Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1189 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π = π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | lhpex1.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | lhpex1.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | | lhpex1.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
5 | 2, 3, 4 | lhpexle1 39405 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ β π΄ (π β€ π β§ π β π)) |
6 | 1, 5 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π = π) β βπ β π΄ (π β€ π β§ π β π)) |
7 | | simp3l 1199 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π = π β§ (π β€ π β§ π β π)) β π β€ π) |
8 | | simp3r 1200 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π = π β§ (π β€ π β§ π β π)) β π β π) |
9 | | simp2 1135 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π = π β§ (π β€ π β§ π β π)) β π = π) |
10 | 8, 9 | neeqtrd 3005 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π = π β§ (π β€ π β§ π β π)) β π β π) |
11 | 7, 8, 10 | 3jca 1126 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π = π β§ (π β€ π β§ π β π)) β (π β€ π β§ π β π β§ π β π)) |
12 | 11 | 3expia 1119 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π = π) β ((π β€ π β§ π β π) β (π β€ π β§ π β π β§ π β π))) |
13 | 12 | reximdv 3165 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π = π) β (βπ β π΄ (π β€ π β§ π β π) β βπ β π΄ (π β€ π β§ π β π β§ π β π))) |
14 | 6, 13 | mpd 15 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π = π) β βπ β π΄ (π β€ π β§ π β π β§ π β π)) |
15 | | simpl1l 1222 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π β π) β πΎ β HL) |
16 | | simpl2l 1224 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π β π) β π β π΄) |
17 | | simpl3l 1226 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π β π) β π β π΄) |
18 | | simpr 484 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π β π) β π β π) |
19 | | eqid 2727 |
. . . . 5
β’
(joinβπΎ) =
(joinβπΎ) |
20 | 2, 19, 3 | hlsupr 38783 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π))) |
21 | 15, 16, 17, 18, 20 | syl31anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π β π) β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π))) |
22 | | eqid 2727 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
23 | | simpl1l 1222 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β πΎ β HL) |
24 | 23 | hllatd 38760 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β πΎ β Lat) |
25 | | simprlr 779 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β π΄) |
26 | 22, 3 | atbase 38685 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
28 | | simpl2l 1224 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β π΄) |
29 | | simpl3l 1226 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β π΄) |
30 | 22, 19, 3 | hlatjcl 38763 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π(joinβπΎ)π) β (BaseβπΎ)) |
31 | 23, 28, 29, 30 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β (π(joinβπΎ)π) β (BaseβπΎ)) |
32 | | simpl1r 1223 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β π») |
33 | 22, 4 | lhpbase 39395 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
34 | 32, 33 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
35 | | simprr3 1221 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β€ (π(joinβπΎ)π)) |
36 | | simpl2r 1225 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β€ π) |
37 | | simpl3r 1227 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β€ π) |
38 | 22, 3 | atbase 38685 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
39 | 28, 38 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
40 | 22, 3 | atbase 38685 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
41 | 29, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
42 | 22, 2, 19 | latjle12 18427 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π(joinβπΎ)π) β€ π)) |
43 | 24, 39, 41, 34, 42 | syl13anc 1370 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π(joinβπΎ)π) β€ π)) |
44 | 36, 37, 43 | mpbi2and 711 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β (π(joinβπΎ)π) β€ π) |
45 | 22, 2, 24, 27, 31, 34, 35, 44 | lattrd 18423 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β€ π) |
46 | | simprr1 1219 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β π) |
47 | | simprr2 1220 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β π β π) |
48 | 45, 46, 47 | 3jca 1126 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)))) β (π β€ π β§ π β π β§ π β π)) |
49 | 48 | exp44 437 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β (π β π β (π β π΄ β ((π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)) β (π β€ π β§ π β π β§ π β π))))) |
50 | 49 | imp31 417 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π β π) β§ π β π΄) β ((π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)) β (π β€ π β§ π β π β§ π β π))) |
51 | 50 | reximdva 3163 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π β π) β (βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π(joinβπΎ)π)) β βπ β π΄ (π β€ π β§ π β π β§ π β π))) |
52 | 21, 51 | mpd 15 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β§ π β π) β βπ β π΄ (π β€ π β§ π β π β§ π β π)) |
53 | 14, 52 | pm2.61dane 3024 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β€ π)) β βπ β π΄ (π β€ π β§ π β π β§ π β π)) |