Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemf1 39370
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. TODO: should this or part of it become a stand-alone theorem? (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemf1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemf1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐻,π‘ž   𝐾,π‘ž   ≀ ,π‘ž   𝑃,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   π‘Š,π‘ž
Allowed substitution hint:   ∨ (π‘ž)
Proof of Theorem cdlemf1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp3l 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp2l 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
4 simp2r 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
5 simp3r 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
6 nbrne2 5167 . . . . 5 ((π‘ˆ ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ β‰  𝑃)
76necomd 2997 . . . 4 ((π‘ˆ ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 β‰  π‘ˆ)
84, 5, 7syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 β‰  π‘ˆ)
9 cdlemf1.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdlemf1.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
129, 10, 11hlsupr 38195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
131, 2, 3, 8, 12syl31anc 1374 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
14 simp31 1210 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ž β‰  𝑃)
1514necomd 2997 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 β‰  π‘ž)
16 simp13r 1290 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
17 simp12r 1288 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
18 simp11l 1285 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1918hllatd 38172 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2120, 11atbase 38097 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22213ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 simp12l 1287 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2420, 11atbase 38097 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
26 simp11r 1286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
27 cdlemf1.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2820, 27lhpbase 38807 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3020, 9, 10latjle12 18399 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
3119, 22, 25, 29, 30syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
3231biimpd 228 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
3317, 32mpan2d 693 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (π‘ž ≀ π‘Š β†’ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
34 simp33 1212 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
35 hlcvl 38167 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
3618, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
37 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
38 simp13l 1289 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
39 simp32 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ž β‰  π‘ˆ)
409, 10, 11cvlatexch2 38145 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ) β†’ (π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ (π‘ž ∨ π‘ˆ)))
4136, 37, 38, 23, 39, 40syl131anc 1384 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ (π‘ž ∨ π‘ˆ)))
4234, 41mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 ≀ (π‘ž ∨ π‘ˆ))
4320, 11atbase 38097 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4520, 10, 11hlatjcl 38175 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4618, 37, 23, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4720, 9lattr 18393 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ∧ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
4819, 44, 46, 29, 47syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ≀ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ∧ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
4942, 48mpand 694 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
5033, 49syld 47 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (π‘ž ≀ π‘Š β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
5116, 50mtod 197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
529, 10, 11cvlatexch1 38144 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž β‰  𝑃) β†’ (π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
5336, 37, 23, 38, 14, 52syl131anc 1384 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
5434, 53mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž))
5515, 51, 543jca 1129 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
56553exp 1120 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))))
5756reximdvai 3166 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž))))
5813, 57mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38071  CvLatclc 38073  HLchlt 38158  LHypclh 38793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-lhyp 38797
This theorem is referenced by:  cdlemf2  39371  cdlemg5  39414
  Copyright terms: Public domain W3C validator