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Theorem cdlemg35 39176
Description: TODO: Fix comment. TODO: should we have a more general version of hlsupr 37849 to avoid the conditions? (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg35.l = (le‘𝐾)
cdlemg35.j = (join‘𝐾)
cdlemg35.m = (meet‘𝐾)
cdlemg35.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg35.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg35.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg35.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg35 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹   𝑣,𝐺   𝑣,𝐻   𝑣,𝐾   𝑣,   𝑣,𝑃   𝑣,𝑅   𝑣,𝑇   𝑣,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑣)   (𝑣)

Proof of Theorem cdlemg35
StepHypRef Expression
1 simp1l 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp21 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
4 simp22 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
5 simp31 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
6 cdlemg35.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
7 cdlemg35.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 cdlemg35.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 cdlemg35.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemg35.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
116, 7, 8, 9, 10trlat 38632 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
122, 3, 4, 5, 11syl112anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
13 simp23 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
14 simp32 1210 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)
156, 7, 8, 9, 10trlat 38632 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝐺𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
162, 3, 13, 14, 15syl112anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
17 simp33 1211 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
18 cdlemg35.j . . . 4 = (join‘𝐾)
196, 18, 7hlsupr 37849 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
201, 12, 16, 17, 19syl31anc 1373 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
21 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22 simp11l 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐾 ∈ HL)
2322hllatd 37826 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐾 ∈ Lat)
2421, 7atbase 37751 . . . . . . 7 (𝑣𝐴𝑣 ∈ (Base‘𝐾))
25243ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝐾))
26 simp11 1203 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
27 simp122 1306 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐹𝑇)
2821, 8, 9, 10trlcl 38627 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
30 simp123 1307 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝐺𝑇)
3121, 8, 9, 10trlcl 38627 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
3226, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
3321, 18latjcl 18328 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
3423, 29, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
35 simp11r 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑊𝐻)
3621, 8lhpbase 38461 . . . . . . 7 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
38 simp33 1211 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
396, 8, 9, 10trlle 38647 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) 𝑊)
4026, 27, 39syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) 𝑊)
416, 8, 9, 10trlle 38647 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) 𝑊)
4226, 30, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐺) 𝑊)
4321, 6, 18latjle12 18339 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) 𝑊 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) 𝑊))
4423, 29, 32, 37, 43syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (((𝑅𝐹) 𝑊 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) 𝑊))
4540, 42, 44mpbi2and 710 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) 𝑊)
4621, 6, 23, 25, 34, 37, 38, 45lattrd 18335 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 𝑊)
47 simp31 1209 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐹))
48 simp32 1210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))
4946, 47, 48jca32 516 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))) → (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))))
50493expia 1121 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) ∧ 𝑣𝐴) → ((𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) → (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))))
5150reximdva 3165 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (∃𝑣𝐴 (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝑣 ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺)))))
5220, 51mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝐺𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ∃𝑣𝐴 (𝑣 𝑊 ∧ (𝑣 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑣 ≠ (𝑅𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  trLctrl 38621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622
This theorem is referenced by:  cdlemg36  39177
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