Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg35 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg35 40218
Description: TODO: Fix comment. TODO: should we have a more general version of hlsupr 38891 to avoid the β‰  conditions? (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg35.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg35.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg35.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg35.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg35.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg35.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg35.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg35 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 (𝑣 ≀ π‘Š ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹   𝑣,𝐺   𝑣,𝐻   𝑣,𝐾   𝑣, ≀   𝑣,𝑃   𝑣,𝑅   𝑣,𝑇   𝑣,π‘Š
Allowed substitution hints:   ∨ (𝑣)   ∧ (𝑣)
Proof of Theorem cdlemg35
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp21 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4 simp22 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 simp31 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
6 cdlemg35.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 cdlemg35.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 cdlemg35.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 cdlemg35.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 cdlemg35.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
116, 7, 8, 9, 10trlat 39674 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
122, 3, 4, 5, 11syl112anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
13 simp23 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
14 simp32 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
156, 7, 8, 9, 10trlat 39674 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
162, 3, 13, 14, 15syl112anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴)
17 simp33 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
18 cdlemg35.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
196, 18, 7hlsupr 38891 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ 𝐴) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
201, 12, 16, 17, 19syl31anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
21 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
22 simp11l 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2322hllatd 38868 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2421, 7atbase 38793 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ 𝐴 β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25243ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
26 simp11 1200 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
27 simp122 1303 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2821, 8, 9, 10trlcl 39669 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2926, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
30 simp123 1304 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
3121, 8, 9, 10trlcl 39669 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3226, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3321, 18latjcl 18438 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3423, 29, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 simp11r 1282 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3621, 8lhpbase 39503 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
38 simp33 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
396, 8, 9, 10trlle 39689 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
4026, 27, 39syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š)
416, 8, 9, 10trlle 39689 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)
4226, 30, 41syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š)
4321, 6, 18latjle12 18449 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ≀ π‘Š))
4423, 29, 32, 37, 43syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ≀ π‘Š ∧ (π‘…β€˜πΊ) ≀ π‘Š) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ≀ π‘Š))
4540, 42, 44mpbi2and 710 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ≀ π‘Š)
4621, 6, 23, 25, 34, 37, 38, 45lattrd 18445 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑣 ≀ π‘Š)
47 simp31 1206 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
48 simp32 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ))
4946, 47, 48jca32 514 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝑣 ≀ π‘Š ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ))))
50493expia 1118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝑣 ≀ π‘Š ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)))))
5150reximdva 3165 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝑣 ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 (𝑣 ≀ π‘Š ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ)))))
5220, 51mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 (𝑣 ≀ π‘Š ∧ (𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΊ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664
This theorem is referenced by:  cdlemg36  40219
  Copyright terms: Public domain W3C validator