Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ishlat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishlat2 38857
Description: The predicate "is a Hilbert lattice". Here we replace 𝐾 ∈ CvLat with the weaker 𝐾 ∈ AtLat and show the exchange property explicitly. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ishlat.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ishlat.s < = (ltβ€˜πΎ)
ishlat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
ishlat.z 0 = (0.β€˜πΎ)
ishlat.u 1 = (1.β€˜πΎ)
ishlat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
ishlat2 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   < (π‘₯,𝑦,𝑧)   1 (π‘₯,𝑦,𝑧)   ∨ (π‘₯,𝑦,𝑧)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧)   0 (π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ishlat2
StepHypRef Expression
1 ishlat.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 ishlat.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 ishlat.s . . 3 < = (ltβ€˜πΎ)
4 ishlat.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 ishlat.z . . 3 0 = (0.β€˜πΎ)
6 ishlat.u . . 3 1 = (1.β€˜πΎ)
7 ishlat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ishlat1 38856 . 2 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
91, 2, 4, 7iscvlat 38827 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))))
1093anbi3i 1156 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ↔ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)))))
11 anass 467 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)))))
12 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
1312anbi1i 622 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ↔ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))))
14 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)))))
1511, 13, 143bitr4ri 303 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))))
1610, 15bitri 274 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))))
1716anbi1i 622 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))) ↔ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
18 anass 467 . . 3 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))))))
19 anass 467 . . . . 5 (((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
20 ancom 459 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))))
21 r19.26-2 3135 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))))
2220, 21bitr4i 277 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))))
2322anbi1i 622 . . . . 5 (((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦)))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))))
2419, 23bitr3i 276 . . . 4 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))))
2524anbi2i 621 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯)) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
2618, 25bitri 274 . 2 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
278, 17, 263bitri 296 1 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯ β‰  𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (𝑧 β‰  π‘₯ ∧ 𝑧 β‰  𝑦 ∧ 𝑧 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((Β¬ π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ π‘₯ ≀ (𝑧 ∨ 𝑦)) β†’ 𝑦 ≀ (𝑧 ∨ π‘₯))) ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (( 0 < π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  ltcplt 18307  joincjn 18310  0.cp0 18422  1.cp1 18423  CLatccla 18497  OMLcoml 38679  Atomscatm 38767  AtLatcal 38768  CvLatclc 38769  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-iota 6505  df-fv 6561  df-ov 7429  df-cvlat 38826  df-hlat 38855
This theorem is referenced by:  ishlatiN  38859  hlsuprexch  38886  hlhgt4  38893
  Copyright terms: Public domain W3C validator