Theorem rnxp 6163

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5666	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6148	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5888	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2783	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5913	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ≠ wne 2955  ∅c0 4279   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666

This theorem is used by:  rnxpid  6166  ssxpb  6167  xpima  6175  unixp  6280  fconst5  7205  rnmptc  7206  xpexr  7915  xpexr2  7916  fparlem3  8111  fparlem4  8112  frxp  8124  fodomr  9126  fodomfir  9297  djuexb  9914  dfac5lem3  10128  fpwwe2lem12  10651  vdwlem8  17080  ramz  17117  gsumxp  20103  xkoccn  23845  txindislem  23859  cnextf  24292  metustexhalf  24782  ovolctb  25718  axlowdimlem13  29411  axlowdim1  29416  imadifxp  33074  sibf0  34845  ovoliunnfl  38411  voliunnfl  38413  dmrnxp  49765  idfudiag1lem  50449