Theorem grpass 18328

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18326	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18136	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 583	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749  Mndcmnd 18127  Grpcgrp 18319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-nul 5184

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-iota 6316  df-fv 6366  df-ov 7194  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-grp 18322

This theorem is referenced by:  grprcan  18355  grprinv  18371  grpinvid1  18372  grpinvid2  18373  grplcan  18379  grpasscan1  18380  grpasscan2  18381  grplmulf1o  18391  grpinvadd  18395  grpsubadd  18405  grpaddsubass  18407  grpsubsub4  18410  dfgrp3  18416  grplactcnv  18420  imasgrp  18433  mulgaddcomlem  18468  mulgaddcom  18469  mulgdirlem  18476  issubg2  18512  isnsg3  18530  nmzsubg  18535  ssnmz  18536  eqger  18548  eqgcpbl  18552  qusgrp  18553  conjghm  18607  conjnmz  18610  subgga  18648  cntzsubg  18685  sylow1lem2  18942  sylow2blem1  18963  sylow2blem2  18964  sylow2blem3  18965  sylow3lem1  18970  sylow3lem2  18971  lsmass  19013  lsmmod  19019  lsmdisj2  19026  gex2abl  19190  ringcom  19551  lmodass  19868  evpmodpmf1o  20512  psrgrp  20877  ghmcnp  22966  qustgpopn  22971  cnncvsaddassdemo  24014  ogrpaddltbi  31017  ogrpaddltrbid  31019  ogrpinvlt  31022  cyc3genpmlem  31091  archiabllem2c  31122  quslsm  31261  lfladdass  36773  dvhvaddass  38797