Theorem areaval 26436

Description: The area of a measurable region is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areaval	⊢ (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem areaval

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑠 = 𝑆)
2	1	imaeq1d 6051	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑠 “ {𝑥}) = (𝑆 “ {𝑥}))
3	2	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
4	3	itgeq2dv 25268	. 2 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)
5		dfarea 26432	. 2 ⊢ area = (𝑠 ∈ dom area ↦ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
6		itgex 25257	. 2 ⊢ ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6987	1 ⊢ (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4624  dom cdm 5672   “ cima 5675  ‘cfv 6535  ℝcr 11096  volcvol 24949  ∫citg 25104  areacarea 26427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-seq 13954  df-sum 15620  df-itg 25109  df-area 26428

This theorem is referenced by:  areacirc  36486  arearect  41835  areaquad  41836