Theorem grpass 18890

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18888	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18694	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 579	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +_gcplusg 17224  Mndcmnd 18685  Grpcgrp 18881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2698  ax-nul 5300

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7417  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884

This theorem is referenced by:  grpassd  18893  grprcan  18921  grprinv  18938  grpinvid1  18939  grpinvid2  18940  grplcan  18948  grpasscan1  18949  grpasscan2  18950  grpinvadd  18965  grpsubadd  18975  grpaddsubass  18977  grpsubsub4  18980  dfgrp3  18986  grplactcnv  18990  imasgrp  19003  mulgaddcomlem  19043  mulgaddcom  19044  mulgdirlem  19051  issubg2  19087  isnsg3  19106  nmzsubg  19111  ssnmz  19112  eqgcpbl  19128  qusgrp  19132  conjghm  19194  conjnmz  19197  subgga  19242  cntzsubg  19281  sylow1lem2  19545  sylow2blem1  19566  sylow2blem2  19567  sylow2blem3  19568  sylow3lem1  19573  sylow3lem2  19574  lsmass  19615  lsmmod  19621  lsmdisj2  19628  gex2abl  19797  ringcom  20205  lmodass  20748  evpmodpmf1o  21515  psrgrpOLD  21887  ghmcnp  24006  qustgpopn  24011  cnncvsaddassdemo  25078  ogrpaddltbi  32776  ogrpaddltrbid  32778  ogrpinvlt  32781  cyc3genpmlem  32850  archiabllem2c  32881  quslsm  33055  lfladdass  38482  dvhvaddass  40507