Theorem grpass 18847

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18845	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18643	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  Mndcmnd 18634  Grpcgrp 18838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-iota 6433  df-fv 6485  df-ov 7344  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841

This theorem is referenced by:  grpassd  18850  grprcan  18878  grprinv  18895  grpinvid1  18896  grpinvid2  18897  grplcan  18905  grpasscan1  18906  grpasscan2  18907  grpinvadd  18923  grpsubadd  18933  grpaddsubass  18935  grpsubsub4  18938  dfgrp3  18944  grplactcnv  18948  imasgrp  18961  mulgaddcomlem  19002  mulgaddcom  19003  mulgdirlem  19010  issubg2  19046  isnsg3  19065  nmzsubg  19070  ssnmz  19071  eqgcpbl  19087  qusgrp  19091  conjghm  19154  subgga  19205  cntzsubg  19244  sylow1lem2  19504  sylow2blem1  19525  sylow2blem2  19526  sylow2blem3  19527  sylow3lem1  19532  sylow3lem2  19533  lsmass  19574  lsmmod  19580  lsmdisj2  19587  gex2abl  19756  ogrpaddltbi  20044  ogrpaddltrbid  20046  ogrpinvlt  20049  ringcom  20191  lmodass  20802  evpmodpmf1o  21526  psrgrpOLD  21887  ghmcnp  24023  qustgpopn  24028  cnncvsaddassdemo  25083  cyc3genpmlem  33110  archiabllem2c  33154  quslsm  33360  lfladdass  39091  dvhvaddass  41115