Theorem grpass 18903

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18901	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18702	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 578	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-dif 3948  df-un 3950  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6499  df-fv 6555  df-ov 7420  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897

This theorem is referenced by:  grpassd  18906  grprcan  18934  grprinv  18951  grpinvid1  18952  grpinvid2  18953  grplcan  18961  grpasscan1  18962  grpasscan2  18963  grpinvadd  18978  grpsubadd  18988  grpaddsubass  18990  grpsubsub4  18993  dfgrp3  18999  grplactcnv  19003  imasgrp  19016  mulgaddcomlem  19056  mulgaddcom  19057  mulgdirlem  19064  issubg2  19100  isnsg3  19119  nmzsubg  19124  ssnmz  19125  eqgcpbl  19141  qusgrp  19145  conjghm  19207  subgga  19255  cntzsubg  19294  sylow1lem2  19558  sylow2blem1  19579  sylow2blem2  19580  sylow2blem3  19581  sylow3lem1  19586  sylow3lem2  19587  lsmass  19628  lsmmod  19634  lsmdisj2  19641  gex2abl  19810  ringcom  20220  lmodass  20763  evpmodpmf1o  21532  psrgrpOLD  21906  ghmcnp  24049  qustgpopn  24054  cnncvsaddassdemo  25121  ogrpaddltbi  32855  ogrpaddltrbid  32857  ogrpinvlt  32860  cyc3genpmlem  32929  archiabllem2c  32960  quslsm  33177  lfladdass  38614  dvhvaddass  40639