Theorem rnxp 6175

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5667	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6160	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5894	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2786	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5919	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   × cxp 5654  ^◡ccnv 5655  dom cdm 5656  ran crn 5657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667

This theorem is used by:  rnxpid  6178  ssxpb  6179  xpima  6187  unixp  6304  fconst5  7238  rnmptc  7239  xpexr  7957  xpexr2  7958  fparlem3  8155  fparlem4  8156  frxp  8168  fodomr  9178  fodomfir  9350  djuexb  10020  dfac5lem3  10234  fpwwe2lem12  10757  vdwlem8  17198  ramz  17235  gsumxp  20223  xkoccn  23971  txindislem  23985  cnextf  24418  metustexhalf  24908  ovolctb  25844  axlowdimlem13  29565  axlowdim1  29570  imadifxp  33270  sibf0  35049  ovoliunnfl  38785  voliunnfl  38787  dmrnxp  50163  idfudiag1lem  50873