Theorem rnxp 6123

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5634	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6110	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5851	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2752	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5875	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ≠ wne 2925  ∅c0 4286   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-11 2158  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-dm 5633  df-rn 5634

This theorem is referenced by:  rnxpid  6126  ssxpb  6127  xpima  6135  unixp  6234  fconst5  7146  rnmptc  7147  xpexr  7858  xpexr2  7859  fparlem3  8054  fparlem4  8055  frxp  8066  fodomr  9052  fodomfir  9237  djuexb  9824  dfac5lem3  10038  fpwwe2lem12  10555  vdwlem8  16918  ramz  16955  gsumxp  19873  xkoccn  23522  txindislem  23536  cnextf  23969  metustexhalf  24460  ovolctb  25407  axlowdimlem13  28917  axlowdim1  28922  imadifxp  32563  sibf0  34301  ovoliunnfl  37641  voliunnfl  37643  dmrnxp  48822  idfudiag1lem  49509