Theorem eufunc 50862

Description: If there exists a unique functor from a non-empty category, then the base of the target category is a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
eufunc.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
eufunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
eufunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
eufunc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem eufunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eufunc.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		eufunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		euex 2605	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		eufunc.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		eufunc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
6		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
7		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	func0g2 50410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
9	8	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
10	9	exlimiv 1965	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
11	2, 3, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
12	11	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
13	1, 12	mteqand 3050	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
14		n0 4303	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
16	2, 4, 1, 5	eufunclem 50861	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)
17		modom2 9271	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≼ 1o)
18	16, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
19		df-eu 2597	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
20	15, 18, 19	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∃*wmo 2565  ∃!weu 2596   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1_oc1o 8497   ≼ cdom 8999  Basecbs 17416   Func cfunc 18058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-hom 17481  df-cco 17482  df-cat 17871  df-cid 17872  df-func 18062  df-nat 18150  df-fuc 18151  df-xpc 18375  df-1stf 18376  df-curf 18417  df-diag 18419

This theorem is used by: (None)