Theorem hlsupr2 39344

Description: A Hilbert lattice has the superposition property. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlsupr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlsupr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlsupr2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐾,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑟)

Proof of Theorem hlsupr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		hlsupr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlsupr2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlsupr 39343	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
5	4	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))))
6		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlcvl 39315	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
9		simpl2 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
10		simpl3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
12	3, 1, 2	cvlsupr3 39300	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
13	8, 9, 10, 11, 12	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
14	13	rexbidva 3183	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
15		ne0i 4364	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
16	15	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
17		r19.37zv 4525	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
19	14, 18	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
20	5, 19	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  lecple 17318  joincjn 18381  Atomscatm 39219  CvLatclc 39221  HLchlt 39306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307

This theorem is referenced by:  4atexlemex6  40031