Theorem grpassd 18912

Description: A group operation is associative. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpassd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpassd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpassd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpassd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpassd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
grpassd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpassd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpassd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		grpassd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpassd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	grpass 18909	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Grpcgrp 18900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7363  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903

This theorem is referenced by:  grplmulf1o  18980  grpraddf1o  18981  eqger  19144  conjnmz  19218  psdmul  22142  conjga  33246  rloccring  33346  qsdrngilem  33569  vietalem  33738  grpcominv1  42967