Theorem grpassd 18976

Description: A group operation is associative. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpassd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpassd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpassd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpassd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpassd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
grpassd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpassd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpassd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		grpassd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpassd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	grpass 18973	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Grpcgrp 18964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-nul 5312

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967

This theorem is referenced by:  grplmulf1o  19044  grpraddf1o  19045  eqger  19209  conjnmz  19283  psdmul  22188  rloccring  33257  qsdrngilem  33502  grpcominv1  42495