Theorem grpass 18501

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18499	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18309	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 579	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Mndcmnd 18300  Grpcgrp 18492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495

This theorem is referenced by:  grprcan  18528  grprinv  18544  grpinvid1  18545  grpinvid2  18546  grplcan  18552  grpasscan1  18553  grpasscan2  18554  grplmulf1o  18564  grpinvadd  18568  grpsubadd  18578  grpaddsubass  18580  grpsubsub4  18583  dfgrp3  18589  grplactcnv  18593  imasgrp  18606  mulgaddcomlem  18641  mulgaddcom  18642  mulgdirlem  18649  issubg2  18685  isnsg3  18703  nmzsubg  18708  ssnmz  18709  eqger  18721  eqgcpbl  18725  qusgrp  18726  conjghm  18780  conjnmz  18783  subgga  18821  cntzsubg  18858  sylow1lem2  19119  sylow2blem1  19140  sylow2blem2  19141  sylow2blem3  19142  sylow3lem1  19147  sylow3lem2  19148  lsmass  19190  lsmmod  19196  lsmdisj2  19203  gex2abl  19367  ringcom  19733  lmodass  20053  evpmodpmf1o  20713  psrgrp  21077  ghmcnp  23174  qustgpopn  23179  cnncvsaddassdemo  24232  ogrpaddltbi  31246  ogrpaddltrbid  31248  ogrpinvlt  31251  cyc3genpmlem  31320  archiabllem2c  31351  quslsm  31495  lfladdass  37014  dvhvaddass  39038