Theorem hlsupr 38245

Description: A Hilbert lattice has the superposition property. Theorem 13.2 in [Crawley] p. 107. (Contributed by NM, 30-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlsupr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlsupr.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlsupr.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlsupr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐾,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑟)   ≤ (𝑟)

Proof of Theorem hlsupr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		hlsupr.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		hlsupr.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		hlsupr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlsuprexch 38240	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐾)((¬ 𝑃 ≤ 𝑟 ∧ 𝑃 ≤ (𝑟 ∨ 𝑄)) → 𝑄 ≤ (𝑟 ∨ 𝑃))))
6	5	simpld 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))))
7	6	imp 407	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Atomscatm 38121  HLchlt 38208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-iota 6492  df-fv 6548  df-ov 7408  df-cvlat 38180  df-hlat 38209

This theorem is referenced by:  hlsupr2  38246  atbtwnexOLDN  38306  atbtwnex  38307  cdlemb  38653  lhpexle2lem  38868  lhpexle3lem  38870  cdlemf1  39420  cdlemg35  39572