Theorem hlsupr2 39388

Description: A Hilbert lattice has the superposition property. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlsupr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlsupr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlsupr2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐾,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑟)

Proof of Theorem hlsupr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		hlsupr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlsupr2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlsupr 39387	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
5	4	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))))
6		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlcvl 39359	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
9		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
10		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
12	3, 1, 2	cvlsupr3 39344	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
13	8, 9, 10, 11, 12	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
14	13	rexbidva 3156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
15		ne0i 4307	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
16	15	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
17		r19.37zv 4468	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
19	14, 18	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
20	5, 19	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  lecple 17234  joincjn 18279  Atomscatm 39263  CvLatclc 39265  HLchlt 39350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-lat 18398  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351

This theorem is referenced by:  4atexlemex6  40075