Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qsdrngilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qsdrngilem 32518
Description: Lemma for qsdrngi 32519. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qsdrng.0 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
qsdrng.q 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrngi.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
qsdrngi.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘‚))
qsdrngilem.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
qsdrngilem.2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
qsdrngilem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘„)(𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑀   𝑣,𝑄   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   πœ‘,𝑣
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem qsdrngilem
Dummy variables π‘š π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 774 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2 ovex 7427 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
32ecelqsi 8752 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
41, 3syl 17 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
5 qsdrng.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
65a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
7 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
87a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
9 ovexd 7429 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
10 qsdrng.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
116, 8, 9, 10qusbas 17475 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Baseβ€˜π‘„))
1211ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Baseβ€˜π‘„))
134, 12eleqtrd 2835 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
14 oveq1 7401 . . . . 5 (𝑣 = [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀) β†’ (𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
1514eqeq1d 2734 . . . 4 (𝑣 = [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀) β†’ ((𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„) ↔ ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„)))
1615adantl 482 . . 3 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) ∧ 𝑣 = [π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)) β†’ ((𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„) ↔ ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„)))
17 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
18 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘„) = (.rβ€˜π‘„)
19 nzrring 20247 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2120ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22 qsdrngi.1 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
237mxidlidl 32494 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
25 qsdrng.0 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (opprβ€˜π‘…)
2625opprring 20115 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑂 ∈ Ring)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ Ring)
28 qsdrngi.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘‚))
29 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘‚) = (Baseβ€˜π‘‚)
3029mxidlidl 32494 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘‚)) β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘‚))
3127, 28, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘‚))
3224, 31elind 4191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ((LIdealβ€˜π‘…) ∩ (LIdealβ€˜π‘‚)))
33 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
34 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘‚) = (LIdealβ€˜π‘‚)
35 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
3633, 25, 34, 352idlval 20806 . . . . . . . 8 (2Idealβ€˜π‘…) = ((LIdealβ€˜π‘…) ∩ (LIdealβ€˜π‘‚))
3732, 36eleqtrrdi 2844 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
3837ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ 𝑀 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
39 qsdrngilem.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4039ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
415, 7, 17, 18, 21, 38, 1, 40qusmul2 20813 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
42 lidlnsg 32479 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
4320, 24, 42syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
44 nsgsubg 19012 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝑀 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
45 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
467, 45eqger 19032 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Baseβ€˜π‘…))
4743, 44, 463syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Baseβ€˜π‘…))
4847ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Baseβ€˜π‘…))
497, 33lidlss 20783 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5024, 49syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5150ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
527, 17, 21, 1, 40ringcld 20039 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
53 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
547, 53ringidcl 20042 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5520, 54syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5655ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
57 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š))
5857oveq2d 7410 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)))
59 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
60 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
61 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
6220ringgrpd 20025 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6362ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
647, 59, 60, 61, 63, 52grplinvd 18856 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)) = (0gβ€˜π‘…))
6564oveq1d 7409 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)π‘š) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)π‘š))
667, 61, 63, 52grpinvcld 18850 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
67 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ π‘š ∈ 𝑀)
6851, 67sseldd 3980 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ π‘š ∈ (Baseβ€˜π‘…))
697, 59, 63, 66, 52, 68grpassd 18808 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)π‘š) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)))
707, 59, 60, 63, 68grplidd 18831 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)π‘š) = π‘š)
7165, 69, 703eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) = π‘š)
7258, 71eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = π‘š)
7372, 67eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝑀)
747, 61, 59, 45eqgval 19031 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1rβ€˜π‘…) ↔ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝑀)))
7574biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋))(+gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝑀)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1rβ€˜π‘…))
7621, 51, 52, 56, 73, 75syl23anc 1377 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ (π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1rβ€˜π‘…))
7748, 76erthi 8739 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ [(π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑀))
7841, 77eqtrd 2772 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑀))
795, 35, 53qus1 20810 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)) β†’ (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1rβ€˜π‘„)))
8079simprd 496 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Idealβ€˜π‘…)) β†’ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1rβ€˜π‘„))
8121, 38, 80syl2anc 584 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ [(1rβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1rβ€˜π‘„))
8278, 81eqtrd 2772 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ ([π‘Ÿ](𝑅 ~QG 𝑀)(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„))
8313, 16, 82rspcedvd 3612 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘š ∈ 𝑀) ∧ (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘„)(𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„))
8439snssd 4806 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
8550, 84unssd 4183 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
86 eqid 2732 . . . . . . 7 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
8786, 7, 33rspcl 20795 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
8820, 85, 87syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
8986, 7rspssid 20796 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑋}) βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
9020, 85, 89syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆͺ {𝑋}) βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
9190unssad 4184 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
9290unssbd 4185 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
93 snssg 4781 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (𝑋 ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) ↔ {𝑋} βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋}))))
9493biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ {𝑋} βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋}))) β†’ 𝑋 ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
9539, 92, 94syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
96 qsdrngilem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
9795, 96eldifd 3956 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) βˆ– 𝑀))
987, 20, 22, 88, 91, 97mxidlmaxv 32499 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) = (Baseβ€˜π‘…))
9955, 98eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})))
10039, 96eldifd 3956 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) βˆ– 𝑀))
10186, 7, 60, 17, 20, 59, 24, 100elrspunsn 32462 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝑀 βˆͺ {𝑋})) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ 𝑀 (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š)))
10299, 101mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆƒπ‘š ∈ 𝑀 (1rβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ(.rβ€˜π‘…)𝑋)(+gβ€˜π‘…)π‘š))
10383, 102r19.29vva 3213 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (Baseβ€˜π‘„)(𝑣(.rβ€˜π‘„)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1rβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3943   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  {csn 4623   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7394   Er wer 8685  [cec 8686   / cqs 8687  Basecbs 17128  +gcplusg 17181  .rcmulr 17182  0gc0g 17369   /s cqus 17435  Grpcgrp 18796  invgcminusg 18797  SubGrpcsubg 18974  NrmSGrpcnsg 18975   ~QG cqg 18976  1rcur 19965  Ringcrg 20016  opprcoppr 20103  NzRingcnzr 20243  LIdealclidl 20734  RSpancrsp 20735  2Idealc2idl 20804  MaxIdealcmxidl 32490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-tpos 8195  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-ec 8690  df-qs 8694  df-map 8807  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-sup 9421  df-inf 9422  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-seq 13951  df-hash 14275  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-prds 17377  df-pws 17379  df-imas 17438  df-qus 17439  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-mhm 18649  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-mulg 18925  df-subg 18977  df-nsg 18978  df-eqg 18979  df-ghm 19058  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-oppr 20104  df-nzr 20244  df-subrg 20312  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-lsp 20534  df-lmhm 20584  df-lbs 20637  df-sra 20736  df-rgmod 20737  df-lidl 20738  df-rsp 20739  df-2idl 20805  df-dsmm 21222  df-frlm 21237  df-uvc 21273  df-mxidl 32491
This theorem is referenced by:  qsdrngi  32519
  Copyright terms: Public domain W3C validator