Theorem rnxp 6167

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5670	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6152	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5892	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2785	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5917	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ≠ wne 2957  ∅c0 4282   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670

This theorem is used by:  rnxpid  6170  ssxpb  6171  xpima  6179  unixp  6284  fconst5  7209  rnmptc  7210  xpexr  7919  xpexr2  7920  fparlem3  8115  fparlem4  8116  frxp  8128  fodomr  9130  fodomfir  9301  djuexb  9918  dfac5lem3  10132  fpwwe2lem12  10655  vdwlem8  17086  ramz  17123  gsumxp  20109  xkoccn  23851  txindislem  23865  cnextf  24298  metustexhalf  24788  ovolctb  25724  axlowdimlem13  29419  axlowdim1  29424  imadifxp  33082  sibf0  34853  ovoliunnfl  38419  voliunnfl  38421  dmrnxp  49773  idfudiag1lem  50457