Theorem lhpexle3lem 40012

Description: There exists atom under a co-atom different from any three other atoms. TODO: study if adant*, simp* usage can be improved. (Contributed by NM, 9-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpex1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpex1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhpexle3lem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑍,𝑝

Proof of Theorem lhpexle3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		lhpex1.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lhpex1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhpex1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	2, 3, 4	lhpexle2 40011	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
7		simp31 1210	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≤ 𝑊)
8		simp32 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
9		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
10	8, 9	neeqtrd 2995	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≠ 𝑌)
11		simp33 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → 𝑝 ≠ 𝑍)
12	8, 10, 11	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
13	7, 12	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
14	13	3exp 1119	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))))
15	14	reximdvai 3145	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))))
16	6, 15	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
17		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≤ 𝑊)
18		simp11l 1285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
20	19	hllatd 39364	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
21		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22	21, 3	atbase 39289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
23	22	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
24		simp121 1306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
26	21, 3	atbase 39289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
28		simp122 1307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
30	21, 3	atbase 39289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
32		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
33		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
34	21, 2, 33	latnlej1l 18423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑋)
35	20, 23, 27, 31, 32, 34	syl131anc 1385	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≠ 𝑋)
36	21, 2, 33	latnlej1r 18424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑌)
37	20, 23, 27, 31, 32, 36	syl131anc 1385	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≠ 𝑌)
38		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
39		nbrne2 5130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑍 ≠ 𝑝)
40	39	necomd 2981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑍)
41	38, 32, 40	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → 𝑝 ≠ 𝑍)
42	35, 37, 41	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
43	17, 42	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
44		simp11 1204	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
45		simp131 1309	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
46		simp132 1310	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
47		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
48	2, 47, 33, 3, 4	lhp2lt 40002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ (𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
49	44, 24, 45, 28, 46, 48	syl122anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊)
50	21, 33, 3	hlatjcl 39367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
51	18, 24, 28, 50	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
52		simp11r 1286	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
53	21, 4	lhpbase 39999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
55	21, 2, 47, 3	hlrelat1 39401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)))
56	18, 51, 54, 55	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ((𝑋(join‘𝐾)𝑌)(lt‘𝐾)𝑊 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊)))
57	49, 56	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ 𝑝 ≤ 𝑊))
58	43, 57	reximddv 3150	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
59	58	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
60		simp11l 1285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
61	60	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
62	61	hllatd 39364	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
63	22	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
64		simp121 1306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
65	64	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
66		simp122 1307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
67	66	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
68	61, 65, 67, 50	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
69		simp11r 1286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
70	69	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
71	70, 53	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
72		simprr3 1224	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
73		simp131 1309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑊)
74	73	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ≤ 𝑊)
75		simp132 1310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝑊)
76	75	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ≤ 𝑊)
77	65, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
78	67, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
79	21, 2, 33	latjle12 18416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑊))
80	62, 77, 78, 71, 79	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ((𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑊))
81	74, 76, 80	mpbi2and 712	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ≤ 𝑊)
82	21, 2, 62, 63, 68, 71, 72, 81	lattrd 18412	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≤ 𝑊)
83		simprr1 1222	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≠ 𝑋)
84		simprr2 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≠ 𝑌)
85		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
86		nbrne2 5130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑝 ≠ 𝑍)
87	72, 85, 86	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ≠ 𝑍)
88	83, 84, 87	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍))
89	82, 88	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
90		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
91	2, 33, 3	hlsupr 39387	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
92	60, 64, 66, 90, 91	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
93	89, 92	reximddv 3150	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
94	93	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
95	59, 94	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))
96	16, 95	pm2.61dane 3013	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑍 ≤ 𝑊)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑝 ≤ 𝑊 ∧ (𝑝 ≠ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑌 ∧ 𝑝 ≠ 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  lecple 17234  ltcplt 18276  joincjn 18279  Latclat 18397  Atomscatm 39263  HLchlt 39350  LHypclh 39985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-lhyp 39989

This theorem is referenced by:  lhpexle3  40013