Theorem grpass 18907

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18905	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18700	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  Mndcmnd 18691  Grpcgrp 18898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6446  df-fv 6498  df-ov 7361  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901

This theorem is referenced by:  grpassd  18910  grprcan  18938  grprinv  18955  grpinvid1  18956  grpinvid2  18957  grplcan  18965  grpasscan1  18966  grpasscan2  18967  grpinvadd  18983  grpsubadd  18993  grpaddsubass  18995  grpsubsub4  18998  dfgrp3  19004  grplactcnv  19008  imasgrp  19021  mulgaddcomlem  19062  mulgaddcom  19063  mulgdirlem  19070  issubg2  19106  isnsg3  19124  nmzsubg  19129  ssnmz  19130  eqgcpbl  19146  qusgrp  19150  conjghm  19213  subgga  19264  cntzsubg  19303  sylow1lem2  19563  sylow2blem1  19584  sylow2blem2  19585  sylow2blem3  19586  sylow3lem1  19591  sylow3lem2  19592  lsmass  19633  lsmmod  19639  lsmdisj2  19646  gex2abl  19815  ogrpaddltbi  20103  ogrpaddltrbid  20105  ogrpinvlt  20108  ringcom  20250  lmodass  20860  evpmodpmf1o  21584  ghmcnp  24089  qustgpopn  24094  cnncvsaddassdemo  25139  cyc3genpmlem  33232  archiabllem2c  33276  quslsm  33485  lfladdass  39530  dvhvaddass  41554