Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlsupr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlsupr2 37896
Description: A Hilbert lattice has the superposition property. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlsupr2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
hlsupr2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlsupr2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐾,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑄,π‘Ÿ
Allowed substitution hint:   ∨ (π‘Ÿ)

Proof of Theorem hlsupr2
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
2 hlsupr2.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 hlsupr2.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
41, 2, 3hlsupr 37895 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑄 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))
54ex 414 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑄 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))))
6 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 hlcvl 37867 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
86, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
9 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
10 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11 simpr 486 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
123, 1, 2cvlsupr3 37852 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑄 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
138, 9, 10, 11, 12syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑄 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
1413rexbidva 3170 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑄 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
15 ne0i 4295 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
16153ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
17 r19.37zv 4460 . . . 4 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑄 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑄 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃 β‰  𝑄 β†’ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑄 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑄 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
1914, 18bitrd 279 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ (𝑃 β‰  𝑄 β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑄 ∧ π‘Ÿ(leβ€˜πΎ)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
205, 19mpbird 257 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  lecple 17145  joincjn 18205  Atomscatm 37771  CvLatclc 37773  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  4atexlemex6  38583
  Copyright terms: Public domain W3C validator