Theorem idfudiag1lem 50020

Description: Lemma for idfudiag1bas 50021 and idfudiag1 50022. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfudiag1lem.1	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) = (𝐴 × {𝐵}))
idfudiag1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
idfudiag1lem	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝐵})

Proof of Theorem idfudiag1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 6034	. . 3 ⊢ ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2		idfudiag1lem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) = (𝐴 × {𝐵}))
3	2	rneqd 5887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ( I ↾ 𝐴) = ran (𝐴 × {𝐵}))
4	1, 3	eqtr3id 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ran (𝐴 × {𝐵}))
5		idfudiag1lem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6		rnxp 6128	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × {𝐵}) = {𝐵})
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝐴 × {𝐵}) = {𝐵})
8	4, 7	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ≠ wne 2935  ∅c0 4268  {csn 4562   I cid 5519   × cxp 5623  ran crn 5626   ↾ cres 5627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-11 2168  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638

This theorem is referenced by:  idfudiag1bas  50021  idfudiag1  50022