Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΎ β HL) |
2 | | simp1 1137 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΉ β π) |
5 | | simp31 1210 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΉβπ) β π) |
6 | | cdlemg35.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | cdlemg35.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | cdlemg35.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
9 | | cdlemg35.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
10 | | cdlemg35.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
11 | 6, 7, 8, 9, 10 | trlat 38661 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ (πΉβπ) β π)) β (π
βπΉ) β π΄) |
12 | 2, 3, 4, 5, 11 | syl112anc 1375 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΉ) β π΄) |
13 | | simp23 1209 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β πΊ β π) |
14 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΊβπ) β π) |
15 | 6, 7, 8, 9, 10 | trlat 38661 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΊ β π β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΊ) β π΄) |
16 | 2, 3, 13, 14, 15 | syl112anc 1375 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΊ) β π΄) |
17 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
18 | | cdlemg35.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
19 | 6, 18, 7 | hlsupr 37878 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π
βπΉ) β π΄ β§ (π
βπΊ) β π΄) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β βπ£ β π΄ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) |
20 | 1, 12, 16, 17, 19 | syl31anc 1374 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β βπ£ β π΄ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) |
21 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
22 | | simp11l 1285 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β πΎ β HL) |
23 | 22 | hllatd 37855 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β πΎ β Lat) |
24 | 21, 7 | atbase 37780 |
. . . . . . 7
β’ (π£ β π΄ β π£ β (BaseβπΎ)) |
25 | 24 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β π£ β (BaseβπΎ)) |
26 | | simp11 1204 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
27 | | simp122 1307 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β πΉ β π) |
28 | 21, 8, 9, 10 | trlcl 38656 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
29 | 26, 27, 28 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β (π
βπΉ) β (BaseβπΎ)) |
30 | | simp123 1308 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β πΊ β π) |
31 | 21, 8, 9, 10 | trlcl 38656 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β (π
βπΊ) β (BaseβπΎ)) |
32 | 26, 30, 31 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β (π
βπΊ) β (BaseβπΎ)) |
33 | 21, 18 | latjcl 18335 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
βπΉ) β (BaseβπΎ) β§ (π
βπΊ) β (BaseβπΎ)) β ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)) β (BaseβπΎ)) |
34 | 23, 29, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)) β (BaseβπΎ)) |
35 | | simp11r 1286 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β π β π») |
36 | 21, 8 | lhpbase 38490 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β π β (BaseβπΎ)) |
38 | | simp33 1212 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ))) |
39 | 6, 8, 9, 10 | trlle 38676 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
βπΉ) β€ π) |
40 | 26, 27, 39 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β (π
βπΉ) β€ π) |
41 | 6, 8, 9, 10 | trlle 38676 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β (π
βπΊ) β€ π) |
42 | 26, 30, 41 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β (π
βπΊ) β€ π) |
43 | 21, 6, 18 | latjle12 18346 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π
βπΉ) β (BaseβπΎ) β§ (π
βπΊ) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (((π
βπΉ) β€ π β§ (π
βπΊ) β€ π) β ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)) β€ π)) |
44 | 23, 29, 32, 37, 43 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β (((π
βπΉ) β€ π β§ (π
βπΊ) β€ π) β ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)) β€ π)) |
45 | 40, 42, 44 | mpbi2and 711 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)) β€ π) |
46 | 21, 6, 23, 25, 34, 37, 38, 45 | lattrd 18342 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β π£ β€ π) |
47 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β π£ β (π
βπΉ)) |
48 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β π£ β (π
βπΊ)) |
49 | 46, 47, 48 | jca32 517 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄ β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ)))) β (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) |
50 | 49 | 3expia 1122 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β§ π£ β π΄) β ((π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ))) β (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ))))) |
51 | 50 | reximdva 3166 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (βπ£ β π΄ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ) β§ π£ β€ ((π
βπΉ) β¨ (π
βπΊ))) β βπ£ β π΄ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ))))) |
52 | 20, 51 | mpd 15 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β βπ£ β π΄ (π£ β€ π β§ (π£ β (π
βπΉ) β§ π£ β (π
βπΊ)))) |