Theorem rnxp 6152

Description: The range of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rnxp	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Proof of Theorem rnxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5656	. . 3 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6139	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5878	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4	1, 3	eqtri 2784	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
5		dmxp 5903	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐵 × 𝐴) = 𝐵)
6	4, 5	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ≠ wne 2956  ∅c0 4285   × cxp 5643  ^◡ccnv 5644  dom cdm 5645  ran crn 5646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-11 2190  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-dm 5655  df-rn 5656

This theorem is referenced by:  rnxpid  6155  ssxpb  6156  xpima  6164  unixp  6265  fconst5  7186  rnmptc  7187  xpexr  7895  xpexr2  7896  fparlem3  8088  fparlem4  8089  frxp  8101  fodomr  9096  fodomfir  9268  djuexb  9864  dfac5lem3  10078  fpwwe2lem12  10597  vdwlem8  17007  ramz  17044  gsumxp  19999  xkoccn  23659  txindislem  23673  cnextf  24106  metustexhalf  24596  ovolctb  25532  axlowdimlem13  29101  axlowdim1  29106  imadifxp  32750  sibf0  34592  ovoliunnfl  38125  voliunnfl  38127  dmrnxp  49422  idfudiag1lem  50108