Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsinexp 45243
Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,Ο€) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexp.1 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
itgsinexp.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
Assertion
Ref Expression
itgsinexp (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) = (((𝑁 βˆ’ 1) / 𝑁) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑁   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem itgsinexp
StepHypRef Expression
1 itgsinexp.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 eluzelz 12836 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 zcn 12567 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
5 1cnd 11213 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
64, 5npcand 11579 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
76eqcomd 2732 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
87oveq1d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· (πΌβ€˜π‘)) = (((𝑁 βˆ’ 1) + 1) Β· (πΌβ€˜π‘)))
9 uz2m1nn 12911 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
1110nncnd 12232 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
12 itgsinexp.1 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
1312a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯))
14 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
1514ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
1615itgeq2dv 25666 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)
17 2cnd 12294 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
18 npcan 11473 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 2) = 𝑁)
1918eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 2) + 2))
204, 17, 19syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 2) + 2))
21 uznn0sub 12865 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
221, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
23 2nn0 12493 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•0)
2522, 24nn0addcld 12540 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 2) ∈ β„•0)
2620, 25eqeltrd 2827 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
27 itgex 25655 . . . . . . . 8 ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯ ∈ V)
2913, 16, 26, 28fvmptd 6999 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) = ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)
30 ioosscn 13392 . . . . . . . . . . 11 (0(,)Ο€) βŠ† β„‚
3130sseli 3973 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3231sincld 16080 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3332adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3426adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3533, 34expcld 14116 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) ∈ β„‚)
36 ioossicc 13416 . . . . . . . . 9 (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€)
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€))
38 ioombl 25449 . . . . . . . . 9 (0(,)Ο€) ∈ dom vol
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
40 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
41 pire 26348 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ ℝ
42 iccssre 13412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (0[,]Ο€) βŠ† ℝ)
4340, 41, 42mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]Ο€) βŠ† ℝ
44 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
4543, 44sstri 3986 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]Ο€) βŠ† β„‚
4645sseli 3973 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4746sincld 16080 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4847adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4926adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5048, 49expcld 14116 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) ∈ β„‚)
5140a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5241a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
5346adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
54 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
5554fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
5653, 50, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
5756eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯))
5857mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯)))
59 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
60 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯sin
61 sincn 26336 . . . . . . . . . . . . 13 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
6360, 62, 26expcnfg 44879 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
6445a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0[,]Ο€) βŠ† β„‚)
6559, 63, 64cncfmptss 44875 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
6658, 65eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
67 cniccibl 25725 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
6851, 52, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
6937, 39, 50, 68iblss 25689 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
7035, 69itgcl 25668 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯ ∈ β„‚)
7129, 70eqeltrd 2827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ β„‚)
7211, 71adddirp1d 11244 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) + 1) Β· (πΌβ€˜π‘)) = (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘)) + (πΌβ€˜π‘)))
73 eluz2b2 12909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
741, 73sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
7574simpld 494 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76 expm1t 14061 . . . . . . . . . 10 (((sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) = (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
7732, 75, 76syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) = (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
7877itgeq2dv 25666 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)
79 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))
80 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))
81 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) Β· (cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) Β· (cosβ€˜π‘₯)))
82 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
83 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) Β· (cosβ€˜π‘₯)) Β· -(cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) Β· (cosβ€˜π‘₯)) Β· -(cosβ€˜π‘₯)))
84 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
8579, 80, 81, 82, 83, 84, 10itgsinexplem1 45242 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)) dπ‘₯ = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) dπ‘₯))
864, 5, 5subsub4d 11606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (1 + 1)))
87 1p1e2 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1 + 1) = 2)
8988oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ (1 + 1)) = (𝑁 βˆ’ 2))
9086, 89eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
9291oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
9392oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) = (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))))
9493itgeq2dv 25666 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯)
9594oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) dπ‘₯) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯))
96 sincossq 16126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) + ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = 1)
97 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„‚)
98 sincl 16076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9998sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
100 coscl 16077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
101100sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
10297, 99, 101subaddd 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) = ((cosβ€˜π‘₯)↑2) ↔ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) + ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = 1))
10396, 102mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) = ((cosβ€˜π‘₯)↑2))
104103eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑2) = (1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)))
10531, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑2) = (1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)))
106105oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = ((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))))
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = ((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))))
108107itgeq2dv 25666 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯)
109 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 1 ∈ β„‚)
11032sqcld 14114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
11290eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 2) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
113 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
11410, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
115112, 114eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
116115adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
11733, 116expcld 14116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ β„‚)
118109, 111, 117subdird 11675 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = ((1 Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))))
119117mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (1 Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
12023a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 2 ∈ β„•0)
12133, 116, 120expaddd 14118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(2 + (𝑁 βˆ’ 2))) = (((sinβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))))
12217, 4pncan3d 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2 + (𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑁)
123122oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(2 + (𝑁 βˆ’ 2))) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(2 + (𝑁 βˆ’ 2))) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
125121, 124eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
126119, 125oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((1 Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))) = (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)))
127118, 126eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)))
128127itgeq2dv 25666 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) dπ‘₯)
129115adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
13048, 129expcld 14116 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ β„‚)
131 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
132131fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))β€˜π‘₯) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
13353, 130, 132syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))β€˜π‘₯) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
134133eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))β€˜π‘₯))
135134mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))β€˜π‘₯)))
136 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
13760, 62, 115expcnfg 44879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
138136, 137, 64cncfmptss 44875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))β€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
139135, 138eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
140 cniccibl 25725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ 𝐿1)
14151, 52, 139, 140syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ 𝐿1)
14237, 39, 130, 141iblss 25689 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ 𝐿1)
143117, 142, 35, 69itgsub 25710 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) dπ‘₯ = (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯))
144108, 128, 1433eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯ = (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯))
145144oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)))
14685, 95, 1453eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)) dπ‘₯ = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)))
14729, 78, 1463eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)))
148 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
149148adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
150149itgeq2dv 25666 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯)
151 itgex 25655 . . . . . . . . . . 11 ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ ∈ V
152151a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ ∈ V)
15312, 150, 115, 152fvmptd3 7015 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯)
154153, 29oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ (πΌβ€˜π‘)) = (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯))
155154oveq2d 7421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ (πΌβ€˜π‘))) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)))
156117, 142itgcl 25668 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ ∈ β„‚)
157153, 156eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ β„‚)
15811, 157, 71subdid 11674 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ (πΌβ€˜π‘))) = (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘))))
159147, 155, 1583eqtr2d 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) = (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘))))
160159eqcomd 2732 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘))) = (πΌβ€˜π‘))
16111, 157mulcld 11238 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ β„‚)
16211, 71mulcld 11238 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
163161, 162, 71subaddd 11593 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘))) = (πΌβ€˜π‘) ↔ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘)) + (πΌβ€˜π‘)) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)))))
164160, 163mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘)) + (πΌβ€˜π‘)) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))))
1658, 72, 1643eqtrd 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· (πΌβ€˜π‘)) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))))
166165oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑁 Β· (πΌβ€˜π‘)) / 𝑁) = (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) / 𝑁))
16775nnne0d 12266 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
16871, 4, 167divcan3d 11999 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑁 Β· (πΌβ€˜π‘)) / 𝑁) = (πΌβ€˜π‘))
16911, 157, 4, 167div23d 12031 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) / 𝑁) = (((𝑁 βˆ’ 1) / 𝑁) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))))
170166, 168, 1693eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) = (((𝑁 βˆ’ 1) / 𝑁) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  β†‘cexp 14032  sincsin 16013  cosccos 16014  Ο€cpi 16016  β€“cnβ†’ccncf 24751  volcvol 25347  πΏ1cibl 25501  βˆ«citg 25502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  wallispilem2  45354  wallispilem4  45356  wallispilem5  45357
  Copyright terms: Public domain W3C validator