Theorem idfudiag1bas 50136

Description: If the identity functor of a category is the same as a constant functor to the category, then the base is a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfudiag1.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfudiag1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐶)
idfudiag1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idfudiag1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idfudiag1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idfudiag1.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
idfudiag1.e	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
idfudiag1bas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑋})

Proof of Theorem idfudiag1bas

Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfudiag1.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐾)
2		idfudiag1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
3		idfudiag1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		idfudiag1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6	2, 3, 4, 5	idfuval 17919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩)
7		idfudiag1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐶)
8		idfudiag1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		idfudiag1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
11	7, 4, 4, 3, 8, 9, 3, 5, 10	diag1a 49917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
12	1, 6, 11	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
13	3	fvexi 6881	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
14		resiexg 7893	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ V
16	13, 13	xpex 7736	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
17	16	mptex 7207	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝))) ∈ V
18	15, 17	opth1 5444	. . 3 ⊢ (⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {𝑋}))
19	12, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {𝑋}))
20	8	ne0d 4295	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
21	19, 20	idfudiag1lem 50135	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4583  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5182   I cid 5542   × cxp 5646   ↾ cres 5650  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  1^st c1st 7968  Basecbs 17255  Hom chom 17307  Catccat 17706  Idccid 17707  id_funccidfu 17898  Δ_funccdiag 18254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-hom 17320  df-cco 17321  df-cat 17710  df-cid 17711  df-func 17901  df-idfu 17902  df-nat 17989  df-fuc 17990  df-xpc 18214  df-1stf 18215  df-curf 18256  df-diag 18258

This theorem is referenced by:  idfudiag1  50137