Theorem grpassd 18909

Description: A group operation is associative. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpassd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpassd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpassd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpassd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpassd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
grpassd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpassd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpassd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		grpassd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpassd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	grpass 18906	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  Grpcgrp 18897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-nul 5310

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-iota 6505  df-fv 6561  df-ov 7429  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900

This theorem is referenced by:  grplmulf1o  18976  grpraddf1o  18977  eqger  19140  conjnmz  19213  psdmul  22097  rloccring  33009  qsdrngilem  33230  grpcominv1  41779