Theorem rnxp 6159

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5665	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6146	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5884	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2758	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5908	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ≠ wne 2932  ∅c0 4308   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2157  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-dm 5664  df-rn 5665

This theorem is referenced by:  rnxpid  6162  ssxpb  6163  xpima  6171  unixp  6271  fconst5  7198  rnmptc  7199  xpexr  7914  xpexr2  7915  fparlem3  8113  fparlem4  8114  frxp  8125  fodomr  9142  fodomfir  9340  djuexb  9923  dfac5lem3  10139  fpwwe2lem12  10656  vdwlem8  17008  ramz  17045  gsumxp  19957  xkoccn  23557  txindislem  23571  cnextf  24004  metustexhalf  24495  ovolctb  25443  axlowdimlem13  28933  axlowdim1  28938  imadifxp  32582  sibf0  34366  ovoliunnfl  37686  voliunnfl  37688  dmrnxp  48815  idfudiag1lem  49408