Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsinexp 44186
Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexp.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
itgsinexp.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
Assertion
Ref Expression
itgsinexp (𝜑 → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑁   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem itgsinexp
StepHypRef Expression
1 itgsinexp.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2 eluzelz 12773 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 zcn 12504 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5 1cnd 11150 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
64, 5npcand 11516 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
76eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
87oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · (𝐼𝑁)) = (((𝑁 − 1) + 1) · (𝐼𝑁)))
9 uz2m1nn 12848 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
1110nncnd 12169 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
12 itgsinexp.1 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥))
14 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
1514ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 = 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
1615itgeq2dv 25146 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
17 2cnd 12231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
18 npcan 11410 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
1918eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
204, 17, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
21 uznn0sub 12802 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
221, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
23 2nn0 12430 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
2522, 24nn0addcld 12477 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 2) + 2) ∈ ℕ0)
2620, 25eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
27 itgex 25135 . . . . . . . 8 ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ V)
2913, 16, 26, 28fvmptd 6955 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑁) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
30 ioosscn 13326 . . . . . . . . . . 11 (0(,)π) ⊆ ℂ
3130sseli 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
3231sincld 16012 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3332adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3426adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3533, 34expcld 14051 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
36 ioossicc 13350 . . . . . . . . 9 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
38 ioombl 24929 . . . . . . . . 9 (0(,)π) ∈ dom vol
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
40 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
41 pire 25815 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ
42 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
4340, 41, 42mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]π) ⊆ ℝ
44 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44sstri 3953 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℂ
4645sseli 3940 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
4746sincld 16012 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
4847adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
4926adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5048, 49expcld 14051 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
5140a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5241a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5346adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
54 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
5554fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
5653, 50, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
5756eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥))
5857mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥)))
59 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
60 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥sin
61 sincn 25803 . . . . . . . . . . . . 13 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6360, 62, 26expcnfg 43822 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6445a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
6559, 63, 64cncfmptss 43818 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
6658, 65eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
67 cniccibl 25205 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
6851, 52, 66, 67syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
6937, 39, 50, 68iblss 25169 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
7035, 69itgcl 25148 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
7129, 70eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑁) ∈ ℂ)
7211, 71adddirp1d 11181 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) · (𝐼𝑁)) = (((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) + (𝐼𝑁)))
73 eluz2b2 12846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
741, 73sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
7574simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76 expm1t 13996 . . . . . . . . . 10 (((sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)))
7732, 75, 76syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)))
7877itgeq2dv 25146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 = ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)) d𝑥)
79 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))
80 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
81 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥)))
82 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)))
83 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
84 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))))
8579, 80, 81, 82, 83, 84, 10itgsinexplem1 44185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) d𝑥))
864, 5, 5subsub4d 11543 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
87 1p1e2 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
8988oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
9086, 89eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
9291oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1)) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
9392oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
9493itgeq2dv 25146 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥)
9594oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) d𝑥) = ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥))
96 sincossq 16058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1)
97 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
98 sincl 16008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
9998sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
100 coscl 16009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
101100sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
10297, 99, 101subaddd 11530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) = ((cos‘𝑥)↑2) ↔ (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1))
10396, 102mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − ((sin‘𝑥)↑2)) = ((cos‘𝑥)↑2))
104103eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = (1 − ((sin‘𝑥)↑2)))
10531, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥)↑2) = (1 − ((sin‘𝑥)↑2)))
106105oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
107106adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
108107itgeq2dv 25146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥 = ∫(0(,)π)((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥)
109 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℂ)
11032sqcld 14049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
11290eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
113 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
11410, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
115112, 114eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
116115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
11733, 116expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
118109, 111, 117subdird 11612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((1 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) − (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))))
119117mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
12023a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 2 ∈ ℕ0)
12133, 116, 120expaddd 14053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(2 + (𝑁 − 2))) = (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
12217, 4pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 + (𝑁 − 2)) = 𝑁)
123122oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((sin‘𝑥)↑(2 + (𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
124123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(2 + (𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
125121, 124eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
126119, 125oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((1 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) − (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
127118, 126eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
128127itgeq2dv 25146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0(,)π)((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)) d𝑥)
129115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
13048, 129expcld 14051 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
131 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
132131fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
13353, 130, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
134133eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥))
135134mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥)))
136 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
13760, 62, 115expcnfg 43822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
138136, 137, 64cncfmptss 43818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
139135, 138eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
140 cniccibl 25205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ 𝐿1)
14151, 52, 139, 140syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ 𝐿1)
14237, 39, 130, 141iblss 25169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ 𝐿1)
143117, 142, 35, 69itgsub 25190 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)) d𝑥 = (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥))
144108, 128, 1433eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥 = (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥))
145144oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥) = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
14685, 95, 1453eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
14729, 78, 1463eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼𝑁) = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
148 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑁 − 2) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
149148adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = (𝑁 − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
150149itgeq2dv 25146 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑁 − 2) → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥)
151 itgex 25135 . . . . . . . . . . 11 ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 ∈ V
152151a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 ∈ V)
15312, 150, 115, 152fvmptd3 6971 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 − 2)) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥)
154153, 29oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑁 − 2)) − (𝐼𝑁)) = (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥))
155154oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ((𝐼‘(𝑁 − 2)) − (𝐼𝑁))) = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
156117, 142itgcl 25148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 ∈ ℂ)
157153, 156eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
15811, 157, 71subdid 11611 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ((𝐼‘(𝑁 − 2)) − (𝐼𝑁))) = (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))))
159147, 155, 1583eqtr2d 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))))
160159eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))) = (𝐼𝑁))
16111, 157mulcld 11175 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
16211, 71mulcld 11175 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) ∈ ℂ)
163161, 162, 71subaddd 11530 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))) = (𝐼𝑁) ↔ (((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) + (𝐼𝑁)) = ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
164160, 163mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) + (𝐼𝑁)) = ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
1658, 72, 1643eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (𝑁 · (𝐼𝑁)) = ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
166165oveq1d 7372 . 2 (𝜑 → ((𝑁 · (𝐼𝑁)) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) / 𝑁))
16775nnne0d 12203 . . 3 (𝜑𝑁 ≠ 0)
16871, 4, 167divcan3d 11936 . 2 (𝜑 → ((𝑁 · (𝐼𝑁)) / 𝑁) = (𝐼𝑁))
16911, 157, 4, 167div23d 11968 . 2 (𝜑 → (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
170166, 168, 1693eqtr3d 2784 1 (𝜑 → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cexp 13967  sincsin 15946  cosccos 15947  πcpi 15949  cnccncf 24239  volcvol 24827  𝐿1cibl 24981  citg 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  wallispilem2  44297  wallispilem4  44299  wallispilem5  44300
  Copyright terms: Public domain W3C validator