Theorem eufunc 50245

Description: If there exists a unique functor from a non-empty category, then the base of the target category is a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eufunc.f	⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
eufunc.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
eufunc.0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
eufunc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
eufunc	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem eufunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eufunc.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		eufunc.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		euex 2603	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
4		eufunc.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		eufunc.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
6		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
7		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
8	4, 5, 6, 7	func0g2 49813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
9	8	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
10	9	exlimiv 1958	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
11	2, 3, 10	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ∅ → 𝐴 = ∅))
12	11	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐴 = ∅)
13	1, 12	mteqand 3047	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
14		n0 4306	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
16	2, 4, 1, 5	eufunclem 50244	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≼ 1o)
17		modom2 9211	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≼ 1o)
18	16, 17	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
19		df-eu 2595	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
20	15, 18, 19	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2141  ∃*wmo 2563  ∃!weu 2594   ≠ wne 2956  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8445   ≼ cdom 8940  Basecbs 17268   Func cfunc 17910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-hom 17333  df-cco 17334  df-cat 17723  df-cid 17724  df-func 17914  df-nat 18002  df-fuc 18003  df-xpc 18227  df-1stf 18228  df-curf 18269  df-diag 18271

This theorem is referenced by: (None)