Theorem grpass 19015

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 19013	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18807	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 591	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  Mndcmnd 18798  Grpcgrp 19006

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-nul 5268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009

This theorem is used by:  grpassd  19018  grprcan  19046  grprinv  19063  grpinvid1  19064  grpinvid2  19065  grplcan  19073  grpasscan1  19074  grpasscan2  19075  grpinvadd  19090  grpsubadd  19100  grpaddsubass  19102  grpsubsub4  19105  dfgrp3  19111  grplactcnv  19115  imasgrp  19128  mulgaddcomlem  19169  mulgaddcom  19170  mulgdirlem  19177  issubg2  19214  isnsg3  19232  nmzsubg  19237  ssnmz  19238  eqgcpbl  19256  qusgrp  19263  conjghm  19325  subgga  19376  cntzsubg  19415  sylow1lem2  19675  sylow2blem1  19696  sylow2blem2  19697  sylow2blem3  19698  sylow3lem1  19703  sylow3lem2  19704  lsmass  19745  lsmmod  19751  lsmdisj2  19758  gex2abl  19927  ogrpaddltbi  20215  ogrpaddltrbid  20217  ogrpinvlt  20220  ringcom  20370  lmodass  21008  evpmodpmf1o  21757  ghmcnp  24283  qustgpopn  24288  cnncvsaddassdemo  25333  cyc3genpmlem  33480  archiabllem2c  33524  quslsm  33723  lfladdass  39875  dvhvaddass  41899