Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsinexp 45406
Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,Ο€) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexp.1 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
itgsinexp.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
Assertion
Ref Expression
itgsinexp (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) = (((𝑁 βˆ’ 1) / 𝑁) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑁   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem itgsinexp
StepHypRef Expression
1 itgsinexp.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 eluzelz 12862 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3 zcn 12593 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
5 1cnd 11239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
64, 5npcand 11605 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
76eqcomd 2731 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
87oveq1d 7431 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· (πΌβ€˜π‘)) = (((𝑁 βˆ’ 1) + 1) Β· (πΌβ€˜π‘)))
9 uz2m1nn 12937 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•)
1110nncnd 12258 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
12 itgsinexp.1 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯)
1312a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯))
14 oveq2 7424 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
1514ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
1615itgeq2dv 25729 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 = 𝑁) β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)
17 2cnd 12320 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
18 npcan 11499 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 2) = 𝑁)
1918eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 2) + 2))
204, 17, 19syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 = ((𝑁 βˆ’ 2) + 2))
21 uznn0sub 12891 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
221, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
23 2nn0 12519 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„•0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•0)
2522, 24nn0addcld 12566 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 2) + 2) ∈ β„•0)
2620, 25eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
27 itgex 25718 . . . . . . . 8 ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯ ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯ ∈ V)
2913, 16, 26, 28fvmptd 7007 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) = ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)
30 ioosscn 13418 . . . . . . . . . . 11 (0(,)Ο€) βŠ† β„‚
3130sseli 3968 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3231sincld 16106 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3332adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3426adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3533, 34expcld 14142 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) ∈ β„‚)
36 ioossicc 13442 . . . . . . . . 9 (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€)
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€))
38 ioombl 25512 . . . . . . . . 9 (0(,)Ο€) ∈ dom vol
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
40 0re 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
41 pire 26411 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ ℝ
42 iccssre 13438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (0[,]Ο€) βŠ† ℝ)
4340, 41, 42mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]Ο€) βŠ† ℝ
44 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
4543, 44sstri 3982 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]Ο€) βŠ† β„‚
4645sseli 3968 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4746sincld 16106 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4847adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4926adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5048, 49expcld 14142 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) ∈ β„‚)
5140a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5241a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
5346adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
54 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
5554fvmpt2 7011 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
5653, 50, 55syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
5756eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯))
5857mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) = (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯)))
59 nfmpt1 5251 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
60 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯sin
61 sincn 26399 . . . . . . . . . . . . 13 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
6360, 62, 26expcnfg 45042 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
6445a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0[,]Ο€) βŠ† β„‚)
6559, 63, 64cncfmptss 45038 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))β€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
6658, 65eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
67 cniccibl 25788 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
6851, 52, 66, 67syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
6937, 39, 50, 68iblss 25752 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
7035, 69itgcl 25731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯ ∈ β„‚)
7129, 70eqeltrd 2825 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ β„‚)
7211, 71adddirp1d 11270 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) + 1) Β· (πΌβ€˜π‘)) = (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘)) + (πΌβ€˜π‘)))
73 eluz2b2 12935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
741, 73sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 1 < 𝑁))
7574simpld 493 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76 expm1t 14087 . . . . . . . . . 10 (((sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) = (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
7732, 75, 76syl2anr 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) = (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
7877itgeq2dv 25729 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)) dπ‘₯)
79 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)))
80 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))
81 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) Β· (cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) Β· (cosβ€˜π‘₯)))
82 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)))
83 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) Β· (cosβ€˜π‘₯)) Β· -(cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) Β· (cosβ€˜π‘₯)) Β· -(cosβ€˜π‘₯)))
84 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
8579, 80, 81, 82, 83, 84, 10itgsinexplem1 45405 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)) dπ‘₯ = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) dπ‘₯))
864, 5, 5subsub4d 11632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (1 + 1)))
87 1p1e2 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1 + 1) = 2)
8988oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ (1 + 1)) = (𝑁 βˆ’ 2))
9086, 89eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
9190adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 2))
9291oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
9392oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) = (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))))
9493itgeq2dv 25729 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯)
9594oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))) dπ‘₯) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯))
96 sincossq 16152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) + ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = 1)
97 1cnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„‚)
98 sincl 16102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
9998sqcld 14140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
100 coscl 16103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
101100sqcld 14140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
10297, 99, 101subaddd 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) = ((cosβ€˜π‘₯)↑2) ↔ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) + ((cosβ€˜π‘₯)↑2)) = 1))
10396, 102mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) = ((cosβ€˜π‘₯)↑2))
104103eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑2) = (1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)))
10531, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((cosβ€˜π‘₯)↑2) = (1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)))
106105oveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = ((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))))
107106adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = ((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))))
108107itgeq2dv 25729 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯)
109 1cnd 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 1 ∈ β„‚)
11032sqcld 14140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
111110adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
11290eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 2) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))
113 nnm1nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„• β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
11410, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
115112, 114eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
116115adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
11733, 116expcld 14142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ β„‚)
118109, 111, 117subdird 11701 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = ((1 Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))))
119117mullidd 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (1 Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
12023a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 2 ∈ β„•0)
12133, 116, 120expaddd 14144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(2 + (𝑁 βˆ’ 2))) = (((sinβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))))
12217, 4pncan3d 11604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2 + (𝑁 βˆ’ 2)) = 𝑁)
123122oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(2 + (𝑁 βˆ’ 2))) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
124123adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(2 + (𝑁 βˆ’ 2))) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
125121, 124eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁))
126119, 125oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((1 Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ (((sinβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))) = (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)))
127118, 126eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = (((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)))
128127itgeq2dv 25729 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((1 βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑2)) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) dπ‘₯)
129115adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (𝑁 βˆ’ 2) ∈ β„•0)
13048, 129expcld 14142 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ β„‚)
131 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
132131fvmpt2 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))β€˜π‘₯) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
13353, 130, 132syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))β€˜π‘₯) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
134133eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))β€˜π‘₯))
135134mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) = (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))β€˜π‘₯)))
136 nfmpt1 5251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
13760, 62, 115expcnfg 45042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
138136, 137, 64cncfmptss 45038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))β€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
139135, 138eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
140 cniccibl 25788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ 𝐿1)
14151, 52, 139, 140syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ 𝐿1)
14237, 39, 130, 141iblss 25752 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ 𝐿1)
143117, 142, 35, 69itgsub 25773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁)) dπ‘₯ = (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯))
144108, 128, 1433eqtrd 2769 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯ = (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯))
145144oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ∫(0(,)Ο€)(((cosβ€˜π‘₯)↑2) Β· ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2))) dπ‘₯) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)))
14685, 95, 1453eqtrd 2769 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)(((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜π‘₯)) dπ‘₯ = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)))
14729, 78, 1463eqtrd 2769 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)))
148 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
149148adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = (𝑁 βˆ’ 2) ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) = ((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)))
150149itgeq2dv 25729 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑁 βˆ’ 2) β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑛) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯)
151 itgex 25718 . . . . . . . . . . 11 ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ ∈ V
152151a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ ∈ V)
15312, 150, 115, 152fvmptd3 7023 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) = ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯)
154153, 29oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ (πΌβ€˜π‘)) = (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯))
155154oveq2d 7432 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ (πΌβ€˜π‘))) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ βˆ’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑𝑁) dπ‘₯)))
156117, 142itgcl 25731 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)Ο€)((sinβ€˜π‘₯)↑(𝑁 βˆ’ 2)) dπ‘₯ ∈ β„‚)
157153, 156eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) ∈ β„‚)
15811, 157, 71subdid 11700 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· ((πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)) βˆ’ (πΌβ€˜π‘))) = (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘))))
159147, 155, 1583eqtr2d 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) = (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘))))
160159eqcomd 2731 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘))) = (πΌβ€˜π‘))
16111, 157mulcld 11264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) ∈ β„‚)
16211, 71mulcld 11264 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
163161, 162, 71subaddd 11619 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘))) = (πΌβ€˜π‘) ↔ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘)) + (πΌβ€˜π‘)) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2)))))
164160, 163mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜π‘)) + (πΌβ€˜π‘)) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))))
1658, 72, 1643eqtrd 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· (πΌβ€˜π‘)) = ((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))))
166165oveq1d 7431 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑁 Β· (πΌβ€˜π‘)) / 𝑁) = (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) / 𝑁))
16775nnne0d 12292 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
16871, 4, 167divcan3d 12025 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑁 Β· (πΌβ€˜π‘)) / 𝑁) = (πΌβ€˜π‘))
16911, 157, 4, 167div23d 12057 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))) / 𝑁) = (((𝑁 βˆ’ 1) / 𝑁) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))))
170166, 168, 1693eqtr3d 2773 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘) = (((𝑁 βˆ’ 1) / 𝑁) Β· (πΌβ€˜(𝑁 βˆ’ 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   < clt 11278   βˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  β†‘cexp 14058  sincsin 16039  cosccos 16040  Ο€cpi 16042  β€“cnβ†’ccncf 24814  volcvol 25410  πΏ1cibl 25564  βˆ«citg 25565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-symdif 4237  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-itg2 25568  df-ibl 25569  df-itg 25570  df-0p 25617  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  wallispilem2  45517  wallispilem4  45519  wallispilem5  45520
  Copyright terms: Public domain W3C validator