Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atbtwnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atbtwnex 36026
Description: Given atoms 𝑃 in 𝑋 and 𝑄 not in 𝑋, there exists an atom 𝑟 not in 𝑋 such that the line 𝑄 𝑟 intersects 𝑋 at 𝑃. (Contributed by NM, 1-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atbtwn.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atbtwn.l = (le‘𝐾)
atbtwn.j = (join‘𝐾)
atbtwn.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atbtwnex (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑄 ∧ ¬ 𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝐾,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑋,𝑟
Allowed substitution hint:   (𝑟)

Proof of Theorem atbtwnex
StepHypRef Expression
1 simpr2 1175 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) → 𝑃 𝑋)
2 simpr3 1176 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) → ¬ 𝑄 𝑋)
3 nbrne2 4949 . . . 4 ((𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋) → 𝑃𝑄)
41, 2, 3syl2anc 576 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) → 𝑃𝑄)
5 atbtwn.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 atbtwn.j . . . 4 = (join‘𝐾)
7 atbtwn.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
85, 6, 7hlsupr 35964 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄)))
94, 8syldan 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄)))
10 simp32 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝑟𝑄)
11 simp31 1189 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝑟𝑃)
12 simp1l 1177 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
13 simp2 1117 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝑟𝐴)
14 simp1r1 1249 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝑋𝐵)
15 simp1r2 1250 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝑃 𝑋)
16 simp1r3 1251 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑄 𝑋)
17 simp33 1191 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝑟 (𝑃 𝑄))
18 atbtwn.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
1918, 5, 6, 7atbtwn 36024 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑟𝐴𝑋𝐵) ∧ (𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋𝑟 (𝑃 𝑄))) → (𝑟𝑃 ↔ ¬ 𝑟 𝑋))
2012, 13, 14, 15, 16, 17, 19syl123anc 1367 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → (𝑟𝑃 ↔ ¬ 𝑟 𝑋))
2111, 20mpbid 224 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑟 𝑋)
22 simp1l1 1246 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
23 simp1l2 1247 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
24 simp1l3 1248 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
255, 6, 7hlatexch2 35974 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝑄) → (𝑟 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑟 𝑄)))
2622, 13, 23, 24, 10, 25syl131anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → (𝑟 (𝑃 𝑄) → 𝑃 (𝑟 𝑄)))
2717, 26mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝑃 (𝑟 𝑄))
286, 7hlatjcom 35946 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑟𝐴) → (𝑄 𝑟) = (𝑟 𝑄))
2922, 24, 13, 28syl3anc 1351 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → (𝑄 𝑟) = (𝑟 𝑄))
3027, 29breqtrrd 4957 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → 𝑃 (𝑄 𝑟))
3110, 21, 303jca 1108 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄))) → (𝑟𝑄 ∧ ¬ 𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟)))
32313exp 1099 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) → (𝑟𝐴 → ((𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄)) → (𝑟𝑄 ∧ ¬ 𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟)))))
3332reximdvai 3218 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) → (∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟 (𝑃 𝑄)) → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑄 ∧ ¬ 𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟))))
349, 33mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑃 𝑋 ∧ ¬ 𝑄 𝑋)) → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑄 ∧ ¬ 𝑟 𝑋𝑃 (𝑄 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  wrex 3090   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  lecple 16428  joincjn 17412  Atomscatm 35841  HLchlt 35928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-lat 17514  df-clat 17576  df-oposet 35754  df-ol 35756  df-oml 35757  df-covers 35844  df-ats 35845  df-atl 35876  df-cvlat 35900  df-hlat 35929
This theorem is referenced by:  dalem19  36260
  Copyright terms: Public domain W3C validator