Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qsdrngilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qsdrngilem 32454
Description: Lemma for qsdrngi 32455. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qsdrng.0 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
qsdrng.q 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrngi.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
qsdrngi.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘‚))
qsdrngilem.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
qsdrngilem.2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
qsdrngilem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘„)(𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑀   𝑣,𝑄   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   πœ‘,𝑣
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem qsdrngilem
Dummy variables π‘š π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 774 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2 ovex 7426 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
32ecelqsi 8750 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
41, 3syl 17 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
5 qsdrng.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
65a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
7 eqid 2731 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
87a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
9 ovexd 7428 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
10 qsdrng.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
116, 8, 9, 10qusbas 17473 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Baseβ€˜π‘„))
1211ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Baseβ€˜π‘„))
134, 12eleqtrd 2834 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
14 oveq1 7400 . . . . 5 (𝑣 = [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀) β†’ (𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
1514eqeq1d 2733 . . . 4 (𝑣 = [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀) β†’ ((𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„) ↔ ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„)))
1615adantl 482 . . 3 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) ∧ 𝑣 = [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)) β†’ ((𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„) ↔ ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„)))
17 eqid 2731 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
18 eqid 2731 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘„) = (.rβ€˜π‘„)
19 nzrring 20245 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2120ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22 qsdrngi.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
237mxidlidl 32430 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
25 qsdrng.0 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
2625opprring 20113 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑂 ∈ Ring)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Ring)
28 qsdrngi.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘‚))
29 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π‘‚)
3029mxidlidl 32430 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘‚)) β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘‚))
3127, 28, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘‚))
3224, 31elind 4190 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ((LIdealβ€˜π‘…) ∩ (LIdealβ€˜π‘‚)))
33 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
34 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘‚) = (LIdealβ€˜π‘‚)
35 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
3633, 25, 34, 352idlval 20804 . . . . . . . 8 (2Idealβ€˜π‘…) = ((LIdealβ€˜π‘…) ∩ (LIdealβ€˜π‘‚))
3732, 36eleqtrrdi 2843 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
3837ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ 𝑀 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
39 qsdrngilem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4039ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
415, 7, 17, 18, 21, 38, 1, 40qusmul2 20811 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
42 lidlnsg 32415 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
4320, 24, 42syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
44 nsgsubg 19010 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝑀 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
45 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
467, 45eqger 19030 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Baseβ€˜π‘…))
4743, 44, 463syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Baseβ€˜π‘…))
4847ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Baseβ€˜π‘…))
497, 33lidlss 20781 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5024, 49syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5150ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
527, 17, 21, 1, 40ringcld 20037 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
53 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
547, 53ringidcl 20040 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5520, 54syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5655ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
57 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š))
5857oveq2d 7409 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)))
59 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
60 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
61 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
6220ringgrpd 20023 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6362ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
647, 59, 60, 61, 63, 52grplinvd 18854 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = (0gβ€˜π‘…))
6564oveq1d 7408 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)π‘š) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)π‘š))
667, 61, 63, 52grpinvcld 18848 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
67 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ π‘š ∈ 𝑀)
6851, 67sseldd 3979 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ π‘š ∈ (Baseβ€˜π‘…))
697, 59, 63, 66, 52, 68grpassd 18806 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)π‘š) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)))
707, 59, 60, 63, 68grplidd 18829 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)π‘š) = π‘š)
7165, 69, 703eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) = π‘š)
7258, 71eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = π‘š)
7372, 67eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝑀)
747, 61, 59, 45eqgval 19029 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1rβ€˜π‘…) ↔ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝑀)))
7574biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝑀)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1rβ€˜π‘…))
7621, 51, 52, 56, 73, 75syl23anc 1377 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1rβ€˜π‘…))
7748, 76erthi 8737 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ [(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑀))
7841, 77eqtrd 2771 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑀))
795, 35, 53qus1 20808 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)) β†’ (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1rβ€˜π‘„)))
8079simprd 496 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)) β†’ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1rβ€˜π‘„))
8121, 38, 80syl2anc 584 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1rβ€˜π‘„))
8278, 81eqtrd 2771 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„))
8313, 16, 82rspcedvd 3611 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘„)(𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„))
8439snssd 4805 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
8550, 84unssd 4182 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
86 eqid 2731 . . . . . . 7 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
8786, 7, 33rspcl 20793 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
8820, 85, 87syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
8986, 7rspssid 20794 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑋}) βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
9020, 85, 89syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑋}) βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
9190unssad 4183 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
9290unssbd 4184 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
93 snssg 4780 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (𝑋 ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) ↔ {𝑋} βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋}))))
9493biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ {𝑋} βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
9539, 92, 94syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
96 qsdrngilem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
9795, 96eldifd 3955 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) βˆ– 𝑀))
987, 20, 22, 88, 91, 97mxidlmaxv 32435 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) = (Baseβ€˜π‘…))
9955, 98eleqtrrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
10039, 96eldifd 3955 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– 𝑀))
10186, 7, 60, 17, 20, 59, 24, 100elrspunsn 32398 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ 𝑀 (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)))
10299, 101mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ 𝑀 (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š))
10383, 102r19.29vva 3212 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘„)(𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3942   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  {csn 4622   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393   Er wer 8683  [cec 8684   / cqs 8685  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  .rcmulr 17180  0gc0g 17367   /s cqus 17433  Grpcgrp 18794  invgcminusg 18795  SubGrpcsubg 18972  NrmSGrpcnsg 18973   ~QG cqg 18974  1rcur 19963  Ringcrg 20014  opprcoppr 20101  NzRingcnzr 20241  LIdealclidl 20732  RSpancrsp 20733  2Idealc2idl 20802  MaxIdealcmxidl 32426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-ec 8688  df-qs 8692  df-map 8805  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-hash 14273  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-imas 17436  df-qus 17437  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-nsg 18976  df-eqg 18977  df-ghm 19056  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-nzr 20242  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-lmhm 20582  df-lbs 20635  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-lidl 20736  df-rsp 20737  df-2idl 20803  df-dsmm 21220  df-frlm 21235  df-uvc 21271  df-mxidl 32427
This theorem is referenced by:  qsdrngi  32455
  Copyright terms: Public domain W3C validator