Theorem lhpexle3lem 40845

Description: There exists atom under a co-atom different from any three other atoms. TODO: study if adant*, simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle3lem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle2 40844	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
7		simp31 1228	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
8		simp32 1229	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
9		simp1r 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
10	8, 9	neeqtrd 3029	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≠ 𝑌)
11		simp33 1230	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≠ 𝑍)
12	8, 10, 11	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
13	7, 12	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
14	13	3exp 1137	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))))
15	14	reximdvai 3178	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))))
16	6, 15	mpd 16	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
17		simprrr 794	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≤ 𝑊)
18		simp11l 1303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
19	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
20	19	hllatd 40198	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
21		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22	21, 3	atbase 40123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
23	22	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
24		simp121 1324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
26	21, 3	atbase 40123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
28		simp122 1325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
30	21, 3	atbase 40123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
32		simprrl 793	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
33		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
34	21, 2, 33	latnlej1l 18537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
35	20, 23, 27, 31, 32, 34	syl131anc 1410	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≠ 𝑋)
36	21, 2, 33	latnlej1r 18538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑌)
37	20, 23, 27, 31, 32, 36	syl131anc 1410	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≠ 𝑌)
38		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
39		nbrne2 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑝)
40	39	necomd 3015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑍)
41	38, 32, 40	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≠ 𝑍)
42	35, 37, 41	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
43	17, 42	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
44		simp11 1222	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
45		simp131 1327	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
46		simp132 1328	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
47		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
48	2, 47, 33, 3, 4	lhp2lt 40835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
49	44, 24, 45, 28, 46, 48	syl122anc 1406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
50	21, 33, 3	hlatjcl 40201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
51	18, 24, 28, 50	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
52		simp11r 1304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
53	21, 4	lhpbase 40832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
55	21, 2, 47, 3	hlrelat1 40234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)))
56	18, 51, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)))
57	49, 56	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))
58	43, 57	reximddv 3183	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
59	58	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
60		simp11l 1303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
61	60	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
62	61	hllatd 40198	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
63	22	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
64		simp121 1324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
65	64	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
66		simp122 1325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
67	66	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
68	61, 65, 67, 50	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
69		simp11r 1304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
70	69	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
71	70, 53	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
72		simprr3 1242	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
73		simp131 1327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
74	73	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ≤ 𝑊)
75		simp132 1328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
76	75	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ≤ 𝑊)
77	65, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
78	67, 30	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
79	21, 2, 33	latjle12 18530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑊))
80	62, 77, 78, 71, 79	syl13anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ((𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑊))
81	74, 76, 80	mpbi2and 725	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑊)
82	21, 2, 62, 63, 68, 71, 72, 81	lattrd 18526	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≤ 𝑊)
83		simprr1 1240	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≠ 𝑋)
84		simprr2 1241	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≠ 𝑌)
85		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
86		nbrne2 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑍)
87	72, 85, 86	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≠ 𝑍)
88	83, 84, 87	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
89	82, 88	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
90		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
91	2, 33, 3	hlsupr 40220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
92	60, 64, 66, 90, 91	syl31anc 1400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
93	89, 92	reximddv 3183	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
94	93	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
95	59, 94	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
96	16, 95	pm2.61dane 3047	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  lecple 17341  ltcplt 18388  joincjn 18391  Latclat 18511  Atomscatm 40097  HLchlt 40184  LHypclh 40818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-p1 18504  df-lat 18512  df-clat 18579  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-lhyp 40822

This theorem is used by:  lhpexle3  40846