Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlsupr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlsupr2 35463
Description: A Hilbert lattice has the superposition property. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlsupr2.j = (join‘𝐾)
hlsupr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlsupr2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐾,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟
Allowed substitution hint:   (𝑟)

Proof of Theorem hlsupr2
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 hlsupr2.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 hlsupr2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3hlsupr 35462 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
54ex 403 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))))
6 simpl1 1248 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlcvl 35435 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
86, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
9 simpl2 1250 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐴)
10 simpl3 1252 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐴)
11 simpr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
123, 1, 2cvlsupr3 35420 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑟𝐴)) → ((𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
138, 9, 10, 11, 12syl13anc 1497 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
1413rexbidva 3260 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ ∃𝑟𝐴 (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
15 ne0i 4151 . . . . 5 (𝑃𝐴𝐴 ≠ ∅)
16153ad2ant2 1170 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
17 r19.37zv 4290 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑟𝐴 (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))) ↔ (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑟𝐴 (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))) ↔ (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
1914, 18bitrd 271 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
205, 19mpbird 249 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wrex 3119  c0 4145   class class class wbr 4874  cfv 6124  (class class class)co 6906  lecple 16313  joincjn 17298  Atomscatm 35339  CvLatclc 35341  HLchlt 35426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-lat 17400  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427
This theorem is referenced by:  4atexlemex6  36150
  Copyright terms: Public domain W3C validator