Theorem dfitg 25726

Description: Evaluate the class substitution in df-itg 25580. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfitg.1	⊢ 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
dfitg	⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem dfitg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-itg 25580	. 2 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))))
2		fvex 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ V
3		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) → 𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
4		dfitg.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
5	3, 4	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) → 𝑦 = 𝑇)
6	5	breq2d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑇))
7	6	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇)))
8	7, 5	ifbieq1d 4504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))
9	2, 8	csbie 3884	. . . . . . 7 ⊢ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)
10	9	mpteq2i 5194	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))
11	10	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
12	11	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))))
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))))
14	13	sumeq2i 15621	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋(ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦⦌if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))))
15	1, 14	eqtri 2759	1 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⦋csb 3849  ifcif 4479   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  ici 11028   · cmul 11031   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  3c3 12201  ...cfz 13423  ↑cexp 13984  ℜcre 15020  Σcsu 15609  ∫₂citg2 25573  ∫citg 25575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-sum 15610  df-itg 25580

This theorem is referenced by:  itgeq1fOLD  25729  nfitg  25732  cbvitg  25733  itgeq2  25735  itgresr  25736  itg0  25737  itgz  25738  itgcl  25741  itgcnlem  25747  itgss  25769  itgeqa  25771  itgsplit  25793  itgeq12dv  34483