Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qsdrngilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qsdrngilem 33522
Description: Lemma for qsdrngi 33523. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qsdrng.0 𝑂 = (oppr𝑅)
qsdrng.q 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
qsdrngi.1 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
qsdrngi.2 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
qsdrngilem.1 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
qsdrngilem.2 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑀)
Assertion
Ref Expression
qsdrngilem (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑀   𝑣,𝑄   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝜑,𝑣
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem qsdrngilem
Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 776 . . . . 5 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
2 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
32ecelqsi 8813 . . . . 5 (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
41, 3syl 17 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
5 qsdrng.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
7 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
87a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
9 ovexd 7466 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
10 qsdrng.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
116, 8, 9, 10qusbas 17590 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
1211ad3antrrr 730 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
134, 12eleqtrd 2843 . . 3 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
14 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → (𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
1514eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → ((𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄)))
1615adantl 481 . . 3 (((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) ∧ 𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄)))
17 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
18 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑄) = (.r𝑄)
19 nzrring 20516 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2120ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Ring)
22 qsdrngi.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
237mxidlidl 33491 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25 qsdrng.0 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (oppr𝑅)
2625opprring 20347 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑂 ∈ Ring)
28 qsdrngi.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
29 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
3029mxidlidl 33491 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
3127, 28, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
3224, 31elind 4200 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
33 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
34 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
35 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
3633, 25, 34, 352idlval 21261 . . . . . . . 8 (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂))
3732, 36eleqtrrdi 2852 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3837ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
39 qsdrngilem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
4039ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
415, 7, 17, 18, 21, 38, 1, 40qusmul2idl 21289 . . . . 5 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑟(.r𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
42 lidlnsg 21258 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
4320, 24, 42syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
44 nsgsubg 19176 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
45 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
467, 45eqger 19196 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
4743, 44, 463syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
4847ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
497, 33lidlss 21222 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
5024, 49syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
5150ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
527, 17, 21, 1, 40ringcld 20257 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
53 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
547, 53ringidcl 20262 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5520, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5655ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
57 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚))
5857oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(1r𝑅)) = (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)))
59 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
60 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
61 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝑅) = (invg𝑅)
6220ringgrpd 20239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6362ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Grp)
647, 59, 60, 61, 63, 52grplinvd 19012 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(𝑟(.r𝑅)𝑋)) = (0g𝑅))
6564oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ((((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)𝑚) = ((0g𝑅)(+g𝑅)𝑚))
667, 61, 63, 52grpinvcld 19006 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋)) ∈ (Base‘𝑅))
67 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑚𝑀)
6851, 67sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
697, 59, 63, 66, 52, 68grpassd 18963 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ((((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)𝑚) = (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)))
707, 59, 60, 63, 68grplidd 18987 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)𝑚) = 𝑚)
7165, 69, 703eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) = 𝑚)
7258, 71eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(1r𝑅)) = 𝑚)
7372, 67eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝑀)
747, 61, 59, 45eqgval 19195 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) → ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r𝑅) ↔ ((𝑟(.r𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝑀)))
7574biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑟(.r𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝑀)) → (𝑟(.r𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r𝑅))
7621, 51, 52, 56, 73, 75syl23anc 1379 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r𝑅))
7748, 76erthi 8798 . . . . 5 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → [(𝑟(.r𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
7841, 77eqtrd 2777 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
795, 35, 53qus1 21284 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r𝑄)))
8079simprd 495 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r𝑄))
8121, 38, 80syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r𝑄))
8278, 81eqtrd 2777 . . 3 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄))
8313, 16, 82rspcedvd 3624 . 2 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄))
8439snssd 4809 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑅))
8550, 84unssd 4192 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅))
86 eqid 2737 . . . . . . 7 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
8786, 7, 33rspcl 21245 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
8820, 85, 87syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
8986, 7rspssid 21246 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
9020, 85, 89syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
9190unssad 4193 . . . . 5 (𝜑𝑀 ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
9290unssbd 4194 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
93 snssg 4783 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))))
9493biimpar 477 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
9539, 92, 94syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
96 qsdrngilem.2 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑀)
9795, 96eldifd 3962 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∖ 𝑀))
987, 20, 22, 88, 91, 97mxidlmaxv 33496 . . . 4 (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝑅))
9955, 98eleqtrrd 2844 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
10039, 96eldifd 3962 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑀))
10186, 7, 60, 17, 20, 59, 24, 100elrspunsn 33457 . . 3 (𝜑 → ((1r𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚𝑀 (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)))
10299, 101mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚𝑀 (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚))
10383, 102r19.29vva 3216 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431   Er wer 8742  [cec 8743   / cqs 8744  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   /s cqus 17550  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  NrmSGrpcnsg 19139   ~QG cqg 19140  1rcur 20178  Ringcrg 20230  opprcoppr 20333  NzRingcnzr 20512  LIdealclidl 21216  RSpancrsp 21217  2Idealc2idl 21259  MaxIdealcmxidl 33487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lbs 21074  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803  df-mxidl 33488
This theorem is referenced by:  qsdrngi  33523
  Copyright terms: Public domain W3C validator