Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
2 | | hlsupr2.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | hlsupr2.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
4 | 1, 2, 3 | hlsupr 37895 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π))) |
5 | 4 | ex 414 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β π β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π)))) |
6 | | simpl1 1192 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
7 | | hlcvl 37867 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β CvLat) |
8 | 6, 7 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π΄) β πΎ β CvLat) |
9 | | simpl2 1193 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π΄) β π β π΄) |
10 | | simpl3 1194 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π΄) β π β π΄) |
11 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π΄) β π β π΄) |
12 | 3, 1, 2 | cvlsupr3 37852 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) = (π β¨ π) β (π β π β (π β π β§ π β π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π))))) |
13 | 8, 9, 10, 11, 12 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π΄) β ((π β¨ π) = (π β¨ π) β (π β π β (π β π β§ π β π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π))))) |
14 | 13 | rexbidva 3170 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (βπ β π΄ (π β¨ π) = (π β¨ π) β βπ β π΄ (π β π β (π β π β§ π β π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π))))) |
15 | | ne0i 4295 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π΄ β β
) |
16 | 15 | 3ad2ant2 1135 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π΄ β β
) |
17 | | r19.37zv 4460 |
. . . 4
β’ (π΄ β β
β
(βπ β π΄ (π β π β (π β π β§ π β π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π))) β (π β π β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π))))) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (βπ β π΄ (π β π β (π β π β§ π β π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π))) β (π β π β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π))))) |
19 | 14, 18 | bitrd 279 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (βπ β π΄ (π β¨ π) = (π β¨ π) β (π β π β βπ β π΄ (π β π β§ π β π β§ π(leβπΎ)(π β¨ π))))) |
20 | 5, 19 | mpbird 257 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β βπ β π΄ (π β¨ π) = (π β¨ π)) |