Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ishlat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishlat2 39051
Description: The predicate "is a Hilbert lattice". Here we replace 𝐾 ∈ CvLat with the weaker 𝐾 ∈ AtLat and show the exchange property explicitly. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ishlat.l = (le‘𝐾)
ishlat.s < = (lt‘𝐾)
ishlat.j = (join‘𝐾)
ishlat.z 0 = (0.‘𝐾)
ishlat.u 1 = (1.‘𝐾)
ishlat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ishlat2 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   0 (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ishlat2
StepHypRef Expression
1 ishlat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 ishlat.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 ishlat.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
4 ishlat.j . . 3 = (join‘𝐾)
5 ishlat.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
6 ishlat.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
7 ishlat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ishlat1 39050 . 2 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
91, 2, 4, 7iscvlat 39021 . . . . 5 (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
1093anbi3i 1156 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ↔ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)))))
11 anass 467 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)))))
12 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
1312anbi1i 622 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ↔ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
14 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)))))
1511, 13, 143bitr4ri 303 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
1610, 15bitri 274 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
1716anbi1i 622 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))) ↔ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
18 anass 467 . . 3 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))))))
19 anass 467 . . . . 5 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
20 ancom 459 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
21 r19.26-2 3128 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
2220, 21bitr4i 277 . . . . . 6 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))))
2322anbi1i 622 . . . . 5 (((∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦)))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))))
2419, 23bitr3i 276 . . . 4 ((∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))))
2524anbi2i 621 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥)) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 ))))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
2618, 25bitri 274 . 2 ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
278, 17, 263bitri 296 1 (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑦 → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥 𝑦))) ∧ ∀𝑧𝐵 ((¬ 𝑥 𝑧𝑥 (𝑧 𝑦)) → 𝑦 (𝑧 𝑥))) ∧ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (( 0 < 𝑥𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧𝑧 < 1 )))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  lecple 17273  ltcplt 18333  joincjn 18336  0.cp0 18448  1.cp1 18449  CLatccla 18523  OMLcoml 38873  Atomscatm 38961  AtLatcal 38962  CvLatclc 38963  HLchlt 39048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-iota 6506  df-fv 6562  df-ov 7427  df-cvlat 39020  df-hlat 39049
This theorem is referenced by:  ishlatiN  39053  hlsuprexch  39080  hlhgt4  39087
  Copyright terms: Public domain W3C validator