ffund 6722 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → Fun 𝐹)
10 sge0sn.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑉)
11 snidg 4663 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ {𝐴})
133fdmd 6729 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = {𝐴})
1413eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐴} = dom 𝐹)
1512, 14eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
1615adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
17 fvelrn 7079 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
189, 16, 17syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) ∈ ran 𝐹)
197, 18eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
202, 4, 19sge0pnfval 45089 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = +∞)
21 simpr 486 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = +∞)
2220, 21eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))
231a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
243adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
25 elsni 4646 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ {(𝐹𝐴)} → +∞ = (𝐹𝐴))
2625eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ {(𝐹𝐴)} → (𝐹𝐴) = +∞)
2726con3i 154 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝐴) = +∞ → ¬ +∞ ∈ {(𝐹𝐴)})
2827adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ {(𝐹𝐴)})
2910, 3rnsnf 43881 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = {(𝐹𝐴)})
3029eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝜑 → {(𝐹𝐴)} = ran 𝐹)
3130adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → {(𝐹𝐴)} = ran 𝐹)
3228, 31neleqtrd 2856 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3324, 32fge0iccico 45086 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,)+∞))
3423, 33sge0reval 45088 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
35 sum0 15667 . . . . . . . 8 Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦) = 0
3635eqcomi 2742 . . . . . . 7 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦))
38 nfcvd 2905 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝑦(𝐹𝐴))
39 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑦(𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞)
40 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
4140adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
4210adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐴𝑉)
43 rge0ssre 13433 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
44 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44sstri 3992 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4642, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ {𝐴})
4733, 46ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,)+∞))
4845, 47sselid 3981 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
4938, 39, 41, 42, 48sumsnd 43710 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
5049eqcomd 2739 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦))
5137, 50preq12d 4746 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → {0, (𝐹𝐴)} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)})
5251supeq1d 9441 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}, ℝ*, < ))
53 xrltso 13120 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
5453a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ*)
55 0xr 11261 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
5655a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
57 iccssxr 13407 . . . . . . . 8 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
583, 12ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
5957, 58sselid 3981 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
60 suppr 9466 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹𝐴) < 0, 0, (𝐹𝐴)))
6154, 56, 59, 60syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹𝐴) < 0, 0, (𝐹𝐴)))
62 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6456, 63, 583jca 1129 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞)))
65 iccgelb 13380 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐴))
6756, 59xrlenltd 11280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ ¬ (𝐹𝐴) < 0))
6866, 67mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐴) < 0)
6968iffalsed 4540 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝐹𝐴) < 0, 0, (𝐹𝐴)) = (𝐹𝐴))
7061, 69eqtr2d 2774 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) = sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ))
7170adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = sup({0, (𝐹𝐴)}, ℝ*, < ))
72 pwsn 4901 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 {𝐴} = {∅, {𝐴}}
7372ineq1i 4209 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = ({∅, {𝐴}} ∩ Fin)
74 0fin 9171 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ Fin
75 snfi 9044 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴} ∈ Fin
76 prssi 4825 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → {∅, {𝐴}} ⊆ Fin)
7774, 75, 76mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 {∅, {𝐴}} ⊆ Fin
78 df-ss 3966 . . . . . . . . . . . . 13 ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin ↔ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
7978biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin → ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
8173, 80eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
82 mpteq1 5242 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}} → (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
84 0ex 5308 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ∅ ∈ V)
861a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → {𝐴} ∈ V)
87 sumex 15634 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦) ∈ V
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦) ∈ V)
89 sumex 15634 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦) ∈ V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦) ∈ V)
91 sumeq1 15635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦))
9291adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 = ∅) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦))
93 sumeq1 15635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝐴} → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦))
9493adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 = {𝐴}) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦))
9585, 86, 88, 90, 92, 94fmptpr 7170 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)))
9695mptru 1549 . . . . . . . . . 10 {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
9796eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩}
9883, 97eqtri 2761 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩}
9998rneqi 5937 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩}
100 rnpropg 6222 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)})
10184, 1, 100mp2an 691 . . . . . . 7 ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}
10299, 101eqtri 2761 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}
103102supeq1i 9442 . . . . 5 sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}, ℝ*, < )
104103a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹𝑦)}, ℝ*, < ))
10552, 71, 1043eqtr4d 2783 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (𝐹𝐴) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)), ℝ*, < ))
10634, 105eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹𝐴) = +∞) → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))
10722, 106pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107  Vcvv 3475  cin 3948  wss 3949  c0 4323  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631  cop 4635   class class class wbr 5149  cmpt 5232   Or wor 5588  dom cdm 5677  ran crn 5678  Fun wfun 6538  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  Σcsu 15632  Σ^csumge0 45078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-sumge0 45079
This theorem is referenced by:  sge0snmpt  45099  sge0sup  45107  sge0snmptf  45153  caratheodorylem1  45242
  Copyright terms: Public domain W3C validator