Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlsupr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlsupr2 36834
 Description: A Hilbert lattice has the superposition property. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlsupr2.j = (join‘𝐾)
hlsupr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlsupr2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐾,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟
Allowed substitution hint:   (𝑟)

Proof of Theorem hlsupr2
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 hlsupr2.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 hlsupr2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3hlsupr 36833 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))
54ex 416 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))))
6 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlcvl 36806 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
86, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
9 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑃𝐴)
10 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑄𝐴)
11 simpr 488 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟𝐴)
123, 1, 2cvlsupr3 36791 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑟𝐴)) → ((𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
138, 9, 10, 11, 12syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → ((𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
1413rexbidva 3256 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ ∃𝑟𝐴 (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
15 ne0i 4253 . . . . 5 (𝑃𝐴𝐴 ≠ ∅)
16153ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
17 r19.37zv 4408 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑟𝐴 (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))) ↔ (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑟𝐴 (𝑃𝑄 → (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄))) ↔ (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
1914, 18bitrd 282 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ (𝑃𝑄 → ∃𝑟𝐴 (𝑟𝑃𝑟𝑄𝑟(le‘𝐾)(𝑃 𝑄)))))
205, 19mpbird 260 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴 (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  ∅c0 4246   class class class wbr 5034  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  lecple 16584  joincjn 17566  Atomscatm 36710  CvLatclc 36712  HLchlt 36797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17550  df-poset 17568  df-plt 17580  df-lub 17596  df-glb 17597  df-join 17598  df-meet 17599  df-p0 17661  df-lat 17668  df-covers 36713  df-ats 36714  df-atl 36745  df-cvlat 36769  df-hlat 36798 This theorem is referenced by:  4atexlemex6  37521
 Copyright terms: Public domain W3C validator