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Theorem cdlemg35 36488
Description: TODO: Fix comment. TODO: should we have a more general version of hlsupr 35161 to avoid the conditions? (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg35.l = (le‘𝐾)
cdlemg35.j = (join‘𝐾)
cdlemg35.m = (meet‘𝐾)
cdlemg35.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg35.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg35.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg35.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg35 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹   𝑣,𝐺   𝑣,𝐻   𝑣,𝐾   𝑣,   𝑣,𝑃   𝑣,𝑅   𝑣,𝑇   𝑣,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑣)   (𝑣)

Proof of Theorem cdlemg35
StepHypRef Expression
1 simp1l 1247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1159 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp21 1256 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4 simp22 1257 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
5 simp31 1259 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
6 cdlemg35.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
7 cdlemg35.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 cdlemg35.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdlemg35.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemg35.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
116, 7, 8, 9, 10trlat 35944 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
122, 3, 4, 5, 11syl112anc 1486 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
13 simp23 1258 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
14 simp32 1260 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)
156, 7, 8, 9, 10trlat 35944 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐺𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
162, 3, 13, 14, 15syl112anc 1486 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
17 simp33 1261 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
18 cdlemg35.j . . . 4 = (join‘𝐾)
196, 18, 7hlsupr 35161 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
201, 12, 16, 17, 19syl31anc 1485 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
21 eqid 2806 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22 simp11l 1376 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐾 ∈ HL)
2322hllatd 35139 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐾 ∈ Lat)
2421, 7atbase 35064 . . . . . . 7 (𝑣𝐴𝑣 ∈ (Base‘𝐾))
25243ad2ant2 1157 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝐾))
26 simp11 1253 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
27 simp122 1398 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐹𝑇)
2821, 8, 9, 10trlcl 35939 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
2926, 27, 28syl2anc 575 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
30 simp123 1399 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐺𝑇)
3121, 8, 9, 10trlcl 35939 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
3226, 30, 31syl2anc 575 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
3321, 18latjcl 17252 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
3423, 29, 32, 33syl3anc 1483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
35 simp11r 1377 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑊𝐻)
3621, 8lhpbase 35773 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
38 simp33 1261 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
396, 8, 9, 10trlle 35959 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
4026, 27, 39syl2anc 575 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) 𝑊)
416, 8, 9, 10trlle 35959 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) 𝑊)
4226, 30, 41syl2anc 575 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐺) 𝑊)
4321, 6, 18latjle12 17263 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) 𝑊 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) 𝑊))
4423, 29, 32, 37, 43syl13anc 1484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (((𝑅𝐹) 𝑊 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) 𝑊))
4540, 42, 44mpbi2and 694 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) 𝑊)
4621, 6, 23, 25, 34, 37, 38, 45lattrd 17259 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 𝑊)
47 simp31 1259 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
48 simp32 1260 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))
4946, 47, 48jca32 507 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))))
50493expia 1143 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴) → ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) → (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))))
5150reximdva 3204 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (∃𝑣𝐴 (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))))
5220, 51mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wrex 3097   class class class wbr 4844  cfv 6097  (class class class)co 6870  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17145  meetcmee 17146  Latclat 17246  Atomscatm 35038  HLchlt 35125  LHypclh 35759  LTrncltrn 35876  trLctrl 35933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-map 8090  df-proset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34951  df-ol 34953  df-oml 34954  df-covers 35041  df-ats 35042  df-atl 35073  df-cvlat 35097  df-hlat 35126  df-lhyp 35763  df-laut 35764  df-ldil 35879  df-ltrn 35880  df-trl 35934
This theorem is referenced by:  cdlemg36  36489
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