Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr2 1192 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β€ π) |
2 | | simpr3 1193 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β Β¬ π β€ π) |
3 | | nbrne2 5161 |
. . . 4
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π β€ π) β π β π) |
4 | 1, 2, 3 | syl2anc 583 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β π β π) |
5 | | atbtwn.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | atbtwn.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | atbtwn.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 5, 6, 7 | hlsupr 38770 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) |
9 | 4, 8 | syldan 590 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) |
10 | | simp32 1207 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
11 | | simp31 1206 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
12 | | simp1l 1194 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄)) |
13 | | simp2 1134 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
14 | | simp1r1 1266 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΅) |
15 | | simp1r2 1267 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ π) |
16 | | simp1r3 1268 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
17 | | simp33 1208 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
18 | | atbtwn.b |
. . . . . . . 8
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
19 | 18, 5, 6, 7 | atbtwn 38830 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΅) β§ (π β€ π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π β Β¬ π β€ π)) |
20 | 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19 | syl123anc 1384 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π β Β¬ π β€ π)) |
21 | 11, 20 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
22 | | simp1l1 1263 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
23 | | simp1l2 1264 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
24 | | simp1l3 1265 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
25 | 5, 6, 7 | hlatexch2 38780 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
26 | 22, 13, 23, 24, 10, 25 | syl131anc 1380 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
27 | 17, 26 | mpd 15 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
28 | 6, 7 | hlatjcom 38751 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
29 | 22, 24, 13, 28 | syl3anc 1368 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
30 | 27, 29 | breqtrrd 5169 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
31 | 10, 21, 30 | 3jca 1125 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π΄ β§ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))) |
32 | 31 | 3exp 1116 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β (π β π΄ β ((π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))))) |
33 | 32 | reximdvai 3159 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β (βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β βπ β π΄ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π)))) |
34 | 9, 33 | mpd 15 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΅ β§ π β€ π β§ Β¬ π β€ π)) β βπ β π΄ (π β π β§ Β¬ π β€ π β§ π β€ (π β¨ π))) |