Theorem rnxp 6143

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5649	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6130	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5868	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2752	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5892	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ≠ wne 2925  ∅c0 4296   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-11 2158  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649

This theorem is referenced by:  rnxpid  6146  ssxpb  6147  xpima  6155  unixp  6255  fconst5  7180  rnmptc  7181  xpexr  7894  xpexr2  7895  fparlem3  8093  fparlem4  8094  frxp  8105  fodomr  9092  fodomfir  9279  djuexb  9862  dfac5lem3  10078  fpwwe2lem12  10595  vdwlem8  16959  ramz  16996  gsumxp  19906  xkoccn  23506  txindislem  23520  cnextf  23953  metustexhalf  24444  ovolctb  25391  axlowdimlem13  28881  axlowdim1  28886  imadifxp  32530  sibf0  34325  ovoliunnfl  37656  voliunnfl  37658  dmrnxp  48825  idfudiag1lem  49512