Theorem areaval 26706

Description: The area of a measurable region is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
areaval	⊢ (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem areaval

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑠 = 𝑆)
2	1	imaeq1d 6058	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑠 “ {𝑥}) = (𝑆 “ {𝑥}))
3	2	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑠 “ {𝑥})) = (vol‘(𝑆 “ {𝑥})))
4	3	itgeq2dv 25532	. 2 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥 = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)
5		dfarea 26702	. 2 ⊢ area = (𝑠 ∈ dom area ↦ ∫ℝ(vol‘(𝑠 “ {𝑥})) d𝑥)
6		itgex 25521	. 2 ⊢ ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6998	1 ⊢ (𝑆 ∈ dom area → (area‘𝑆) = ∫ℝ(vol‘(𝑆 “ {𝑥})) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4628  dom cdm 5676   “ cima 5679  ‘cfv 6543  ℝcr 11112  volcvol 25213  ∫citg 25368  areacarea 26697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-sum 15638  df-itg 25373  df-area 26698

This theorem is referenced by:  areacirc  36885  arearect  42267  areaquad  42268