Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemf1 36370
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. TODO: should this or part of it become a stand-alone theorem? (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l = (le‘𝐾)
cdlemf1.j = (join‘𝐾)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemf1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐻,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem cdlemf1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1239 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3l 1243 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
3 simp2l 1241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑈𝐴)
4 simp2r 1242 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑈 𝑊)
5 simp3r 1244 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 𝑊)
6 nbrne2 4806 . . . . 5 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑈𝑃)
76necomd 2998 . . . 4 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑃𝑈)
84, 5, 7syl2anc 573 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝑈)
9 cdlemf1.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 cdlemf1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
129, 10, 11hlsupr 35194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) ∧ 𝑃𝑈) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)))
131, 2, 3, 8, 12syl31anc 1479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)))
14 simp31 1251 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞𝑃)
1514necomd 2998 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃𝑞)
16 simp13r 1373 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ¬ 𝑃 𝑊)
17 simp12r 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈 𝑊)
18 simp11l 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝐾 ∈ HL)
19 hllat 35172 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝐾 ∈ Lat)
21 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2221, 11atbase 35098 . . . . . . . . . . 11 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
23223ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
24 simp12l 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈𝐴)
2521, 11atbase 35098 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
27 simp11r 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑊𝐻)
28 cdlemf1.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2921, 28lhpbase 35806 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3121, 9, 10latjle12 17270 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞 𝑊𝑈 𝑊) ↔ (𝑞 𝑈) 𝑊))
3220, 23, 26, 30, 31syl13anc 1478 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑞 𝑊𝑈 𝑊) ↔ (𝑞 𝑈) 𝑊))
3332biimpd 219 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑞 𝑊𝑈 𝑊) → (𝑞 𝑈) 𝑊))
3417, 33mpan2d 674 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 𝑊 → (𝑞 𝑈) 𝑊))
35 simp33 1253 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞 (𝑃 𝑈))
36 hlcvl 35168 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
3718, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝐾 ∈ CvLat)
38 simp2 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞𝐴)
39 simp13l 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃𝐴)
40 simp32 1252 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞𝑈)
419, 10, 11cvlatexch2 35146 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞𝐴𝑃𝐴𝑈𝐴) ∧ 𝑞𝑈) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑃 (𝑞 𝑈)))
4237, 38, 39, 24, 40, 41syl131anc 1489 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑃 (𝑞 𝑈)))
4335, 42mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃 (𝑞 𝑈))
4421, 11atbase 35098 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4539, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4621, 10, 11hlatjcl 35175 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞𝐴𝑈𝐴) → (𝑞 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
4718, 38, 24, 46syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
4821, 9lattr 17264 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑞 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝑞 𝑈) ∧ (𝑞 𝑈) 𝑊) → 𝑃 𝑊))
4920, 45, 47, 30, 48syl13anc 1478 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑃 (𝑞 𝑈) ∧ (𝑞 𝑈) 𝑊) → 𝑃 𝑊))
5043, 49mpand 675 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑞 𝑈) 𝑊𝑃 𝑊))
5134, 50syld 47 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 𝑊𝑃 𝑊))
5216, 51mtod 189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ¬ 𝑞 𝑊)
539, 10, 11cvlatexch1 35145 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞𝐴𝑈𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑈 (𝑃 𝑞)))
5437, 38, 24, 39, 14, 53syl131anc 1489 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑈 (𝑃 𝑞)))
5535, 54mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈 (𝑃 𝑞))
5615, 52, 553jca 1122 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))
57563exp 1112 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑞𝐴 → ((𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)) → (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))))
5857reximdvai 3163 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞))))
5913, 58mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  Latclat 17253  Atomscatm 35072  CvLatclc 35074  HLchlt 35159  LHypclh 35792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-lhyp 35796
This theorem is referenced by:  cdlemf2  36371  cdlemg5  36414
  Copyright terms: Public domain W3C validator