MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfitg 25643
Description: Evaluate the class substitution in df-itg 25496. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfitg.1 ๐‘‡ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
dfitg โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem dfitg
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 25496 . 2 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))))
2 fvex 6895 . . . . . . . 8 (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โˆˆ V
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†’ ๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))))
4 dfitg.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‡ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜)))
53, 4eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘‡)
65breq2d 5151 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฆ โ†” 0 โ‰ค ๐‘‡))
76anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡)))
87, 5ifbieq1d 4545 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) โ†’ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))
92, 8csbie 3922 . . . . . . 7 โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0) = if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0)
109mpteq2i 5244 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))
1110fveq2i 6885 . . . . 5 (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0))) = (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0)))
1211oveq2i 7413 . . . 4 ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))))
1312a1i 11 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ (0...3) โ†’ ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)))) = ((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0)))))
1413sumeq2i 15647 . 2 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ โฆ‹(โ„œโ€˜(๐ต / (iโ†‘๐‘˜))) / ๐‘ฆโฆŒif((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฆ), ๐‘ฆ, 0)))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))))
151, 14eqtri 2752 1 โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...3)((iโ†‘๐‘˜) ยท (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐‘‡), ๐‘‡, 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โฆ‹csb 3886  ifcif 4521   class class class wbr 5139   โ†ฆ cmpt 5222  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„cr 11106  0cc0 11107  ici 11109   ยท cmul 11112   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870  3c3 12267  ...cfz 13485  โ†‘cexp 14028  โ„œcre 15046  ฮฃcsu 15634  โˆซ2citg2 25489  โˆซcitg 25491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-seq 13968  df-sum 15635  df-itg 25496
This theorem is referenced by:  itgeq1f  25645  nfitg  25648  cbvitg  25649  itgeq2  25651  itgresr  25652  itg0  25653  itgz  25654  itgcl  25657  itgcnlem  25663  itgss  25685  itgeqa  25687  itgsplit  25709  itgeq12dv  33844
  Copyright terms: Public domain W3C validator