MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfitg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfitg 24377
Description: Evaluate the class substitution in df-itg 24231. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfitg.1 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
Assertion
Ref Expression
dfitg 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem dfitg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 24231 . 2 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))))
2 fvex 6662 . . . . . . . 8 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ V
3 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) → 𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
4 dfitg.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))
53, 4eqtr4di 2854 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) → 𝑦 = 𝑇)
65breq2d 5045 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) → (0 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑇))
76anbi2d 631 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) → ((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇)))
87, 5ifbieq1d 4451 . . . . . . . 8 (𝑦 = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))
92, 8csbie 3866 . . . . . . 7 (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)
109mpteq2i 5125 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))
1110fveq2i 6652 . . . . 5 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))
1211oveq2i 7150 . . . 4 ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))))
1312a1i 11 . . 3 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)))) = ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0)))))
1413sumeq2i 15052 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) / 𝑦if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑦), 𝑦, 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))))
151, 14eqtri 2824 1 𝐴𝐵 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑇), 𝑇, 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  csb 3831  ifcif 4428   class class class wbr 5033  cmpt 5113  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  ici 10532   · cmul 10535  cle 10669   / cdiv 11290  3c3 11685  ...cfz 12889  cexp 13429  cre 14452  Σcsu 15038  2citg2 24224  citg 24226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-seq 13369  df-sum 15039  df-itg 24231
This theorem is referenced by:  itgeq1f  24379  nfitg  24382  cbvitg  24383  itgeq2  24385  itgresr  24386  itg0  24387  itgz  24388  itgcl  24391  itgcnlem  24397  itgss  24419  itgeqa  24421  itgsplit  24443  itgeq12dv  31698
  Copyright terms: Public domain W3C validator