Theorem idfudiag1bas 50864

Description: If the identity functor of a category is the same as a constant functor to the category, then the base is a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfudiag1.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfudiag1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐶)
idfudiag1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idfudiag1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idfudiag1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idfudiag1.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
idfudiag1.e	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
idfudiag1bas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑋})

Proof of Theorem idfudiag1bas

Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfudiag1.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐾)
2		idfudiag1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
3		idfudiag1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		idfudiag1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6	2, 3, 4, 5	idfuval 18080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩)
7		idfudiag1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐶)
8		idfudiag1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		idfudiag1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
11	7, 4, 4, 3, 8, 9, 3, 5, 10	diag1a 50632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
12	1, 6, 11	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
13	3	fvexi 6922	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
14		resiexg 7948	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ V
16	13, 13	xpex 7791	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
17	16	mptex 7252	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝))) ∈ V
18	15, 17	opth1 5448	. . 3 ⊢ (⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {𝑋}))
19	12, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {𝑋}))
20	8	ne0d 4291	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
21	19, 20	idfudiag1lem 50863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑋})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189   I cid 5549   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445  1^st c1st 8023  Basecbs 17416  Hom chom 17468  Catccat 17867  Idccid 17868  id_funccidfu 18059  Δ_funccdiag 18415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-hom 17481  df-cco 17482  df-cat 17871  df-cid 17872  df-func 18062  df-idfu 18063  df-nat 18150  df-fuc 18151  df-xpc 18375  df-1stf 18376  df-curf 18417  df-diag 18419

This theorem is used by:  idfudiag1  50865