Theorem rnxp 6201

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5711	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6188	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5929	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2768	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5953	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ≠ wne 2946  ∅c0 4352   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2158  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-dm 5710  df-rn 5711

This theorem is referenced by:  rnxpid  6204  ssxpb  6205  xpima  6213  unixp  6313  fconst5  7243  rnmptc  7244  xpexr  7958  xpexr2  7959  fparlem3  8155  fparlem4  8156  frxp  8167  fodomr  9194  fodomfir  9396  djuexb  9978  dfac5lem3  10194  fpwwe2lem12  10711  vdwlem8  17035  ramz  17072  gsumxp  20018  xkoccn  23648  txindislem  23662  cnextf  24095  metustexhalf  24590  ovolctb  25544  axlowdimlem13  28987  axlowdim1  28992  imadifxp  32623  sibf0  34299  ovoliunnfl  37622  voliunnfl  37624