MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfitg 25150
Description: Evaluate the class substitution in df-itg 25003. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfitg.1 ๐‘‡ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
dfitg โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem dfitg
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 25003 . 2 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))))
2 fvex 6860 . . . . . . . 8 (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ V
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†’ ๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))))
4 dfitg.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‡ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))
53, 4eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘‡)
65breq2d 5122 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฆ โ†” 0 โ‰ค ๐‘‡))
76anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡)))
87, 5ifbieq1d 4515 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))
92, 8csbie 3896 . . . . . . 7 โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0)
109mpteq2i 5215 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))
1110fveq2i 6850 . . . . 5 (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0)))
1211oveq2i 7373 . . . 4 ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))))
1312a1i 11 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0)))))
1413sumeq2i 15591 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))))
151, 14eqtri 2765 1 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โฆ‹csb 3860  ifcif 4491   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  ici 11060   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   / cdiv 11819  3c3 12216  ...cfz 13431  โ†‘cexp 13974  โ„œcre 14989  ฮฃcsu 15577  โˆซ2citg2 24996  โˆซcitg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-sum 15578  df-itg 25003
This theorem is referenced by:  itgeq1f  25152  nfitg  25155  cbvitg  25156  itgeq2  25158  itgresr  25159  itg0  25160  itgz  25161  itgcl  25164  itgcnlem  25170  itgss  25192  itgeqa  25194  itgsplit  25216  itgeq12dv  32966
  Copyright terms: Public domain W3C validator