Theorem grpass 18982

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18980	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18781	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 579	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Mndcmnd 18772  Grpcgrp 18973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-nul 5324

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976

This theorem is referenced by:  grpassd  18985  grprcan  19013  grprinv  19030  grpinvid1  19031  grpinvid2  19032  grplcan  19040  grpasscan1  19041  grpasscan2  19042  grpinvadd  19058  grpsubadd  19068  grpaddsubass  19070  grpsubsub4  19073  dfgrp3  19079  grplactcnv  19083  imasgrp  19096  mulgaddcomlem  19137  mulgaddcom  19138  mulgdirlem  19145  issubg2  19181  isnsg3  19200  nmzsubg  19205  ssnmz  19206  eqgcpbl  19222  qusgrp  19226  conjghm  19289  subgga  19340  cntzsubg  19379  sylow1lem2  19641  sylow2blem1  19662  sylow2blem2  19663  sylow2blem3  19664  sylow3lem1  19669  sylow3lem2  19670  lsmass  19711  lsmmod  19717  lsmdisj2  19724  gex2abl  19893  ringcom  20303  lmodass  20896  evpmodpmf1o  21637  psrgrpOLD  22000  ghmcnp  24144  qustgpopn  24149  cnncvsaddassdemo  25216  ogrpaddltbi  33068  ogrpaddltrbid  33070  ogrpinvlt  33073  cyc3genpmlem  33144  archiabllem2c  33175  quslsm  33398  lfladdass  39029  dvhvaddass  41054