Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ishlat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishlat2 36020
Description: The predicate "is a Hilbert lattice". Here we replace 𝐾 ∈ CvLat with the weaker 𝐾 ∈ AtLat and show the exchange property explicitly. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ishlat.l = (le‘𝐾)
ishlat.s < = (lt‘𝐾)
ishlat.j = (join‘𝐾)
ishlat.z 0 = (0.‘𝐾)
ishlat.u 1 = (1.‘𝐾)
ishlat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ishlat2 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   0 (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ishlat2
StepHypRef Expression
1 ishlat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ishlat.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 ishlat.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
4 ishlat.j . . 3 = (join‘𝐾)
5 ishlat.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
6 ishlat.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
7 ishlat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ishlat1 36019 . 2 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
91, 2, 4, 7iscvlat 35990 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
1093anbi3i 1152 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ↔ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)))))
11 anass 469 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)))))
12 df-3an 1082 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
1312anbi1i 623 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ↔ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
14 df-3an 1082 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)))))
1511, 13, 143bitr4ri 305 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
1610, 15bitri 276 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
1716anbi1i 623 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))) ↔ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
18 anass 469 . . 3 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))))))
19 anass 469 . . . . 5 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
20 ancom 461 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
21 r19.26-2 3138 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
2220, 21bitr4i 279 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
2322anbi1i 623 . . . . 5 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))))
2419, 23bitr3i 278 . . . 4 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))))
2524anbi2i 622 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
2618, 25bitri 276 . 2 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
278, 17, 263bitri 298 1 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  ltcplt 17380  joincjn 17383  0.cp0 17476  1.cp1 17477  CLatccla 17546  OMLcoml 35842  Atomscatm 35930  AtLatcal 35931  CvLatclc 35932  HLchlt 36017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-ext 2769
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-iota 6189  df-fv 6233  df-ov 7019  df-cvlat 35989  df-hlat 36018
This theorem is referenced by:  ishlatiN  36022  hlsuprexch  36048  hlhgt4  36055
  Copyright terms: Public domain W3C validator