Theorem areaval 25238

Description: The area of a measurable region is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areaval	⊢ (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem areaval

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑠 = 𝑆)
2	1	imaeq1d 5763	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑠 “ {𝑥}) = (𝑆 “ {𝑥}))
3	2	fveq2d 6497	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
4	3	itgeq2dv 24079	. 2 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)
5		dfarea 25234	. 2 ⊢ area = (𝑠 ∈ dom area ↦ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
6		itgex 24068	. 2 ⊢ ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6589	1 ⊢ (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {csn 4435  dom cdm 5401   “ cima 5404  ‘cfv 6182  ℝcr 10328  volcvol 23761  ∫citg 23916  areacarea 25229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-seq 13179  df-sum 14898  df-itg 23921  df-area 25230

This theorem is referenced by:  areacirc  34428  arearect  39218  areaquad  39219