Theorem grpassd 19043

Description: A group operation is associative. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpassd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpassd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpassd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpassd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpassd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
grpassd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpassd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpassd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpassd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		grpassd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		grpassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		grpassd.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		grpassd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	grpass 19040	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  Grpcgrp 19031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-nul 5274

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034

This theorem is used by:  grplmulf1o  19110  grpraddf1o  19111  eqger  19277  conjnmz  19353  psdmul  22366  conjga  33521  rloccring  33622  qsdrngilem  33807  vietalem  34000  grpcominv1  43323