Theorem idfudiag1bas 49376

Description: If the identity functor of a category is the same as a constant functor to the category, then the base is a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfudiag1.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfudiag1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐶)
idfudiag1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idfudiag1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idfudiag1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idfudiag1.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
idfudiag1.e	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
idfudiag1bas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑋})

Proof of Theorem idfudiag1bas

Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfudiag1.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐾)
2		idfudiag1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
3		idfudiag1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		idfudiag1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6	2, 3, 4, 5	idfuval 17894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩)
7		idfudiag1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐶)
8		idfudiag1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		idfudiag1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
10		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
11	7, 4, 4, 3, 8, 9, 3, 5, 10	diag1a 49183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
12	1, 6, 11	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
13	3	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
14		resiexg 7913	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ V
16	13, 13	xpex 7752	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
17	16	mptex 7220	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝))) ∈ V
18	15, 17	opth1 5455	. . 3 ⊢ (⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {𝑋}))
19	12, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {𝑋}))
20	8	ne0d 4322	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
21	19, 20	idfudiag1lem 49375	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  {csn 4606  ⟨cop 4612   ↦ cmpt 5206   I cid 5552   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  1^st c1st 7991  Basecbs 17233  Hom chom 17287  Catccat 17681  Idccid 17682  id_funccidfu 17873  Δ_funccdiag 18229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-hom 17300  df-cco 17301  df-cat 17685  df-cid 17686  df-func 17876  df-idfu 17877  df-nat 17964  df-fuc 17965  df-xpc 18189  df-1stf 18190  df-curf 18231  df-diag 18233

This theorem is referenced by:  idfudiag1  49377