Theorem rnxp 6173

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5677	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6159	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5899	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2789	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5924	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2813	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ≠ wne 2961  ∅c0 4289   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-11 2195  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677

This theorem is used by:  rnxpid  6176  ssxpb  6177  xpima  6185  unixp  6290  fconst5  7211  rnmptc  7212  xpexr  7924  xpexr2  7925  fparlem3  8118  fparlem4  8119  frxp  8131  fodomr  9126  fodomfir  9297  djuexb  9914  dfac5lem3  10128  fpwwe2lem12  10645  vdwlem8  17073  ramz  17110  gsumxp  20077  xkoccn  23813  txindislem  23827  cnextf  24260  metustexhalf  24750  ovolctb  25686  axlowdimlem13  29341  axlowdim1  29346  imadifxp  32983  sibf0  34756  ovoliunnfl  38354  voliunnfl  38356  dmrnxp  49656  idfudiag1lem  50342