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Theorem lhpexle3lem 39994
Description: There exists atom under a co-atom different from any three other atoms. TODO: study if adant*, simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle3lem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3lem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 lhpex1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexle2 39993 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
61, 5syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍))
7 simp31 1208 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝 𝑊)
8 simp32 1209 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑋)
9 simp1r 1197 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
108, 9neeqtrd 3008 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑌)
11 simp33 1210 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → 𝑝𝑍)
128, 10, 113jca 1127 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
137, 12jca 511 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍)) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
14133exp 1118 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑝𝐴 → ((𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))))
1514reximdvai 3163 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑍) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))))
166, 15mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
17 simprrr 782 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝 𝑊)
18 simp11l 1283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 39346 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
21 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2221, 3atbase 39271 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
2322ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
24 simp121 1304 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐴)
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑋𝐴)
2621, 3atbase 39271 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐴𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
28 simp122 1305 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌𝐴)
2928adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑌𝐴)
3021, 3atbase 39271 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐴𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
32 simprrl 781 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
33 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3421, 2, 33latnlej1l 18515 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑋)
3520, 23, 27, 31, 32, 34syl131anc 1382 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑋)
3621, 2, 33latnlej1r 18516 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑌)
3720, 23, 27, 31, 32, 36syl131anc 1382 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑌)
38 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
39 nbrne2 5168 . . . . . . . . 9 ((𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑍𝑝)
4039necomd 2994 . . . . . . . 8 ((𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑍)
4138, 32, 40syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → 𝑝𝑍)
4235, 37, 413jca 1127 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
4317, 42jca 511 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
44 simp11 1202 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
45 simp131 1307 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 𝑊)
46 simp132 1308 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 𝑊)
47 eqid 2735 . . . . . . . 8 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
482, 47, 33, 3, 4lhp2lt 39984 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
4944, 24, 45, 28, 46, 48syl122anc 1378 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
5021, 33, 3hlatjcl 39349 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
5118, 24, 28, 50syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
52 simp11r 1284 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊𝐻)
5321, 4lhpbase 39981 . . . . . . . 8 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5452, 53syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
5521, 2, 47, 3hlrelat1 39383 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊)))
5618, 51, 54, 55syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊)))
5749, 56mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 𝑊))
5843, 57reximddv 3169 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
59583expa 1117 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) ∧ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
60 simp11l 1283 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
6160adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
6261hllatd 39346 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
6322ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
64 simp121 1304 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐴)
6564adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋𝐴)
66 simp122 1305 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌𝐴)
6766adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌𝐴)
6861, 65, 67, 50syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
69 simp11r 1284 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊𝐻)
7069adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊𝐻)
7170, 53syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
72 simprr3 1222 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
73 simp131 1307 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 𝑊)
7473adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 𝑊)
75 simp132 1308 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 𝑊)
7675adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 𝑊)
7765, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
7867, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
7921, 2, 33latjle12 18508 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑋 𝑊𝑌 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊))
8062, 77, 78, 71, 79syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ((𝑋 𝑊𝑌 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊))
8174, 76, 80mpbi2and 712 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊)
8221, 2, 62, 63, 68, 71, 72, 81lattrd 18504 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 𝑊)
83 simprr1 1220 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑋)
84 simprr2 1221 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑌)
85 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
86 nbrne2 5168 . . . . . . . 8 ((𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝𝑍)
8772, 85, 86syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑍)
8883, 84, 873jca 1127 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍))
8982, 88jca 511 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
90 simp2 1136 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝑌)
912, 33, 3hlsupr 39369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
9260, 64, 66, 90, 91syl31anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
9389, 92reximddv 3169 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌 ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
94933expa 1117 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) ∧ ¬ 𝑍 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
9559, 94pm2.61dan 813 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
9616, 95pm2.61dane 3027 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑋 𝑊𝑌 𝑊𝑍 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  ltcplt 18366  joincjn 18369  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LHypclh 39967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-lhyp 39971
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