Theorem grpass 18972

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18970	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18768	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  Mndcmnd 18759  Grpcgrp 18963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-nul 5311

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-iota 6515  df-fv 6570  df-ov 7433  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966

This theorem is referenced by:  grpassd  18975  grprcan  19003  grprinv  19020  grpinvid1  19021  grpinvid2  19022  grplcan  19030  grpasscan1  19031  grpasscan2  19032  grpinvadd  19048  grpsubadd  19058  grpaddsubass  19060  grpsubsub4  19063  dfgrp3  19069  grplactcnv  19073  imasgrp  19086  mulgaddcomlem  19127  mulgaddcom  19128  mulgdirlem  19135  issubg2  19171  isnsg3  19190  nmzsubg  19195  ssnmz  19196  eqgcpbl  19212  qusgrp  19216  conjghm  19279  subgga  19330  cntzsubg  19369  sylow1lem2  19631  sylow2blem1  19652  sylow2blem2  19653  sylow2blem3  19654  sylow3lem1  19659  sylow3lem2  19660  lsmass  19701  lsmmod  19707  lsmdisj2  19714  gex2abl  19883  ringcom  20293  lmodass  20890  evpmodpmf1o  21631  psrgrpOLD  21994  ghmcnp  24138  qustgpopn  24143  cnncvsaddassdemo  25210  ogrpaddltbi  33077  ogrpaddltrbid  33079  ogrpinvlt  33082  cyc3genpmlem  33153  archiabllem2c  33184  quslsm  33412  lfladdass  39054  dvhvaddass  41079