Theorem hlsupr2 39760

Description: A Hilbert lattice has the superposition property. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlsupr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlsupr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlsupr2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐾,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑟)

Proof of Theorem hlsupr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		hlsupr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlsupr2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlsupr 39759	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
5	4	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))))
6		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlcvl 39732	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
9		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
10		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
12	3, 1, 2	cvlsupr3 39717	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
13	8, 9, 10, 11, 12	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
14	13	rexbidva 3160	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
15		ne0i 4295	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
16	15	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
17		r19.37zv 4462	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
19	14, 18	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
20	5, 19	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  lecple 17196  joincjn 18246  Atomscatm 39636  CvLatclc 39638  HLchlt 39723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-lat 18367  df-covers 39639  df-ats 39640  df-atl 39671  df-cvlat 39695  df-hlat 39724

This theorem is referenced by:  4atexlemex6  40447