Theorem grpass 17785

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 17783	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 17655	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 577	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +_gcplusg 16305  Mndcmnd 17647  Grpcgrp 17776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-nul 5013

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-iota 6086  df-fv 6131  df-ov 6908  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779

This theorem is referenced by:  grprcan  17809  grprinv  17823  grpinvid1  17824  grpinvid2  17825  grplcan  17831  grpasscan1  17832  grpasscan2  17833  grplmulf1o  17843  grpinvadd  17847  grpsubadd  17857  grpaddsubass  17859  grpsubsub4  17862  dfgrp3  17868  grplactcnv  17872  imasgrp  17885  mulgaddcomlem  17916  mulgaddcom  17917  mulgdirlem  17924  issubg2  17960  isnsg3  17979  nmzsubg  17986  ssnmz  17987  eqger  17995  eqgcpbl  17999  qusgrp  18000  conjghm  18042  conjnmz  18045  subgga  18083  cntzsubg  18119  sylow1lem2  18365  sylow2blem1  18386  sylow2blem2  18387  sylow2blem3  18388  sylow3lem1  18393  sylow3lem2  18394  lsmass  18434  lsmmod  18439  lsmdisj2  18446  gex2abl  18607  ringcom  18933  lmodass  19234  psrgrp  19759  evpmodpmf1o  20302  ghmcnp  22288  qustgpopn  22293  cnncvsaddassdemo  23332  ogrpaddltbi  30264  ogrpaddltrbid  30266  ogrpinvlt  30269  archiabllem2c  30294  lfladdass  35148  dvhvaddass  37172