Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlsupr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlsupr2 37138
Description: A Hilbert lattice has the superposition property. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlsupr2.j = (join‘𝐾)
hlsupr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlsupr2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐾,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟
Allowed substitution hint:   (𝑟)

Proof of Theorem hlsupr2
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 hlsupr2.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 hlsupr2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3hlsupr 37137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
54ex 416 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))))
6 simpl1 1193 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlcvl 37110 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
86, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
9 simpl2 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐴)
10 simpl3 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐴)
11 simpr 488 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
123, 1, 2cvlsupr3 37095 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑟𝐴)) → ((𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
138, 9, 10, 11, 12syl13anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
1413rexbidva 3215 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ ∃𝑟𝐴 (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
15 ne0i 4249 . . . . 5 (𝑃𝐴𝐴 ≠ ∅)
16153ad2ant2 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
17 r19.37zv 4413 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑟𝐴 (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))) ↔ (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑟𝐴 (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))) ↔ (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
1914, 18bitrd 282 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
205, 19mpbird 260 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wrex 3062  c0 4237   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  lecple 16809  joincjn 17818  Atomscatm 37014  CvLatclc 37016  HLchlt 37101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-lat 17938  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102
This theorem is referenced by:  4atexlemex6  37825
  Copyright terms: Public domain W3C validator