Theorem rnxp 6128

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5636	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6115	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5853	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2763	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5878	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2787	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ≠ wne 2935  ∅c0 4268   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-11 2168  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636

This theorem is referenced by:  rnxpid  6131  ssxpb  6132  xpima  6140  unixp  6240  fconst5  7157  rnmptc  7158  xpexr  7865  xpexr2  7866  fparlem3  8060  fparlem4  8061  frxp  8073  fodomr  9063  fodomfir  9235  djuexb  9831  dfac5lem3  10045  fpwwe2lem12  10563  vdwlem8  16957  ramz  16994  gsumxp  19949  xkoccn  23609  txindislem  23623  cnextf  24056  metustexhalf  24546  ovolctb  25482  axlowdimlem13  29048  axlowdim1  29053  imadifxp  32697  sibf0  34525  ovoliunnfl  38036  voliunnfl  38038  dmrnxp  49334  idfudiag1lem  50020