Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemf1 40564
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. TODO: should this or part of it become a stand-alone theorem? (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l = (le‘𝐾)
cdlemf1.j = (join‘𝐾)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemf1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐻,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑈,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem cdlemf1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3l 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
3 simp2l 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑈𝐴)
4 simp2r 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑈 𝑊)
5 simp3r 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ¬ 𝑃 𝑊)
6 nbrne2 5162 . . . . 5 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑈𝑃)
76necomd 2995 . . . 4 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) → 𝑃𝑈)
84, 5, 7syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝑈)
9 cdlemf1.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 cdlemf1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
129, 10, 11hlsupr 39389 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑈𝐴) ∧ 𝑃𝑈) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)))
131, 2, 3, 8, 12syl31anc 1374 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)))
14 simp31 1209 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞𝑃)
1514necomd 2995 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃𝑞)
16 simp13r 1289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ¬ 𝑃 𝑊)
17 simp12r 1287 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈 𝑊)
18 simp11l 1284 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝐾 ∈ HL)
1918hllatd 39366 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝐾 ∈ Lat)
20 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 11atbase 39291 . . . . . . . . . . 11 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
22213ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
23 simp12l 1286 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈𝐴)
2420, 11atbase 39291 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
26 simp11r 1285 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑊𝐻)
27 cdlemf1.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2820, 27lhpbase 40001 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3020, 9, 10latjle12 18496 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑞 𝑊𝑈 𝑊) ↔ (𝑞 𝑈) 𝑊))
3119, 22, 25, 29, 30syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑞 𝑊𝑈 𝑊) ↔ (𝑞 𝑈) 𝑊))
3231biimpd 229 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑞 𝑊𝑈 𝑊) → (𝑞 𝑈) 𝑊))
3317, 32mpan2d 694 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 𝑊 → (𝑞 𝑈) 𝑊))
34 simp33 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞 (𝑃 𝑈))
35 hlcvl 39361 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
3618, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝐾 ∈ CvLat)
37 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞𝐴)
38 simp13l 1288 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃𝐴)
39 simp32 1210 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑞𝑈)
409, 10, 11cvlatexch2 39339 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞𝐴𝑃𝐴𝑈𝐴) ∧ 𝑞𝑈) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑃 (𝑞 𝑈)))
4136, 37, 38, 23, 39, 40syl131anc 1384 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑃 (𝑞 𝑈)))
4234, 41mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃 (𝑞 𝑈))
4320, 11atbase 39291 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4520, 10, 11hlatjcl 39369 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑞𝐴𝑈𝐴) → (𝑞 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
4618, 37, 23, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
4720, 9lattr 18490 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑞 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝑞 𝑈) ∧ (𝑞 𝑈) 𝑊) → 𝑃 𝑊))
4819, 44, 46, 29, 47syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑃 (𝑞 𝑈) ∧ (𝑞 𝑈) 𝑊) → 𝑃 𝑊))
4942, 48mpand 695 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ((𝑞 𝑈) 𝑊𝑃 𝑊))
5033, 49syld 47 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 𝑊𝑃 𝑊))
5116, 50mtod 198 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → ¬ 𝑞 𝑊)
529, 10, 11cvlatexch1 39338 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑞𝐴𝑈𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝑞𝑃) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑈 (𝑃 𝑞)))
5336, 37, 23, 38, 14, 52syl131anc 1384 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑞 (𝑃 𝑈) → 𝑈 (𝑃 𝑞)))
5434, 53mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → 𝑈 (𝑃 𝑞))
5515, 51, 543jca 1128 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴 ∧ (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈))) → (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))
56553exp 1119 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑞𝐴 → ((𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)) → (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))))
5756reximdvai 3164 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (∃𝑞𝐴 (𝑞𝑃𝑞𝑈𝑞 (𝑃 𝑈)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞))))
5813, 57mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑈 (𝑃 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  joincjn 18358  Latclat 18477  Atomscatm 39265  CvLatclc 39267  HLchlt 39352  LHypclh 39987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-lat 18478  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-lhyp 39991
This theorem is referenced by:  cdlemf2  40565  cdlemg5  40608
  Copyright terms: Public domain W3C validator