Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qsdrngilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qsdrngilem 33501
Description: Lemma for qsdrngi 33502. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qsdrng.0 𝑂 = (oppr𝑅)
qsdrng.q 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
qsdrngi.1 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
qsdrngi.2 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
qsdrngilem.1 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
qsdrngilem.2 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑀)
Assertion
Ref Expression
qsdrngilem (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑀   𝑣,𝑄   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝜑,𝑣
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem qsdrngilem
Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 776 . . . . 5 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
2 ovex 7463 . . . . . 6 (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
32ecelqsi 8811 . . . . 5 (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
41, 3syl 17 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
5 qsdrng.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
7 eqid 2734 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
87a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
9 ovexd 7465 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
10 qsdrng.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
116, 8, 9, 10qusbas 17591 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
1211ad3antrrr 730 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
134, 12eleqtrd 2840 . . 3 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
14 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → (𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
1514eqeq1d 2736 . . . 4 (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → ((𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄)))
1615adantl 481 . . 3 (((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) ∧ 𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄)))
17 eqid 2734 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
18 eqid 2734 . . . . . 6 (.r𝑄) = (.r𝑄)
19 nzrring 20532 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2010, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2120ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Ring)
22 qsdrngi.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
237mxidlidl 33470 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25 qsdrng.0 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (oppr𝑅)
2625opprring 20363 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑂 ∈ Ring)
28 qsdrngi.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
29 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
3029mxidlidl 33470 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
3127, 28, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
3224, 31elind 4209 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
33 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
34 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
35 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
3633, 25, 34, 352idlval 21278 . . . . . . . 8 (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂))
3732, 36eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3837ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
39 qsdrngilem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
4039ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
415, 7, 17, 18, 21, 38, 1, 40qusmul2idl 21306 . . . . 5 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑟(.r𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
42 lidlnsg 21275 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
4320, 24, 42syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
44 nsgsubg 19188 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
45 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
467, 45eqger 19208 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
4743, 44, 463syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
4847ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
497, 33lidlss 21239 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
5024, 49syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
5150ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
527, 17, 21, 1, 40ringcld 20276 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
53 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
547, 53ringidcl 20279 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5520, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5655ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
57 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚))
5857oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(1r𝑅)) = (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)))
59 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
60 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
61 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝑅) = (invg𝑅)
6220ringgrpd 20259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
6362ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Grp)
647, 59, 60, 61, 63, 52grplinvd 19024 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(𝑟(.r𝑅)𝑋)) = (0g𝑅))
6564oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ((((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)𝑚) = ((0g𝑅)(+g𝑅)𝑚))
667, 61, 63, 52grpinvcld 19018 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋)) ∈ (Base‘𝑅))
67 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑚𝑀)
6851, 67sseldd 3995 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
697, 59, 63, 66, 52, 68grpassd 18975 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ((((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)𝑚) = (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)))
707, 59, 60, 63, 68grplidd 18999 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)𝑚) = 𝑚)
7165, 69, 703eqtr3d 2782 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) = 𝑚)
7258, 71eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(1r𝑅)) = 𝑚)
7372, 67eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝑀)
747, 61, 59, 45eqgval 19207 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) → ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r𝑅) ↔ ((𝑟(.r𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝑀)))
7574biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑟(.r𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg𝑅)‘(𝑟(.r𝑅)𝑋))(+g𝑅)(1r𝑅)) ∈ 𝑀)) → (𝑟(.r𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r𝑅))
7621, 51, 52, 56, 73, 75syl23anc 1376 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r𝑅))
7748, 76erthi 8796 . . . . 5 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → [(𝑟(.r𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
7841, 77eqtrd 2774 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
795, 35, 53qus1 21301 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r𝑄)))
8079simprd 495 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r𝑄))
8121, 38, 80syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → [(1r𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r𝑄))
8278, 81eqtrd 2774 . . 3 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄))
8313, 16, 82rspcedvd 3623 . 2 ((((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚𝑀) ∧ (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄))
8439snssd 4813 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑅))
8550, 84unssd 4201 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅))
86 eqid 2734 . . . . . . 7 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
8786, 7, 33rspcl 21262 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
8820, 85, 87syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
8986, 7rspssid 21263 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
9020, 85, 89syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
9190unssad 4202 . . . . 5 (𝜑𝑀 ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
9290unssbd 4203 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
93 snssg 4787 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))))
9493biimpar 477 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
9539, 92, 94syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
96 qsdrngilem.2 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑀)
9795, 96eldifd 3973 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∖ 𝑀))
987, 20, 22, 88, 91, 97mxidlmaxv 33475 . . . 4 (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝑅))
9955, 98eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
10039, 96eldifd 3973 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑀))
10186, 7, 60, 17, 20, 59, 24, 100elrspunsn 33436 . . 3 (𝜑 → ((1r𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚𝑀 (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚)))
10299, 101mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚𝑀 (1r𝑅) = ((𝑟(.r𝑅)𝑋)(+g𝑅)𝑚))
10383, 102r19.29vva 3213 1 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  Vcvv 3477  cun 3960  cin 3961  wss 3962  {csn 4630   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430   Er wer 8740  [cec 8741   / cqs 8742  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17485   /s cqus 17551  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  SubGrpcsubg 19150  NrmSGrpcnsg 19151   ~QG cqg 19152  1rcur 20198  Ringcrg 20250  opprcoppr 20349  NzRingcnzr 20528  LIdealclidl 21233  RSpancrsp 21234  2Idealc2idl 21276  MaxIdealcmxidl 33466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-nzr 20529  df-subrg 20586  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lmhm 21038  df-lbs 21091  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-uvc 21820  df-mxidl 33467
This theorem is referenced by:  qsdrngi  33502
  Copyright terms: Public domain W3C validator