Theorem eufunc 49985

Description: If there exists a unique functor from a non-empty category, then the base of the target category is a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
eufunc.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
eufunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
eufunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
eufunc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem eufunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eufunc.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		eufunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		euex 2576	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		eufunc.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		eufunc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
6		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
7		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	func0g2 49553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
9	8	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
10	9	exlimiv 1932	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
11	2, 3, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
12	11	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
13	1, 12	mteqand 3021	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
14		n0 4283	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
16	2, 4, 1, 5	eufunclem 49984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)
17		modom2 9151	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≼ 1o)
18	16, 17	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
19		df-eu 2568	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
20	15, 18, 19	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃*wmo 2536  ∃!weu 2567   ≠ wne 2930  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  1_oc1o 8387   ≼ cdom 8880  Basecbs 17168   Func cfunc 17810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-hom 17233  df-cco 17234  df-cat 17623  df-cid 17624  df-func 17814  df-nat 17902  df-fuc 17903  df-xpc 18127  df-1stf 18128  df-curf 18169  df-diag 18171

This theorem is referenced by: (None)