Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlsupr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlsupr 35545
Description: A Hilbert lattice has the superposition property. Theorem 13.2 in [Crawley] p. 107. (Contributed by NM, 30-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlsupr.l = (le‘𝐾)
hlsupr.j = (join‘𝐾)
hlsupr.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlsupr (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐾,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟
Allowed substitution hints:   (𝑟)   (𝑟)

Proof of Theorem hlsupr
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 hlsupr.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 hlsupr.j . . . 4 = (join‘𝐾)
4 hlsupr.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlsuprexch 35540 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐾)((¬ 𝑃 𝑟𝑃 (𝑟 𝑄)) → 𝑄 (𝑟 𝑃))))
65simpld 490 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))))
76imp 397 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  wrex 3091   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  lecple 16349  joincjn 17334  Atomscatm 35422  HLchlt 35509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-iota 6101  df-fv 6145  df-ov 6927  df-cvlat 35481  df-hlat 35510
This theorem is referenced by:  hlsupr2  35546  atbtwnexOLDN  35606  atbtwnex  35607  cdlemb  35953  lhpexle2lem  36168  lhpexle3lem  36170  cdlemf1  36720  cdlemg35  36872
  Copyright terms: Public domain W3C validator