Theorem idfudiag1bas 50083

Description: If the identity functor of a category is the same as a constant functor to the category, then the base is a singleton. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfudiag1.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfudiag1.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐶)
idfudiag1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idfudiag1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idfudiag1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idfudiag1.k	⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
idfudiag1.e	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
idfudiag1bas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑋})

Proof of Theorem idfudiag1bas

Dummy variables 𝑝 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfudiag1.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐾)
2		idfudiag1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
3		idfudiag1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		idfudiag1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
6	2, 3, 4, 5	idfuval 17881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩)
7		idfudiag1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐶)
8		idfudiag1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		idfudiag1.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
10		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
11	7, 4, 4, 3, 8, 9, 3, 5, 10	diag1a 49864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
12	1, 6, 11	3eqtr3d 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩)
13	3	fvexi 6866	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
14		resiexg 7878	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) ∈ V
16	13, 13	xpex 7721	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
17	16	mptex 7192	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝))) ∈ V
18	15, 17	opth1 5433	. . 3 ⊢ (⟨( I ↾ 𝐵), (𝑝 ∈ (𝐵 × 𝐵) ↦ ( I ↾ ((Hom ‘𝐶)‘𝑝)))⟩ = ⟨(𝐵 × {𝑋}), (𝑦 ∈ 𝐵, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧) × {((Id‘𝐶)‘𝑋)}))⟩ → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {𝑋}))
19	12, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) = (𝐵 × {𝑋}))
20	8	ne0d 4285	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
21	19, 20	idfudiag1lem 50082	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444  {csn 4572  ⟨cop 4578   ↦ cmpt 5171   I cid 5530   × cxp 5634   ↾ cres 5638  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ∈ cmpo 7383  1^st c1st 7953  Basecbs 17217  Hom chom 17269  Catccat 17668  Idccid 17669  id_funccidfu 17860  Δ_funccdiag 18216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-hom 17282  df-cco 17283  df-cat 17672  df-cid 17673  df-func 17863  df-idfu 17864  df-nat 17951  df-fuc 17952  df-xpc 18176  df-1stf 18177  df-curf 18218  df-diag 18220

This theorem is referenced by:  idfudiag1  50084