Theorem qsdrngilem 33579

Description: Lemma for qsdrngi 33580. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsdrng.0	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
qsdrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrngi.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
qsdrngi.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
qsdrngilem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
qsdrngilem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
qsdrngilem	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑀   𝑣,𝑄   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝜑,𝑣

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem qsdrngilem

Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 782	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
2		ovex 7392	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
3	2	ecelqsi 8710	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
5		qsdrng.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
7		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
9		ovexd 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
10		qsdrng.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
11	6, 8, 9, 10	qusbas 17504	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
12	11	ad3antrrr 737	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
13	4, 12	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
14		oveq1 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → (𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
15	14	eqeq1d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → ((𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄)))
16	15	adantl 483	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) ∧ 𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄)))
17		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
19		nzrring 20491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	10, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad3antrrr 737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		qsdrngi.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
23	7	mxidlidl 33548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
24	20, 22, 23	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25		qsdrng.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
26	25	opprring 20321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)
28		qsdrngi.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
29		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
30	29	mxidlidl 33548	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
31	27, 28, 30	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
32	24, 31	elind 4131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
33		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
34		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
35		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
36	33, 25, 34, 35	2idlval 21247	. . . . . . . 8 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂))
37	32, 36	eleqtrrdi 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
38	37	ad3antrrr 737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
39		qsdrngilem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
40	39	ad3antrrr 737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
41	5, 7, 17, 18, 21, 38, 1, 40	qusmul2idl 21275	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
42		lidlnsg 21244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
43	20, 24, 42	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
44		nsgsubg 19128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
45		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
46	7, 45	eqger 19148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
47	43, 44, 46	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
48	47	ad3antrrr 737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
49	7, 33	lidlss 21208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
50	24, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
51	50	ad3antrrr 737	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
52	7, 17, 21, 1, 40	ringcld 20235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
53		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
54	7, 53	ringidcl 20240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
55	20, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
56	55	ad3antrrr 737	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
57		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚))
58	57	oveq2d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
59		eqid 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
60		eqid 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
61		eqid 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
62	20	ringgrpd 20217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
63	62	ad3antrrr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Grp)
64	7, 59, 60, 61, 63, 52	grplinvd 18965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)) = (0g‘𝑅))
65	64	oveq1d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)𝑚) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑚))
66	7, 61, 63, 52	grpinvcld 18959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)) ∈ (Base‘𝑅))
67		simplr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑚 ∈ 𝑀)
68	51, 67	sseldd 3917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
69	7, 59, 63, 66, 52, 68	grpassd 18916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)𝑚) = (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
70	7, 59, 60, 63, 68	grplidd 18940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑚) = 𝑚)
71	65, 69, 70	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) = 𝑚)
72	58, 71	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑚)
73	72, 67	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
74	7, 61, 59, 45	eqgval 19147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) → ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)))
75	74	biimpar 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
76	21, 51, 52, 56, 73, 75	syl23anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
77	48, 76	erthi 8694	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
78	41, 77	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
79	5, 35, 53	qus1 21270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄)))
80	79	simprd 497	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
81	21, 38, 80	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
82	78, 81	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
83	13, 16, 82	rspcedvd 3563	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
84	39	snssd 4720	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑅))
85	50, 84	unssd 4123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅))
86		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
87	86, 7, 33	rspcl 21231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
88	20, 85, 87	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
89	86, 7	rspssid 21232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
90	20, 85, 89	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
91	90	unssad 4124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
92	90	unssbd 4125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
93		snssg 4717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))))
94	93	biimpar 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
95	39, 92, 94	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
96		qsdrngilem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
97	95, 96	eldifd 3895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∖ 𝑀))
98	7, 20, 22, 88, 91, 97	mxidlmaxv 33553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝑅))
99	55, 98	eleqtrrd 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
100	39, 96	eldifd 3895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑀))
101	86, 7, 60, 17, 20, 59, 24, 100	elrspunsn 33514	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ 𝑀 (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
102	99, 101	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ 𝑀 (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚))
103	83, 102	r19.29vva 3201	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065  Vcvv 3433   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  {csn 4557   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   Er wer 8634  [cec 8635   / cqs 8636  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397   /_s cqus 17464  Grpcgrp 18904  inv_gcminusg 18905  SubGrpcsubg 19091  NrmSGrpcnsg 19092   ~_QG cqg 19093  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  opp_rcoppr 20310  NzRingcnzr 20487  LIdealclidl 21202  RSpancrsp 21203  2Idealc2idl 21245  MaxIdealcmxidl 33544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-imas 17467  df-qus 17468  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-nsg 19095  df-eqg 19096  df-ghm 19183  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-nzr 20488  df-subrg 20545  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-lmhm 21015  df-lbs 21068  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-lidl 21204  df-rsp 21205  df-2idl 21246  df-dsmm 21710  df-frlm 21725  df-uvc 21761  df-mxidl 33545

This theorem is referenced by:  qsdrngi  33580