Theorem rnxp 6136

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5643	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6123	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5861	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2760	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5886	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ≠ wne 2933  ∅c0 4287   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-dm 5642  df-rn 5643

This theorem is referenced by:  rnxpid  6139  ssxpb  6140  xpima  6148  unixp  6248  fconst5  7162  rnmptc  7163  xpexr  7870  xpexr2  7871  fparlem3  8066  fparlem4  8067  frxp  8078  fodomr  9068  fodomfir  9240  djuexb  9833  dfac5lem3  10047  fpwwe2lem12  10565  vdwlem8  16928  ramz  16965  gsumxp  19917  xkoccn  23575  txindislem  23589  cnextf  24022  metustexhalf  24512  ovolctb  25459  axlowdimlem13  29039  axlowdim1  29044  imadifxp  32687  sibf0  34511  ovoliunnfl  37907  voliunnfl  37909  dmrnxp  49190  idfudiag1lem  49876