Theorem rnxp 6117

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5627	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6104	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5844	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2754	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5869	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ≠ wne 2928  ∅c0 4283   × cxp 5614  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616  ran crn 5617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2160  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627

This theorem is referenced by:  rnxpid  6120  ssxpb  6121  xpima  6129  unixp  6229  fconst5  7140  rnmptc  7141  xpexr  7848  xpexr2  7849  fparlem3  8044  fparlem4  8045  frxp  8056  fodomr  9041  fodomfir  9212  djuexb  9799  dfac5lem3  10013  fpwwe2lem12  10530  vdwlem8  16897  ramz  16934  gsumxp  19886  xkoccn  23532  txindislem  23546  cnextf  23979  metustexhalf  24469  ovolctb  25416  axlowdimlem13  28930  axlowdim1  28935  imadifxp  32576  sibf0  34342  ovoliunnfl  37701  voliunnfl  37703  dmrnxp  48867  idfudiag1lem  49554