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Theorem lhpexle3lem 38474
Description: There exists atom under a co-atom different from any three other atoms. TODO: study if adant*, simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3lem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3lem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 lhpex1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexle2 38473 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
61, 5syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
7 simp31 1209 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝 𝑊)
8 simp32 1210 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑋)
9 simp1r 1198 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
108, 9neeqtrd 3013 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑌)
11 simp33 1211 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑍)
128, 10, 113jca 1128 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
137, 12jca 512 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
14133exp 1119 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑝𝐴 → ((𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))))
1514reximdvai 3162 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))))
166, 15mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
17 simprrr 780 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝 𝑊)
18 simp11l 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
1918adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 37826 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
21 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2221, 3atbase 37751 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
2322ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
24 simp121 1305 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐴)
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑋𝐴)
2621, 3atbase 37751 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐴𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
28 simp122 1306 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌𝐴)
2928adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑌𝐴)
3021, 3atbase 37751 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐴𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
32 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
33 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3421, 2, 33latnlej1l 18346 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑋)
3520, 23, 27, 31, 32, 34syl131anc 1383 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑋)
3621, 2, 33latnlej1r 18347 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑌)
3720, 23, 27, 31, 32, 36syl131anc 1383 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑌)
38 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
39 nbrne2 5125 . . . . . . . . 9 ((𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑍𝑝)
4039necomd 2999 . . . . . . . 8 ((𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑍)
4138, 32, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑍)
4235, 37, 413jca 1128 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
4317, 42jca 512 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
44 simp11 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
45 simp131 1308 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 𝑊)
46 simp132 1309 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 𝑊)
47 eqid 2736 . . . . . . . 8 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
482, 47, 33, 3, 4lhp2lt 38464 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
4944, 24, 45, 28, 46, 48syl122anc 1379 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
5021, 33, 3hlatjcl 37829 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
5118, 24, 28, 50syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
52 simp11r 1285 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊𝐻)
5321, 4lhpbase 38461 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5452, 53syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5521, 2, 47, 3hlrelat1 37863 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊)))
5618, 51, 54, 55syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊)))
5749, 56mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))
5843, 57reximddv 3168 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
59583expa 1118 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) ∧ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
60 simp11l 1284 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
6160adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
6261hllatd 37826 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
6322ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
64 simp121 1305 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐴)
6564adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋𝐴)
66 simp122 1306 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌𝐴)
6766adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌𝐴)
6861, 65, 67, 50syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
69 simp11r 1285 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊𝐻)
7069adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊𝐻)
7170, 53syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
72 simprr3 1223 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
73 simp131 1308 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 𝑊)
7473adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 𝑊)
75 simp132 1309 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 𝑊)
7675adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 𝑊)
7765, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7867, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
7921, 2, 33latjle12 18339 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑋 𝑊𝑌 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊))
8062, 77, 78, 71, 79syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ((𝑋 𝑊𝑌 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊))
8174, 76, 80mpbi2and 710 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊)
8221, 2, 62, 63, 68, 71, 72, 81lattrd 18335 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 𝑊)
83 simprr1 1221 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑋)
84 simprr2 1222 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑌)
85 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
86 nbrne2 5125 . . . . . . . 8 ((𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑍)
8772, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑍)
8883, 84, 873jca 1128 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
8982, 88jca 512 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
90 simp2 1137 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝑌)
912, 33, 3hlsupr 37849 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
9260, 64, 66, 90, 91syl31anc 1373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
9389, 92reximddv 3168 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
94933expa 1118 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
9559, 94pm2.61dan 811 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
9616, 95pm2.61dane 3032 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  ltcplt 18197  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-lhyp 38451
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