Theorem grpass 18876

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18874	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18672	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  Mndcmnd 18663  Grpcgrp 18867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7363  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870

This theorem is referenced by:  grpassd  18879  grprcan  18907  grprinv  18924  grpinvid1  18925  grpinvid2  18926  grplcan  18934  grpasscan1  18935  grpasscan2  18936  grpinvadd  18952  grpsubadd  18962  grpaddsubass  18964  grpsubsub4  18967  dfgrp3  18973  grplactcnv  18977  imasgrp  18990  mulgaddcomlem  19031  mulgaddcom  19032  mulgdirlem  19039  issubg2  19075  isnsg3  19093  nmzsubg  19098  ssnmz  19099  eqgcpbl  19115  qusgrp  19119  conjghm  19182  subgga  19233  cntzsubg  19272  sylow1lem2  19532  sylow2blem1  19553  sylow2blem2  19554  sylow2blem3  19555  sylow3lem1  19560  sylow3lem2  19561  lsmass  19602  lsmmod  19608  lsmdisj2  19615  gex2abl  19784  ogrpaddltbi  20072  ogrpaddltrbid  20074  ogrpinvlt  20077  ringcom  20219  lmodass  20831  evpmodpmf1o  21555  ghmcnp  24063  qustgpopn  24068  cnncvsaddassdemo  25123  cyc3genpmlem  33214  archiabllem2c  33258  quslsm  33467  lfladdass  39370  dvhvaddass  41394