Theorem grpmndd 19186

Description: A group is a monoid. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpmndd.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
grpmndd	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmndd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmndd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpmnd 19180	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Mndcmnd 18952  Grpcgrp 19173

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6512  df-fv 6566  df-ov 7446  df-grp 19176

This theorem is used by:  grpmgmd  19201  hashfingrpnn  19212  xpsinv  19299  ghmgrp  19305  mulgdirlem  19344  ghmmhm  19469  gsumccatsymgsn  19670  symggen  19714  symgtrinv  19716  psgnunilem2  19739  psgneldm2  19748  psgnfitr  19761  lsmass  19913  frgpmhm  20009  frgpuplem  20016  frgpupf  20017  frgpup1  20019  isabld  20039  gsumzinv  20189  telgsumfzslem  20232  telgsumfzs  20233  dprdssv  20262  dprdfadd  20266  pgpfac1lem3a  20322  prdsrngd  20428  ringmnd  20500  unitabl  20644  unitsubm  20646  lmodvsmmulgdi  21202  rngqiprngimf1  21626  psgnghm  21916  rhmcomulmpl  22463  selvvvval  22481  psdmul  22517  psdmvr  22520  ply1chr  22654  clmmulg  25452  dchrptlem3  27623  abliso  33666  gsummulgc2  33697  cyc3genpmlem  33782  elrgspnsubrunlem2  33879  gsumind  33976  quslsm  34026  evl1deg1  34178  evl1deg2  34179  evl1deg3  34180  vr1nz  34195  r1pquslmic  34212  0mplrim  34216  mplmulmvr  34241  mplvrpmmhm  34248  lvecendof1f1o  34335  extdgfialglem1  34394  algextdeglem4  34422  algextdeglem5  34423  rtelextdg2lem  34428  aks6d1c6lem5  43419  rhmcomulpsr  43803  evlsbagval  43807  evlselv  43810  gicabl  44294  mendring  44382  lmodvsmdi  49696  lincvalsng  49733  lincvalsc0  49738  linc0scn0  49740  linc1  49742  lincsum  49746  lincsumcl  49748  snlindsntor  49788  grptcmon  50936  grptcepi  50937