Theorem hlsupr2 38770

Description: A Hilbert lattice has the superposition property. (Contributed by NM, 25-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlsupr2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlsupr2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlsupr2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐾,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑟)

Proof of Theorem hlsupr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		hlsupr2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlsupr2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlsupr 38769	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))
5	4	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))))
6		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlcvl 38741	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
9		simpl2 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
10		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → 𝑟 ∈ 𝐴)
12	3, 1, 2	cvlsupr3 38726	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑟 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
13	8, 9, 10, 11, 12	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
14	13	rexbidva 3170	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
15		ne0i 4329	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
16	15	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
17		r19.37zv 4496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ≠ 𝑄 → (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
19	14, 18	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑟 ≠ 𝑃 ∧ 𝑟 ≠ 𝑄 ∧ 𝑟(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄)))))
20	5, 19	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐴 (𝑃 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∃wrex 3064  ∅c0 4317   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  lecple 17210  joincjn 18273  Atomscatm 38645  CvLatclc 38647  HLchlt 38732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733

This theorem is referenced by:  4atexlemex6  39457