Theorem grpass 18874

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpass	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18872	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	mndass 18670	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868

This theorem is referenced by:  grpassd  18877  grprcan  18905  grprinv  18922  grpinvid1  18923  grpinvid2  18924  grplcan  18932  grpasscan1  18933  grpasscan2  18934  grpinvadd  18950  grpsubadd  18960  grpaddsubass  18962  grpsubsub4  18965  dfgrp3  18971  grplactcnv  18975  imasgrp  18988  mulgaddcomlem  19029  mulgaddcom  19030  mulgdirlem  19037  issubg2  19073  isnsg3  19092  nmzsubg  19097  ssnmz  19098  eqgcpbl  19114  qusgrp  19118  conjghm  19181  subgga  19232  cntzsubg  19271  sylow1lem2  19529  sylow2blem1  19550  sylow2blem2  19551  sylow2blem3  19552  sylow3lem1  19557  sylow3lem2  19558  lsmass  19599  lsmmod  19605  lsmdisj2  19612  gex2abl  19781  ringcom  20189  lmodass  20782  evpmodpmf1o  21505  psrgrpOLD  21866  ghmcnp  24002  qustgpopn  24007  cnncvsaddassdemo  25063  ogrpaddltbi  33032  ogrpaddltrbid  33034  ogrpinvlt  33037  cyc3genpmlem  33108  archiabllem2c  33149  quslsm  33376  lfladdass  39066  dvhvaddass  41091