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Theorem cdlemg35 36518
Description: TODO: Fix comment. TODO: should we have a more general version of hlsupr 35190 to avoid the conditions? (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg35.l = (le‘𝐾)
cdlemg35.j = (join‘𝐾)
cdlemg35.m = (meet‘𝐾)
cdlemg35.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg35.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg35.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg35.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg35 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹   𝑣,𝐺   𝑣,𝐻   𝑣,𝐾   𝑣,   𝑣,𝑃   𝑣,𝑅   𝑣,𝑇   𝑣,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑣)   (𝑣)

Proof of Theorem cdlemg35
StepHypRef Expression
1 simp1l 1239 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp21 1248 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4 simp22 1249 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
5 simp31 1251 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
6 cdlemg35.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
7 cdlemg35.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 cdlemg35.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdlemg35.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemg35.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
116, 7, 8, 9, 10trlat 35974 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
122, 3, 4, 5, 11syl112anc 1480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
13 simp23 1250 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
14 simp32 1252 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)
156, 7, 8, 9, 10trlat 35974 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐺𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
162, 3, 13, 14, 15syl112anc 1480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
17 simp33 1253 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
18 cdlemg35.j . . . 4 = (join‘𝐾)
196, 18, 7hlsupr 35190 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
201, 12, 16, 17, 19syl31anc 1479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
21 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22 simp11l 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐾 ∈ HL)
23 hllat 35168 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐾 ∈ Lat)
2521, 7atbase 35094 . . . . . . 7 (𝑣𝐴𝑣 ∈ (Base‘𝐾))
26253ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝐾))
27 simp11 1245 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
28 simp122 1390 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐹𝑇)
2921, 8, 9, 10trlcl 35969 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
3027, 28, 29syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
31 simp123 1391 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐺𝑇)
3221, 8, 9, 10trlcl 35969 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
3327, 31, 32syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
3421, 18latjcl 17258 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
3524, 30, 33, 34syl3anc 1476 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
36 simp11r 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑊𝐻)
3721, 8lhpbase 35802 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
39 simp33 1253 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
406, 8, 9, 10trlle 35989 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
4127, 28, 40syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) 𝑊)
426, 8, 9, 10trlle 35989 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) 𝑊)
4327, 31, 42syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐺) 𝑊)
4421, 6, 18latjle12 17269 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) 𝑊 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) 𝑊))
4524, 30, 33, 38, 44syl13anc 1478 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (((𝑅𝐹) 𝑊 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) 𝑊))
4641, 43, 45mpbi2and 683 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) 𝑊)
4721, 6, 24, 26, 35, 38, 39, 46lattrd 17265 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 𝑊)
48 simp31 1251 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
49 simp32 1252 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))
5047, 48, 49jca32 499 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))))
51503expia 1114 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴) → ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) → (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))))
5251reximdva 3165 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (∃𝑣𝐴 (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))))
5320, 52mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lecple 16155  joincjn 17151  meetcmee 17152  Latclat 17252  Atomscatm 35068  HLchlt 35155  LHypclh 35788  LTrncltrn 35905  trLctrl 35963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-map 8010  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34981  df-ol 34983  df-oml 34984  df-covers 35071  df-ats 35072  df-atl 35103  df-cvlat 35127  df-hlat 35156  df-lhyp 35792  df-laut 35793  df-ldil 35908  df-ltrn 35909  df-trl 35964
This theorem is referenced by:  cdlemg36  36519
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