Theorem eufunc 49628

Description: If there exists a unique functor from a non-empty category, then the base of the target category is a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
eufunc.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
eufunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
eufunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
eufunc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem eufunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eufunc.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		eufunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		euex 2572	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		eufunc.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		eufunc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
6		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
7		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	func0g2 49196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
9	8	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
10	9	exlimiv 1931	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
11	2, 3, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
12	11	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
13	1, 12	mteqand 3019	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
14		n0 4302	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
16	2, 4, 1, 5	eufunclem 49627	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)
17		modom2 9142	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≼ 1o)
18	16, 17	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
19		df-eu 2564	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
20	15, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∃*wmo 2533  ∃!weu 2563   ≠ wne 2928  ∅c0 4282   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  1_oc1o 8384   ≼ cdom 8873  Basecbs 17126   Func cfunc 17767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-struct 17064  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-hom 17191  df-cco 17192  df-cat 17580  df-cid 17581  df-func 17771  df-nat 17859  df-fuc 17860  df-xpc 18084  df-1stf 18085  df-curf 18126  df-diag 18128

This theorem is referenced by: (None)