Theorem grpass 18884

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18882	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18680	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Mndcmnd 18671  Grpcgrp 18875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5253

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878

This theorem is referenced by:  grpassd  18887  grprcan  18915  grprinv  18932  grpinvid1  18933  grpinvid2  18934  grplcan  18942  grpasscan1  18943  grpasscan2  18944  grpinvadd  18960  grpsubadd  18970  grpaddsubass  18972  grpsubsub4  18975  dfgrp3  18981  grplactcnv  18985  imasgrp  18998  mulgaddcomlem  19039  mulgaddcom  19040  mulgdirlem  19047  issubg2  19083  isnsg3  19101  nmzsubg  19106  ssnmz  19107  eqgcpbl  19123  qusgrp  19127  conjghm  19190  subgga  19241  cntzsubg  19280  sylow1lem2  19540  sylow2blem1  19561  sylow2blem2  19562  sylow2blem3  19563  sylow3lem1  19568  sylow3lem2  19569  lsmass  19610  lsmmod  19616  lsmdisj2  19623  gex2abl  19792  ogrpaddltbi  20080  ogrpaddltrbid  20082  ogrpinvlt  20085  ringcom  20227  lmodass  20839  evpmodpmf1o  21563  ghmcnp  24071  qustgpopn  24076  cnncvsaddassdemo  25131  cyc3genpmlem  33244  archiabllem2c  33288  quslsm  33497  lfladdass  39438  dvhvaddass  41462