Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemf1 37689
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. TODO: should this or part of it become a stand-alone theorem? (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l = (le‘𝐾)
cdlemf1.j = (join‘𝐾)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemf1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐻,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem cdlemf1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3l 1195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
3 simp2l 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑈𝐴)
4 simp2r 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑈 𝑊)
5 simp3r 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 𝑊)
6 nbrne2 5077 . . . . 5 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑈𝑃)
76necomd 3069 . . . 4 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑃𝑈)
84, 5, 7syl2anc 586 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝑈)
9 cdlemf1.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 cdlemf1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
129, 10, 11hlsupr 36514 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) ∧ 𝑃𝑈) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)))
131, 2, 3, 8, 12syl31anc 1367 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)))
14 simp31 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞𝑃)
1514necomd 3069 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃𝑞)
16 simp13r 1283 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ¬ 𝑃 𝑊)
17 simp12r 1281 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈 𝑊)
18 simp11l 1278 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝐾 ∈ HL)
1918hllatd 36492 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝐾 ∈ Lat)
20 eqid 2819 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 11atbase 36417 . . . . . . . . . . 11 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
22213ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
23 simp12l 1280 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈𝐴)
2420, 11atbase 36417 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
26 simp11r 1279 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑊𝐻)
27 cdlemf1.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2820, 27lhpbase 37126 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3020, 9, 10latjle12 17664 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞 𝑊𝑈 𝑊) ↔ (𝑞 𝑈) 𝑊))
3119, 22, 25, 29, 30syl13anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑞 𝑊𝑈 𝑊) ↔ (𝑞 𝑈) 𝑊))
3231biimpd 231 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑞 𝑊𝑈 𝑊) → (𝑞 𝑈) 𝑊))
3317, 32mpan2d 692 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 𝑊 → (𝑞 𝑈) 𝑊))
34 simp33 1205 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞 (𝑃 𝑈))
35 hlcvl 36487 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
3618, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝐾 ∈ CvLat)
37 simp2 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞𝐴)
38 simp13l 1282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃𝐴)
39 simp32 1204 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞𝑈)
409, 10, 11cvlatexch2 36465 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞𝐴𝑃𝐴𝑈𝐴) ∧ 𝑞𝑈) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑃 (𝑞 𝑈)))
4136, 37, 38, 23, 39, 40syl131anc 1377 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑃 (𝑞 𝑈)))
4234, 41mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃 (𝑞 𝑈))
4320, 11atbase 36417 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4520, 10, 11hlatjcl 36495 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞𝐴𝑈𝐴) → (𝑞 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
4618, 37, 23, 45syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
4720, 9lattr 17658 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑞 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝑞 𝑈) ∧ (𝑞 𝑈) 𝑊) → 𝑃 𝑊))
4819, 44, 46, 29, 47syl13anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑃 (𝑞 𝑈) ∧ (𝑞 𝑈) 𝑊) → 𝑃 𝑊))
4942, 48mpand 693 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑞 𝑈) 𝑊𝑃 𝑊))
5033, 49syld 47 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 𝑊𝑃 𝑊))
5116, 50mtod 200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ¬ 𝑞 𝑊)
529, 10, 11cvlatexch1 36464 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞𝐴𝑈𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑈 (𝑃 𝑞)))
5336, 37, 23, 38, 14, 52syl131anc 1377 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑈 (𝑃 𝑞)))
5434, 53mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈 (𝑃 𝑞))
5515, 51, 543jca 1122 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))
56553exp 1113 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑞𝐴 → ((𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)) → (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))))
5756reximdvai 3270 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞))))
5813, 57mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wrex 3137   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  Latclat 17647  Atomscatm 36391  CvLatclc 36393  HLchlt 36478  LHypclh 37112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-lhyp 37116
This theorem is referenced by:  cdlemf2  37690  cdlemg5  37733
  Copyright terms: Public domain W3C validator