Theorem idfudiag1lem 50358

Description: Lemma for idfudiag1bas 50359 and idfudiag1 50360. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfudiag1lem.1	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) = (𝐴 × {𝐵}))
idfudiag1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
idfudiag1lem	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝐵})

Proof of Theorem idfudiag1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 6079	. . 3 ⊢ ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2		idfudiag1lem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) = (𝐴 × {𝐵}))
3	2	rneqd 5930	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ( I ↾ 𝐴) = ran (𝐴 × {𝐵}))
4	1, 3	eqtr3id 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ran (𝐴 × {𝐵}))
5		idfudiag1lem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6		rnxp 6170	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × {𝐵}) = {𝐵})
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝐴 × {𝐵}) = {𝐵})
8	4, 7	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ≠ wne 2960  ∅c0 4286  {csn 4591   I cid 5557   × cxp 5661  ran crn 5664   ↾ cres 5665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-11 2195  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676

This theorem is used by:  idfudiag1bas  50359  idfudiag1  50360