Theorem rnxp 6174

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5688	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6161	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5906	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2753	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5930	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ≠ wne 2930  ∅c0 4323   × cxp 5675  ^◡ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3948  df-un 3950  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688

This theorem is referenced by:  rnxpid  6177  ssxpb  6178  xpima  6186  unixp  6286  fconst5  7216  rnmptc  7217  xpexr  7924  xpexr2  7925  fparlem3  8117  fparlem4  8118  frxp  8129  fodomr  9151  djuexb  9932  dfac5lem3  10148  fpwwe2lem12  10665  vdwlem8  16956  ramz  16993  gsumxp  19935  xkoccn  23553  txindislem  23567  cnextf  24000  metustexhalf  24495  ovolctb  25449  axlowdimlem13  28821  axlowdim1  28826  imadifxp  32448  sibf0  34024  ovoliunnfl  37205  voliunnfl  37207