Theorem rnxp 6170

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5674	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6156	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5896	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2786	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5921	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ≠ wne 2958  ∅c0 4287   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-11 2192  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674

This theorem is referenced by:  rnxpid  6173  ssxpb  6174  xpima  6182  unixp  6285  fconst5  7206  rnmptc  7207  xpexr  7916  xpexr2  7917  fparlem3  8110  fparlem4  8111  frxp  8123  fodomr  9117  fodomfir  9288  djuexb  9896  dfac5lem3  10110  fpwwe2lem12  10628  vdwlem8  17049  ramz  17086  gsumxp  20047  xkoccn  23757  txindislem  23771  cnextf  24204  metustexhalf  24694  ovolctb  25630  axlowdimlem13  29282  axlowdim1  29287  imadifxp  32924  sibf0  34702  ovoliunnfl  38291  voliunnfl  38293  dmrnxp  49592  idfudiag1lem  50278