Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle2lem 38472
Description: Lemma for lhpexle2 38473. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l = (le‘𝐾)
lhpex1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpex1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpexle2lem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
Distinct variable groups:   ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑊,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Proof of Theorem lhpexle2lem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 lhpex1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexle1 38471 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
61, 5syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋))
7 simp3l 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋)) → 𝑝 𝑊)
8 simp3r 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋)) → 𝑝𝑋)
9 simp2 1137 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋)) → 𝑋 = 𝑌)
108, 9neeqtrd 3013 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋)) → 𝑝𝑌)
117, 8, 103jca 1128 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌 ∧ (𝑝 𝑊𝑝𝑋)) → (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
12113expia 1121 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ((𝑝 𝑊𝑝𝑋) → (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌)))
1312reximdv 3167 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌)))
146, 13mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋 = 𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
15 simpl1l 1224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝐾 ∈ HL)
16 simpl2l 1226 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝐴)
17 simpl3l 1228 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑌𝐴)
18 simpr 485 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
19 eqid 2736 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
202, 19, 3hlsupr 37849 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
2115, 16, 17, 18, 20syl31anc 1373 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
22 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
23 simpl1l 1224 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ HL)
2423hllatd 37826 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝐾 ∈ Lat)
25 simprlr 778 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝐴)
2622, 3atbase 37751 . . . . . . . . 9 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
28 simpl2l 1226 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋𝐴)
29 simpl3l 1228 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌𝐴)
3022, 19, 3hlatjcl 37829 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
3123, 28, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
32 simpl1r 1225 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊𝐻)
3322, 4lhpbase 38461 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
35 simprr3 1223 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
36 simpl2r 1227 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 𝑊)
37 simpl3r 1229 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 𝑊)
3822, 3atbase 37751 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝐴𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
3928, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
4022, 3atbase 37751 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝐴𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
4222, 2, 19latjle12 18339 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑋 𝑊𝑌 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊))
4324, 39, 41, 34, 42syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → ((𝑋 𝑊𝑌 𝑊) ↔ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊))
4436, 37, 43mpbi2and 710 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) 𝑊)
4522, 2, 24, 27, 31, 34, 35, 44lattrd 18335 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝 𝑊)
46 simprr1 1221 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑋)
47 simprr2 1222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → 𝑝𝑌)
4845, 46, 473jca 1128 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ ((𝑋𝑌𝑝𝐴) ∧ (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)))) → (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
4948exp44 438 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → (𝑋𝑌 → (𝑝𝐴 → ((𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌)))))
5049imp31 418 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌)))
5150reximdva 3165 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑝𝑋𝑝𝑌𝑝 (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌)))
5221, 51mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
5314, 52pm2.61dane 3032 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐴𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐴𝑌 𝑊)) → ∃𝑝𝐴 (𝑝 𝑊𝑝𝑋𝑝𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-lhyp 38451
This theorem is referenced by:  lhpexle2  38473
  Copyright terms: Public domain W3C validator