Theorem idfudiag1lem 50449

Description: Lemma for idfudiag1bas 50450 and idfudiag1 50451. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfudiag1lem.1	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) = (𝐴 × {𝐵}))
idfudiag1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
idfudiag1lem	⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝐵})

Proof of Theorem idfudiag1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnresi 6071	. . 3 ⊢ ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2		idfudiag1lem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐴) = (𝐴 × {𝐵}))
3	2	rneqd 5922	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ( I ↾ 𝐴) = ran (𝐴 × {𝐵}))
4	1, 3	eqtr3id 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ran (𝐴 × {𝐵}))
5		idfudiag1lem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
6		rnxp 6163	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × {𝐵}) = {𝐵})
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝐴 × {𝐵}) = {𝐵})
8	4, 7	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝐵})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  {csn 4584   I cid 5549   × cxp 5653  ran crn 5656   ↾ cres 5657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668

This theorem is used by:  idfudiag1bas  50450  idfudiag1  50451