Theorem ishlat2 39816

Description: The predicate "is a Hilbert lattice". Here we replace 𝐾 ∈ CvLat with the weaker 𝐾 ∈ AtLat and show the exchange property explicitly. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ishlat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ishlat.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
ishlat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
ishlat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
ishlat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ishlat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ishlat2	⊢ (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑥,𝑦,𝑧)   ∨ (𝑥,𝑦,𝑧)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧)   0 (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ishlat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ishlat.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ishlat.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4		ishlat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		ishlat.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6		ishlat.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
7		ishlat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ishlat1 39815	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
9	1, 2, 4, 7	iscvlat 39786	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CvLat ↔ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))))
10	9	3anbi3i 1160	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ↔ (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)))))
11		anass 468	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)))))
12		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
13	12	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ↔ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))))
14		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat) ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)))))
15	11, 13, 14	3bitr4ri 304	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐾 ∈ AtLat ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))))
16	10, 15	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))))
17	16	anbi1i 625	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))) ↔ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
18		anass 468	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))))))
19		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
20		ancom 460	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))))
21		r19.26-2 3123	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))))
22	20, 21	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))))
23	22	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ (((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))))
24	19, 23	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))))
25	24	anbi2i 624	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥)) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
26	18, 25	bitri 275	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
27	8, 17, 26	3bitri 297	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((¬ 𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ≤ (𝑧 ∨ 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝑧 ∨ 𝑥))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  lecple 17221  ltcplt 18268  joincjn 18271  0.cp0 18381  1.cp1 18382  CLatccla 18458  OMLcoml 39638  Atomscatm 39726  AtLatcal 39727  CvLatclc 39728  HLchlt 39813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7364  df-cvlat 39785  df-hlat 39814

This theorem is referenced by:  ishlatiN  39818  hlsuprexch  39844  hlhgt4  39851