Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpexle2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpexle2lem 39406
Description: Lemma for lhpexle2 39407. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpex1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpex1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpex1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lhpexle2lem (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑝   𝐴,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   π‘Š,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝

Proof of Theorem lhpexle2lem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 lhpex1.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 lhpex1.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 lhpex1.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
52, 3, 4lhpexle1 39405 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
61, 5syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋))
7 simp3l 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋)) β†’ 𝑝 ≀ π‘Š)
8 simp3r 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋)) β†’ 𝑝 β‰  𝑋)
9 simp2 1135 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
108, 9neeqtrd 3005 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋)) β†’ 𝑝 β‰  π‘Œ)
117, 8, 103jca 1126 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ ∧ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋)) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ))
12113expia 1119 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ ((𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ)))
1312reximdv 3165 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ)))
146, 13mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 = π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ))
15 simpl1l 1222 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
16 simpl2l 1224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
17 simpl3l 1226 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
18 simpr 484 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
19 eqid 2727 . . . . 5 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
202, 19, 3hlsupr 38783 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
2115, 16, 17, 18, 20syl31anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))
22 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
23 simpl1l 1222 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2423hllatd 38760 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
25 simprlr 779 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
2622, 3atbase 38685 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simpl2l 1224 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
29 simpl3l 1226 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐴)
3022, 19, 3hlatjcl 38763 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐴) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3123, 28, 29, 30syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simpl1r 1223 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3322, 4lhpbase 39395 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 simprr3 1221 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ))
36 simpl2r 1225 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
37 simpl3r 1227 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ≀ π‘Š)
3822, 3atbase 38685 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3928, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4022, 3atbase 38685 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4222, 2, 19latjle12 18427 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ π‘Š))
4324, 39, 41, 34, 42syl13anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Š ∧ π‘Œ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ π‘Š))
4436, 37, 43mpbi2and 711 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ) ≀ π‘Š)
4522, 2, 24, 27, 31, 34, 35, 44lattrd 18423 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 ≀ π‘Š)
46 simprr1 1219 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 β‰  𝑋)
47 simprr2 1220 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ 𝑝 β‰  π‘Œ)
4845, 46, 473jca 1126 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)))) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ))
4948exp44 437 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ)))))
5049imp31 417 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ)))
5150reximdva 3163 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ ∧ 𝑝 ≀ (𝑋(joinβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ)))
5221, 51mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ))
5314, 52pm2.61dane 3024 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑝 ≀ π‘Š ∧ 𝑝 β‰  𝑋 ∧ 𝑝 β‰  π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  Latclat 18408  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-lhyp 39385
This theorem is referenced by:  lhpexle2  39407
  Copyright terms: Public domain W3C validator