Theorem eufunc 49508

Description: If there exists a unique functor from a non-empty category, then the base of the target category is a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
eufunc.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
eufunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
eufunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
eufunc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem eufunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eufunc.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		eufunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		euex 2570	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		eufunc.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		eufunc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
6		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
7		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	func0g2 49076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
9	8	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
10	9	exlimiv 1930	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
11	2, 3, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
12	11	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
13	1, 12	mteqand 3016	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
14		n0 4316	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
16	2, 4, 1, 5	eufunclem 49507	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)
17		modom2 9192	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≼ 1o)
18	16, 17	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
19		df-eu 2562	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
20	15, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531  ∃!weu 2561   ≠ wne 2925  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1_oc1o 8427   ≼ cdom 8916  Basecbs 17179   Func cfunc 17816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17629  df-cid 17630  df-func 17820  df-nat 17908  df-fuc 17909  df-xpc 18133  df-1stf 18134  df-curf 18175  df-diag 18177

This theorem is referenced by: (None)