Theorem qsdrngilem 32883

Description: Lemma for qsdrngi 32884. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsdrng.0	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
qsdrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrngi.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
qsdrngi.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
qsdrngilem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
qsdrngilem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
qsdrngilem	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑀   𝑣,𝑄   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝜑,𝑣

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem qsdrngilem

Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
2		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
3	2	ecelqsi 8771	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
5		qsdrng.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
7		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
9		ovexd 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
10		qsdrng.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
11	6, 8, 9, 10	qusbas 17496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
12	11	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
13	4, 12	eleqtrd 2834	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
14		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → (𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
15	14	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → ((𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄)))
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) ∧ 𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄)))
17		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
19		nzrring 20408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	10, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad3antrrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		qsdrngi.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
23	7	mxidlidl 32854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
24	20, 22, 23	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25		qsdrng.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
26	25	opprring 20239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)
28		qsdrngi.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
29		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
30	29	mxidlidl 32854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
31	27, 28, 30	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
32	24, 31	elind 4194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
33		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
34		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
35		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
36	33, 25, 34, 35	2idlval 21008	. . . . . . . 8 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂))
37	32, 36	eleqtrrdi 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
38	37	ad3antrrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
39		qsdrngilem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
40	39	ad3antrrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
41	5, 7, 17, 18, 21, 38, 1, 40	qusmul2 21026	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
42		lidlnsg 32839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
43	20, 24, 42	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
44		nsgsubg 19075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
45		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
46	7, 45	eqger 19095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
47	43, 44, 46	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
48	47	ad3antrrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
49	7, 33	lidlss 20979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
50	24, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
51	50	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
52	7, 17, 21, 1, 40	ringcld 20152	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
53		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
54	7, 53	ringidcl 20155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
55	20, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
56	55	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
57		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚))
58	57	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
59		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
60		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
61		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
62	20	ringgrpd 20137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
63	62	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Grp)
64	7, 59, 60, 61, 63, 52	grplinvd 18916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)) = (0g‘𝑅))
65	64	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)𝑚) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑚))
66	7, 61, 63, 52	grpinvcld 18910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)) ∈ (Base‘𝑅))
67		simplr 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑚 ∈ 𝑀)
68	51, 67	sseldd 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
69	7, 59, 63, 66, 52, 68	grpassd 18868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)𝑚) = (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
70	7, 59, 60, 63, 68	grplidd 18891	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑚) = 𝑚)
71	65, 69, 70	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) = 𝑚)
72	58, 71	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑚)
73	72, 67	eqeltrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
74	7, 61, 59, 45	eqgval 19094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) → ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)))
75	74	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
76	21, 51, 52, 56, 73, 75	syl23anc 1376	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
77	48, 76	erthi 8758	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
78	41, 77	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
79	5, 35, 53	qus1 21023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄)))
80	79	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
81	21, 38, 80	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
82	78, 81	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
83	13, 16, 82	rspcedvd 3614	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
84	39	snssd 4812	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑅))
85	50, 84	unssd 4186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅))
86		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
87	86, 7, 33	rspcl 20997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
88	20, 85, 87	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
89	86, 7	rspssid 20998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
90	20, 85, 89	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
91	90	unssad 4187	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
92	90	unssbd 4188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
93		snssg 4787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))))
94	93	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
95	39, 92, 94	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
96		qsdrngilem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
97	95, 96	eldifd 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∖ 𝑀))
98	7, 20, 22, 88, 91, 97	mxidlmaxv 32859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝑅))
99	55, 98	eleqtrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
100	39, 96	eldifd 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑀))
101	86, 7, 60, 17, 20, 59, 24, 100	elrspunsn 32822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ 𝑀 (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
102	99, 101	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ 𝑀 (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚))
103	83, 102	r19.29vva 3212	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   Er wer 8704  [cec 8705   / cqs 8706  Basecbs 17149  +_gcplusg 17202  ._rcmulr 17203  0_gc0g 17390   /_s cqus 17456  Grpcgrp 18856  inv_gcminusg 18857  SubGrpcsubg 19037  NrmSGrpcnsg 19038   ~_QG cqg 19039  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  opp_rcoppr 20225  NzRingcnzr 20404  LIdealclidl 20929  RSpancrsp 20930  2Idealc2idl 21006  MaxIdealcmxidl 32850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-imas 17459  df-qus 17460  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-nzr 20405  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lmhm 20778  df-lbs 20831  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-rsp 20934  df-2idl 21007  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-uvc 21558  df-mxidl 32851

This theorem is referenced by:  qsdrngi  32884