Theorem grpass 18904

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18902	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18708	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 578	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  +_gcplusg 17238  Mndcmnd 18699  Grpcgrp 18895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2698  ax-nul 5308

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-iota 6503  df-fv 6559  df-ov 7427  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898

This theorem is referenced by:  grpassd  18907  grprcan  18935  grprinv  18952  grpinvid1  18953  grpinvid2  18954  grplcan  18962  grpasscan1  18963  grpasscan2  18964  grpinvadd  18979  grpsubadd  18989  grpaddsubass  18991  grpsubsub4  18994  dfgrp3  19000  grplactcnv  19004  imasgrp  19017  mulgaddcomlem  19057  mulgaddcom  19058  mulgdirlem  19065  issubg2  19101  isnsg3  19120  nmzsubg  19125  ssnmz  19126  eqgcpbl  19142  qusgrp  19146  conjghm  19208  subgga  19256  cntzsubg  19295  sylow1lem2  19559  sylow2blem1  19580  sylow2blem2  19581  sylow2blem3  19582  sylow3lem1  19587  sylow3lem2  19588  lsmass  19629  lsmmod  19635  lsmdisj2  19642  gex2abl  19811  ringcom  20221  lmodass  20764  evpmodpmf1o  21533  psrgrpOLD  21905  ghmcnp  24037  qustgpopn  24042  cnncvsaddassdemo  25109  ogrpaddltbi  32816  ogrpaddltrbid  32818  ogrpinvlt  32821  cyc3genpmlem  32890  archiabllem2c  32921  quslsm  33133  lfladdass  38549  dvhvaddass  40574