Theorem grpass 17870

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 17868	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 17741	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  +_gcplusg 16394  Mndcmnd 17733  Grpcgrp 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-ext 2769  ax-nul 5101

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-iota 6189  df-fv 6233  df-ov 7019  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864

This theorem is referenced by:  grprcan  17894  grprinv  17910  grpinvid1  17911  grpinvid2  17912  grplcan  17918  grpasscan1  17919  grpasscan2  17920  grplmulf1o  17930  grpinvadd  17934  grpsubadd  17944  grpaddsubass  17946  grpsubsub4  17949  dfgrp3  17955  grplactcnv  17959  imasgrp  17972  mulgaddcomlem  18004  mulgaddcom  18005  mulgdirlem  18012  issubg2  18048  isnsg3  18067  nmzsubg  18074  ssnmz  18075  eqger  18083  eqgcpbl  18087  qusgrp  18088  conjghm  18130  conjnmz  18133  subgga  18171  cntzsubg  18208  sylow1lem2  18454  sylow2blem1  18475  sylow2blem2  18476  sylow2blem3  18477  sylow3lem1  18482  sylow3lem2  18483  lsmass  18523  lsmmod  18528  lsmdisj2  18535  gex2abl  18694  ringcom  19019  lmodass  19339  psrgrp  19866  evpmodpmf1o  20422  ghmcnp  22406  qustgpopn  22411  cnncvsaddassdemo  23450  ogrpaddltbi  30379  ogrpaddltrbid  30381  ogrpinvlt  30384  cyc3genpmlem  30431  archiabllem2c  30462  lfladdass  35740  dvhvaddass  37764