Theorem grpass 18614

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18612	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18422	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 579	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  Basecbs 16940  +_gcplusg 16990  Mndcmnd 18413  Grpcgrp 18605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-ext 2704  ax-nul 5233

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2063  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-iota 6399  df-fv 6455  df-ov 7298  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-grp 18608

This theorem is referenced by:  grprcan  18641  grprinv  18657  grpinvid1  18658  grpinvid2  18659  grplcan  18665  grpasscan1  18666  grpasscan2  18667  grplmulf1o  18677  grpinvadd  18681  grpsubadd  18691  grpaddsubass  18693  grpsubsub4  18696  dfgrp3  18702  grplactcnv  18706  imasgrp  18719  mulgaddcomlem  18754  mulgaddcom  18755  mulgdirlem  18762  issubg2  18798  isnsg3  18816  nmzsubg  18821  ssnmz  18822  eqger  18834  eqgcpbl  18838  qusgrp  18839  conjghm  18893  conjnmz  18896  subgga  18934  cntzsubg  18971  sylow1lem2  19232  sylow2blem1  19253  sylow2blem2  19254  sylow2blem3  19255  sylow3lem1  19260  sylow3lem2  19261  lsmass  19303  lsmmod  19309  lsmdisj2  19316  gex2abl  19480  ringcom  19846  lmodass  20166  evpmodpmf1o  20829  psrgrp  21195  ghmcnp  23294  qustgpopn  23299  cnncvsaddassdemo  24355  ogrpaddltbi  31372  ogrpaddltrbid  31374  ogrpinvlt  31377  cyc3genpmlem  31446  archiabllem2c  31477  quslsm  31621  lfladdass  37113  dvhvaddass  39137