Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle3lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lhpexle3lem 39408
Description: There exists atom under a co-atom different from any three other atoms. TODO: study if adant*, simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpex1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpex1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3lem (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   π‘Š,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝   𝑍,𝑝
Proof of Theorem lhpexle3lem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 lhpex1.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
52, 3, 4lhpexle2 39407 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍))
61, 5syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍))
7 simp31 1207 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍)) β†’ 𝑝 ≀ π‘Š)
8 simp32 1208 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍)) β†’ 𝑝 β‰  𝑋)
9 simp1r 1196 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
108, 9neeqtrd 3005 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍)) β†’ 𝑝 β‰  π‘Œ)
11 simp33 1209 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍)) β†’ 𝑝 β‰  𝑍)
128, 10, 113jca 1126 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍)) β†’ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍))
137, 12jca 511 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍)) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
14133exp 1117 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))))
1514reximdvai 3160 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  𝑍) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍))))
166, 15mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
17 simprrr 781 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑝 ≀ π‘Š)
18 simp11l 1282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 38760 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2221, 3atbase 38685 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2322ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
24 simp121 1303 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
2621, 3atbase 38685 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simp122 1304 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
2928adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
3021, 3atbase 38685 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simprrl 780 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
33 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
3421, 2, 33latnlej1l 18434 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑝 β‰  𝑋)
3520, 23, 27, 31, 32, 34syl131anc 1381 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑝 β‰  𝑋)
3621, 2, 33latnlej1r 18435 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑝 β‰  π‘Œ)
3720, 23, 27, 31, 32, 36syl131anc 1381 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑝 β‰  π‘Œ)
38 simpl3 1191 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
39 nbrne2 5162 . . . . . . . . 9 ((𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑍 β‰  𝑝)
4039necomd 2991 . . . . . . . 8 ((𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑝 β‰  𝑍)
4138, 32, 40syl2anc 583 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑝 β‰  𝑍)
4235, 37, 413jca 1126 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍))
4317, 42jca 511 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
44 simp11 1201 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
45 simp131 1306 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
46 simp132 1307 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ π‘Š)
47 eqid 2727 . . . . . . . 8 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
482, 47, 33, 3, 4lhp2lt 39398 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Š)
4944, 24, 45, 28, 46, 48syl122anc 1377 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Š)
5021, 33, 3hlatjcl 38763 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5118, 24, 28, 50syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52 simp11r 1283 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
5321, 4lhpbase 39395 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5452, 53syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5521, 2, 47, 3hlrelat1 38797 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Š β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š)))
5618, 51, 54, 55syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ ((𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Š β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š)))
5749, 56mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ 𝑝 ≀ π‘Š))
5843, 57reximddv 3166 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
59583expa 1116 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
60 simp11l 1282 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6160adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
6261hllatd 38760 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6322ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
64 simp121 1303 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
6564adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
66 simp122 1304 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
6766adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
6861, 65, 67, 50syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
69 simp11r 1283 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
7069adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
7170, 53syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
72 simprr3 1221 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
73 simp131 1306 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
7473adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
75 simp132 1307 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ π‘Š)
7675adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ≀ π‘Š)
7765, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7867, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7921, 2, 33latjle12 18427 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ π‘Š))
8062, 77, 78, 71, 79syl13anc 1370 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ π‘Š))
8174, 76, 80mpbi2and 711 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ π‘Š)
8221, 2, 62, 63, 68, 71, 72, 81lattrd 18423 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 ≀ π‘Š)
83 simprr1 1219 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 β‰  𝑋)
84 simprr2 1220 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 β‰  π‘Œ)
85 simpl3 1191 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
86 nbrne2 5162 . . . . . . . 8 ((𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑝 β‰  𝑍)
8772, 85, 86syl2anc 583 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 β‰  𝑍)
8883, 84, 873jca 1126 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍))
8982, 88jca 511 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
90 simp2 1135 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
912, 33, 3hlsupr 38783 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
9260, 64, 66, 90, 91syl31anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
9389, 92reximddv 3166 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
94933expa 1116 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑍 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
9559, 94pm2.61dan 812 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
9616, 95pm2.61dane 3024 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š ∧ 𝑍 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 β‰  𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  ltcplt 18285  joincjn 18288  Latclat 18408  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-lhyp 39385
This theorem is referenced by:  lhpexle3  39409
  Copyright terms: Public domain W3C validator