Theorem qsdrngilem 33785

Description: Lemma for qsdrngi 33786. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsdrng.0	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
qsdrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrngi.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
qsdrngi.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
qsdrngilem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
qsdrngilem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
qsdrngilem	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑀   𝑣,𝑄   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝜑,𝑣

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem qsdrngilem

Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 787	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
2		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
3	2	ecelqsi 8765	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
5		qsdrng.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
7		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
9		ovexd 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
10		qsdrng.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
11	6, 8, 9, 10	qusbas 17605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
12	11	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
13	4, 12	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
14		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → (𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
15	14	eqeq1d 2764	. . . 4 ⊢ (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → ((𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄)))
16	15	adantl 486	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) ∧ 𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄)))
17		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
19		nzrring 20624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	10, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		qsdrngi.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
23	7	mxidlidl 33755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
24	20, 22, 23	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25		qsdrng.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
26	25	opprring 20436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
27	20, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)
28		qsdrngi.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
29		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
30	29	mxidlidl 33755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
31	27, 28, 30	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
32	24, 31	elind 4152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
33		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
34		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
35		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
36	33, 25, 34, 35	2idlval 21401	. . . . . . . 8 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂))
37	32, 36	eleqtrrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
38	37	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
39		qsdrngilem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
40	39	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
41	5, 7, 17, 18, 21, 38, 1, 40	qusmul2idl 21429	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
42		lidlnsg 21393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
43	20, 24, 42	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
44		nsgsubg 19230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
45		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
46	7, 45	eqger 19252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
47	43, 44, 46	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
48	47	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
49	7, 33	lidlss 21347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
50	24, 49	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
51	50	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
52	7, 17, 21, 1, 40	ringcld 20345	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
53		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
54	7, 53	ringidcl 20355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
55	20, 54	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
56	55	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
57		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚))
58	57	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
59		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
60		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
61		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
62	20	ringgrpd 20330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
63	62	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Grp)
64	7, 59, 60, 61, 63, 52	grplinvd 19067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)) = (0g‘𝑅))
65	64	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)𝑚) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑚))
66	7, 61, 63, 52	grpinvcld 19061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)) ∈ (Base‘𝑅))
67		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑚 ∈ 𝑀)
68	51, 67	sseldd 3937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
69	7, 59, 63, 66, 52, 68	grpassd 19018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)𝑚) = (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
70	7, 59, 60, 63, 68	grplidd 19042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑚) = 𝑚)
71	65, 69, 70	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) = 𝑚)
72	58, 71	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑚)
73	72, 67	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
74	7, 61, 59, 45	eqgval 19251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) → ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)))
75	74	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
76	21, 51, 52, 56, 73, 75	syl23anc 1403	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
77	48, 76	erthi 8749	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
78	41, 77	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
79	5, 35, 53	qus1 21424	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄)))
80	79	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
81	21, 38, 80	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
82	78, 81	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
83	13, 16, 82	rspcedvd 3582	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
84	39	snssd 4751	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑅))
85	50, 84	unssd 4144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅))
86		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
87	86, 7, 33	rspcl 21375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
88	20, 85, 87	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
89	86, 7	rspssid 21376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
90	20, 85, 89	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
91	90	unssad 4145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
92	90	unssbd 4146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
93		snssg 4748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))))
94	93	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
95	39, 92, 94	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
96		qsdrngilem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
97	95, 96	eldifd 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∖ 𝑀))
98	7, 20, 22, 88, 91, 97	mxidlmaxv 33760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝑅))
99	55, 98	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
100	39, 96	eldifd 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑀))
101	86, 7, 60, 17, 20, 59, 24, 100	elrspunsn 33746	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ 𝑀 (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
102	99, 101	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ 𝑀 (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚))
103	83, 102	r19.29vva 3224	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088  Vcvv 3454   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   Er wer 8689  [cec 8690   / cqs 8691  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498   /_s cqus 17565  Grpcgrp 19006  inv_gcminusg 19007  SubGrpcsubg 19192  NrmSGrpcnsg 19193   ~_QG cqg 19194  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  opp_rcoppr 20425  NzRingcnzr 20620  LIdealclidl 21341  RSpancrsp 21342  2Idealc2idl 21399  MaxIdealcmxidl 33751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-nsg 19196  df-eqg 19197  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-nzr 20621  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lmhm 21154  df-lbs 21207  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-2idl 21400  df-dsmm 21893  df-frlm 21908  df-uvc 21944  df-mxidl 33752

This theorem is used by:  qsdrngi  33786