Theorem rnxp 6128

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5635	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6115	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5853	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2759	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5878	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ≠ wne 2932  ∅c0 4285   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635

This theorem is referenced by:  rnxpid  6131  ssxpb  6132  xpima  6140  unixp  6240  fconst5  7152  rnmptc  7153  xpexr  7860  xpexr2  7861  fparlem3  8056  fparlem4  8057  frxp  8068  fodomr  9056  fodomfir  9228  djuexb  9821  dfac5lem3  10035  fpwwe2lem12  10553  vdwlem8  16916  ramz  16953  gsumxp  19905  xkoccn  23563  txindislem  23577  cnextf  24010  metustexhalf  24500  ovolctb  25447  axlowdimlem13  29027  axlowdim1  29032  imadifxp  32676  sibf0  34491  ovoliunnfl  37859  voliunnfl  37861  dmrnxp  49078  idfudiag1lem  49764