Theorem ishlat3N 39682

Description: The predicate "is a Hilbert lattice". Note that the superposition principle is expressed in the compact form ∃𝑧 ∈ 𝐴(𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧). The exchange property and atomicity are provided by 𝐾 ∈ CvLat, and "minimum height 4" is shown explicitly. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ishlat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ishlat.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
ishlat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
ishlat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
ishlat.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)
ishlat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ishlat3N	⊢ (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   < (𝑥,𝑦,𝑧)   1 (𝑥,𝑦,𝑧)   ∨ (𝑥,𝑦,𝑧)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧)   0 (𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ishlat3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishlat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		ishlat.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		ishlat.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4		ishlat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		ishlat.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6		ishlat.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
7		ishlat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ishlat1 39680	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
9		simpll3 1216	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ CvLat)
10		simplrl 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11		simplrr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
12		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
13	7, 2, 4	cvlsupr3 39672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))))
14	9, 10, 11, 12, 13	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))))
15	14	rexbidva 3159	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))))
16		ne0i 4294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅)
17	16	ad2antrl 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
18		r19.37zv 4461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦)))))
20	15, 19	bitr2d 280	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧)))
21	20	2ralbidva 3199	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧)))
22	21	anbi1d 632	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ))) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
23	22	pm5.32i 574	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑥 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦 ∧ 𝑧 ≤ (𝑥 ∨ 𝑦))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))) ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))
24	8, 23	bitri 275	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL ↔ ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ CvLat) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ∨ 𝑧) = (𝑦 ∨ 𝑧) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ (𝑦 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  lecple 17188  ltcplt 18235  joincjn 18238  0.cp0 18348  1.cp1 18349  CLatccla 18425  OMLcoml 39503  Atomscatm 39591  CvLatclc 39593  HLchlt 39678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-lat 18359  df-covers 39594  df-ats 39595  df-atl 39626  df-cvlat 39650  df-hlat 39679

This theorem is referenced by: (None)