MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnxp 6126
Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
rnxp (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp
StepHypRef Expression
1 df-rn 5648 . . 3 ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐴 × 𝐵)
2 cnvxp 6113 . . . 4 (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
32dmeqi 5864 . . 3 dom (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
41, 3eqtri 2761 . 2 ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5 dmxp 5888 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
64, 5eqtrid 2785 1 (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wne 2940  c0 4286   × cxp 5635  ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5110  df-opab 5172  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-dm 5647  df-rn 5648
This theorem is referenced by:  rnxpid  6129  ssxpb  6130  xpima  6138  unixp  6238  fconst5  7159  rnmptc  7160  xpexr  7859  xpexr2  7860  fparlem3  8050  fparlem4  8051  frxp  8062  fodomr  9078  djuexb  9853  dfac5lem3  10069  fpwwe2lem12  10586  vdwlem8  16868  ramz  16905  gsumxp  19761  xkoccn  22993  txindislem  23007  cnextf  23440  metustexhalf  23935  ovolctb  24877  axlowdimlem13  27952  axlowdim1  27957  imadifxp  31572  sibf0  32998  ovoliunnfl  36170  voliunnfl  36172
  Copyright terms: Public domain W3C validator