Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemf1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemf1 39888
Description: Part of Lemma F in [Crawley] p. 116. TODO: should this or part of it become a stand-alone theorem? (Contributed by NM, 12-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemf1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemf1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemf1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemf1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemf1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   𝐻,π‘ž   𝐾,π‘ž   ≀ ,π‘ž   𝑃,π‘ž   π‘ˆ,π‘ž   π‘Š,π‘ž
Allowed substitution hint:   ∨ (π‘ž)
Proof of Theorem cdlemf1
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp3l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simp2l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
4 simp2r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
5 simp3r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
6 nbrne2 5158 . . . . 5 ((π‘ˆ ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ β‰  𝑃)
76necomd 2988 . . . 4 ((π‘ˆ ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 β‰  π‘ˆ)
84, 5, 7syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 β‰  π‘ˆ)
9 cdlemf1.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdlemf1.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdlemf1.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
129, 10, 11hlsupr 38713 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
131, 2, 3, 8, 12syl31anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
14 simp31 1206 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ž β‰  𝑃)
1514necomd 2988 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 β‰  π‘ž)
16 simp13r 1286 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)
17 simp12r 1284 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
18 simp11l 1281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1918hllatd 38690 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
20 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2120, 11atbase 38615 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22213ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ))
23 simp12l 1283 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
2420, 11atbase 38615 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
26 simp11r 1282 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
27 cdlemf1.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2820, 27lhpbase 39325 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3020, 9, 10latjle12 18402 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
3119, 22, 25, 29, 30syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ↔ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
3231biimpd 228 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) β†’ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
3317, 32mpan2d 691 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (π‘ž ≀ π‘Š β†’ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š))
34 simp33 1208 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
35 hlcvl 38685 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
3618, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
37 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
38 simp13l 1285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
39 simp32 1207 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ž β‰  π‘ˆ)
409, 10, 11cvlatexch2 38663 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ) β†’ (π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ (π‘ž ∨ π‘ˆ)))
4136, 37, 38, 23, 39, 40syl131anc 1380 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ 𝑃 ≀ (π‘ž ∨ π‘ˆ)))
4234, 41mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 ≀ (π‘ž ∨ π‘ˆ))
4320, 11atbase 38615 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4520, 10, 11hlatjcl 38693 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4618, 37, 23, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4720, 9lattr 18396 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ∧ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
4819, 44, 46, 29, 47syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ≀ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ∧ (π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š) β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
4942, 48mpand 692 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((π‘ž ∨ π‘ˆ) ≀ π‘Š β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
5033, 49syld 47 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (π‘ž ≀ π‘Š β†’ 𝑃 ≀ π‘Š))
5116, 50mtod 197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
529, 10, 11cvlatexch1 38662 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ π‘ž β‰  𝑃) β†’ (π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
5336, 37, 23, 38, 14, 52syl131anc 1380 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
5434, 53mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž))
5515, 51, 543jca 1125 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴 ∧ (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
56553exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 β†’ ((π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))))
5756reximdvai 3157 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž β‰  π‘ˆ ∧ π‘ž ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž))))
5813, 57mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ π‘ˆ ≀ (𝑃 ∨ π‘ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18263  Latclat 18383  Atomscatm 38589  CvLatclc 38591  HLchlt 38676  LHypclh 39311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-lhyp 39315
This theorem is referenced by:  cdlemf2  39889  cdlemg5  39932
  Copyright terms: Public domain W3C validator