Theorem grpass 18999

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18997	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18791	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 591	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  Mndcmnd 18782  Grpcgrp 18990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993

This theorem is referenced by:  grpassd  19002  grprcan  19030  grprinv  19047  grpinvid1  19048  grpinvid2  19049  grplcan  19057  grpasscan1  19058  grpasscan2  19059  grpinvadd  19075  grpsubadd  19085  grpaddsubass  19087  grpsubsub4  19090  dfgrp3  19096  grplactcnv  19100  imasgrp  19113  mulgaddcomlem  19154  mulgaddcom  19155  mulgdirlem  19162  issubg2  19199  isnsg3  19217  nmzsubg  19222  ssnmz  19223  eqgcpbl  19241  qusgrp  19248  conjghm  19310  subgga  19361  cntzsubg  19400  sylow1lem2  19660  sylow2blem1  19681  sylow2blem2  19682  sylow2blem3  19683  sylow3lem1  19688  sylow3lem2  19689  lsmass  19730  lsmmod  19736  lsmdisj2  19743  gex2abl  19912  ogrpaddltbi  20200  ogrpaddltrbid  20202  ogrpinvlt  20205  ringcom  20354  lmodass  20966  evpmodpmf1o  21706  ghmcnp  24233  qustgpopn  24238  cnncvsaddassdemo  25283  cyc3genpmlem  33384  archiabllem2c  33428  quslsm  33630  lfladdass  39709  dvhvaddass  41733