Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr2 1196 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ π) |
2 | | simpr3 1197 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β Β¬ π β€ π) |
3 | | nbrne2 5126 |
. . . 4
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π β π) |
4 | 1, 2, 3 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π) |
5 | | atbtwn.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | atbtwn.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | atbtwn.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 5, 6, 7 | hlsupr 37895 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) |
9 | 4, 8 | syldan 592 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) |
10 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
11 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
12 | | simp1l 1198 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
13 | | simp2 1138 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
14 | | simp1r1 1270 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΅) |
15 | | simp1r2 1271 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ π) |
16 | | simp1r3 1272 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
17 | | simp33 1212 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
18 | | atbtwn.b |
. . . . . . . 8
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
19 | 18, 5, 6, 7 | atbtwn 37955 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π β Β¬ π β€ π)) |
20 | 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19 | syl123anc 1388 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π β Β¬ π β€ π)) |
21 | 11, 20 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
22 | 10, 21, 17 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))) |
23 | 22 | 3exp 1120 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π΄ β ((π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))))) |
24 | 23 | reximdvai 3159 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β (βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β βπ β π΄ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π)))) |
25 | 9, 24 | mpd 15 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β βπ β π΄ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))) |