Theorem qsdrngilem 33458

Description: Lemma for qsdrngi 33459. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qsdrng.0	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
qsdrng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
qsdrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
qsdrngi.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
qsdrngi.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
qsdrngilem.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
qsdrngilem.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
qsdrngilem	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑀   𝑣,𝑄   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝜑,𝑣

Allowed substitution hint:   𝑂(𝑣)

Proof of Theorem qsdrngilem

Dummy variables 𝑚 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
2		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V
3	2	ecelqsi 8720	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (Base‘𝑅) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)))
5		qsdrng.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀))
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑀)))
7		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
9		ovexd 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) ∈ V)
10		qsdrng.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
11	6, 8, 9, 10	qusbas 17484	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
12	11	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((Base‘𝑅) / (𝑅 ~QG 𝑀)) = (Base‘𝑄))
13	4, 12	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
14		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → (𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)))
15	14	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀) → ((𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄)))
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) ∧ 𝑣 = [𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)) → ((𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄) ↔ ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄)))
17		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
19		nzrring 20436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	10, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	20	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		qsdrngi.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
23	7	mxidlidl 33427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
24	20, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25		qsdrng.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
26	25	opprring 20267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)
28		qsdrngi.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂))
29		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
30	29	mxidlidl 33427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdeal‘𝑂)) → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
31	27, 28, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑂))
32	24, 31	elind 4159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
33		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
34		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
35		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
36	33, 25, 34, 35	2idlval 21193	. . . . . . . 8 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂))
37	32, 36	eleqtrrdi 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
38	37	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅))
39		qsdrngilem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
40	39	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
41	5, 7, 17, 18, 21, 38, 1, 40	qusmul2idl 21221	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀))
42		lidlnsg 21190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
43	20, 24, 42	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
44		nsgsubg 19072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅))
45		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑀) = (𝑅 ~QG 𝑀)
46	7, 45	eqger 19092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
47	43, 44, 46	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
48	47	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑅 ~QG 𝑀) Er (Base‘𝑅))
49	7, 33	lidlss 21154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
50	24, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
51	50	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅))
52	7, 17, 21, 1, 40	ringcld 20180	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
53		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
54	7, 53	ringidcl 20185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
55	20, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
56	55	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
57		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚))
58	57	oveq2d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
59		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
60		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
61		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
62	20	ringgrpd 20162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
63	62	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑅 ∈ Grp)
64	7, 59, 60, 61, 63, 52	grplinvd 18908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)) = (0g‘𝑅))
65	64	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)𝑚) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑚))
66	7, 61, 63, 52	grpinvcld 18902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)) ∈ (Base‘𝑅))
67		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑚 ∈ 𝑀)
68	51, 67	sseldd 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
69	7, 59, 63, 66, 52, 68	grpassd 18859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)𝑚) = (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
70	7, 59, 60, 63, 68	grplidd 18883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)𝑚) = 𝑚)
71	65, 69, 70	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) = 𝑚)
72	58, 71	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑚)
73	72, 67	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)
74	7, 61, 59, 45	eqgval 19091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) → ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅) ↔ ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)))
75	74	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ⊆ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (((invg‘𝑅)‘(𝑟(.r‘𝑅)𝑋))(+g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ 𝑀)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
76	21, 51, 52, 56, 73, 75	syl23anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → (𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(𝑅 ~QG 𝑀)(1r‘𝑅))
77	48, 76	erthi 8704	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [(𝑟(.r‘𝑅)𝑋)](𝑅 ~QG 𝑀) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
78	41, 77	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀))
79	5, 35, 53	qus1 21216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (𝑄 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄)))
80	79	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
81	21, 38, 80	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑀) = (1r‘𝑄))
82	78, 81	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ([𝑟](𝑅 ~QG 𝑀)(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
83	13, 16, 82	rspcedvd 3587	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ 𝑀) ∧ (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))
84	39	snssd 4769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝑅))
85	50, 84	unssd 4151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅))
86		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
87	86, 7, 33	rspcl 21177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
88	20, 85, 87	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∈ (LIdeal‘𝑅))
89	86, 7	rspssid 21178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
90	20, 85, 89	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ {𝑋}) ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
91	90	unssad 4152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
92	90	unssbd 4153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
93		snssg 4743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑅) → (𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))))
94	93	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ {𝑋} ⊆ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋}))) → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
95	39, 92, 94	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
96		qsdrngilem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑀)
97	95, 96	eldifd 3922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ∖ 𝑀))
98	7, 20, 22, 88, 91, 97	mxidlmaxv 33432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) = (Base‘𝑅))
99	55, 98	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})))
100	39, 96	eldifd 3922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ 𝑀))
101	86, 7, 60, 17, 20, 59, 24, 100	elrspunsn 33393	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑀 ∪ {𝑋})) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ 𝑀 (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚)))
102	99, 101	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (Base‘𝑅)∃𝑚 ∈ 𝑀 (1r‘𝑅) = ((𝑟(.r‘𝑅)𝑋)(+g‘𝑅)𝑚))
103	83, 102	r19.29vva 3195	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑄)(𝑣(.r‘𝑄)[𝑋](𝑅 ~QG 𝑀)) = (1r‘𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  {csn 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   Er wer 8645  [cec 8646   / cqs 8647  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378   /_s cqus 17444  Grpcgrp 18847  inv_gcminusg 18848  SubGrpcsubg 19034  NrmSGrpcnsg 19035   ~_QG cqg 19036  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  opp_rcoppr 20256  NzRingcnzr 20432  LIdealclidl 21148  RSpancrsp 21149  2Idealc2idl 21191  MaxIdealcmxidl 33423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-imas 17447  df-qus 17448  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-nsg 19038  df-eqg 19039  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-nzr 20433  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lmhm 20961  df-lbs 21014  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-lidl 21150  df-rsp 21151  df-2idl 21192  df-dsmm 21674  df-frlm 21689  df-uvc 21725  df-mxidl 33424

This theorem is referenced by:  qsdrngi  33459