Theorem hlsupr2 40424

Description: A Hilbert lattice has the superposition property. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlsupr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlsupr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlsupr2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐾,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑟)

Proof of Theorem hlsupr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		hlsupr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlsupr2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlsupr 40423	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
5	4	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))))
6		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlcvl 40396	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
9		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
10		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
11		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
12	3, 1, 2	cvlsupr3 40381	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
13	8, 9, 10, 11, 12	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
14	13	rexbidva 3185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
15		ne0i 4287	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
16	15	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
17		r19.37zv 4463	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
19	14, 18	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
20	5, 19	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  lecple 17428  joincjn 18478  Atomscatm 40300  CvLatclc 40302  HLchlt 40387

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-lat 18599  df-covers 40303  df-ats 40304  df-atl 40335  df-cvlat 40359  df-hlat 40388

This theorem is used by:  4atexlemex6  41111