Theorem rnxp 6161

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5661	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6146	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5885	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2783	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5910	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   × cxp 5648  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661

This theorem is used by:  rnxpid  6164  ssxpb  6165  xpima  6173  unixp  6285  fconst5  7212  rnmptc  7213  xpexr  7930  xpexr2  7931  fparlem3  8127  fparlem4  8128  frxp  8140  fodomr  9150  fodomfir  9322  djuexb  9993  dfac5lem3  10207  fpwwe2lem12  10730  vdwlem8  17171  ramz  17208  gsumxp  20195  xkoccn  23943  txindislem  23957  cnextf  24390  metustexhalf  24880  ovolctb  25816  axlowdimlem13  29537  axlowdim1  29542  imadifxp  33242  sibf0  35012  ovoliunnfl  38673  voliunnfl  38675  dmrnxp  50041  idfudiag1lem  50751