Theorem rnxp 6134

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5642	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6121	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5859	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2759	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5884	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ≠ wne 2932  ∅c0 4273   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642

This theorem is referenced by:  rnxpid  6137  ssxpb  6138  xpima  6146  unixp  6246  fconst5  7161  rnmptc  7162  xpexr  7869  xpexr2  7870  fparlem3  8064  fparlem4  8065  frxp  8076  fodomr  9066  fodomfir  9238  djuexb  9833  dfac5lem3  10047  fpwwe2lem12  10565  vdwlem8  16959  ramz  16996  gsumxp  19951  xkoccn  23584  txindislem  23598  cnextf  24031  metustexhalf  24521  ovolctb  25457  axlowdimlem13  29023  axlowdim1  29028  imadifxp  32671  sibf0  34478  ovoliunnfl  37983  voliunnfl  37985  dmrnxp  49312  idfudiag1lem  49998