Theorem ishlat3N 40156

Description: The predicate "is a Hilbert lattice". Note that the superposition principle is expressed in the compact form ∃𝑧 ∈ 𝐴(𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧). The exchange property and atomicity are provided by 𝐾 ∈ CvLat, and "minimum height 4" is shown explicitly. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ishlat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ishlat.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
ishlat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
ishlat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
ishlat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ishlat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ishlat3N	⊢ (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   < (𝑥, 𝑦, 𝑧)   1 (𝑥, 𝑦, 𝑧)   ∨ (𝑥, 𝑦, 𝑧)   ≤ (𝑥, 𝑦, 𝑧)   0 (𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem ishlat3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ishlat.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ishlat.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4		ishlat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		ishlat.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6		ishlat.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
7		ishlat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ishlat1 40154	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
9		simpll3 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
10		simplrl 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11		simplrr 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
12		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
13	7, 2, 4	cvlsupr3 40146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))))
14	9, 10, 11, 12, 13	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))))
15	14	rexbidva 3187	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))))
16		ne0i 4294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
17	16	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
18		r19.37zv 4468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))))
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))))
20	15, 19	bitr2d 283	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧)))
21	20	2ralbidva 3227	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧)))
22	21	anbi1d 642	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
23	22	pm5.32i 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
24	8, 23	bitri 278	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  lecple 17321  ltcplt 18368  joincjn 18371  0.cp0 18481  1.cp1 18482  CLatccla 18558  OMLcoml 39977  Atomscatm 40065  CvLatclc 40067  HLchlt 40152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18354  df-poset 18373  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18492  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153

This theorem is used by: (None)