Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsinexp 44091
Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexp.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
itgsinexp.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
Assertion
Ref Expression
itgsinexp (𝜑 → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑁   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem itgsinexp
StepHypRef Expression
1 itgsinexp.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2 eluzelz 12731 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 zcn 12462 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5 1cnd 11108 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
64, 5npcand 11474 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
76eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
87oveq1d 7366 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · (𝐼𝑁)) = (((𝑁 − 1) + 1) · (𝐼𝑁)))
9 uz2m1nn 12802 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
1110nncnd 12127 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
12 itgsinexp.1 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥))
14 oveq2 7359 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
1514ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 = 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
1615itgeq2dv 25092 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
17 2cnd 12189 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
18 npcan 11368 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
1918eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
204, 17, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
21 uznn0sub 12756 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
221, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
23 2nn0 12388 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
2522, 24nn0addcld 12435 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 2) + 2) ∈ ℕ0)
2620, 25eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
27 itgex 25081 . . . . . . . 8 ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ V)
2913, 16, 26, 28fvmptd 6952 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑁) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
30 ioosscn 13280 . . . . . . . . . . 11 (0(,)π) ⊆ ℂ
3130sseli 3938 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
3231sincld 15966 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3332adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3426adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3533, 34expcld 14005 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
36 ioossicc 13304 . . . . . . . . 9 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
38 ioombl 24875 . . . . . . . . 9 (0(,)π) ∈ dom vol
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
40 0re 11115 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
41 pire 25761 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ
42 iccssre 13300 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
4340, 41, 42mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]π) ⊆ ℝ
44 ax-resscn 11066 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44sstri 3951 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℂ
4645sseli 3938 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
4746sincld 15966 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
4847adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
4926adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5048, 49expcld 14005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
5140a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5241a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5346adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
54 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
5554fvmpt2 6956 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
5653, 50, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
5756eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥))
5857mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥)))
59 nfmpt1 5211 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
60 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑥sin
61 sincn 25749 . . . . . . . . . . . . 13 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6360, 62, 26expcnfg 43727 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6445a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
6559, 63, 64cncfmptss 43723 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
6658, 65eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
67 cniccibl 25151 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
6851, 52, 66, 67syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
6937, 39, 50, 68iblss 25115 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
7035, 69itgcl 25094 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
7129, 70eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑁) ∈ ℂ)
7211, 71adddirp1d 11139 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) · (𝐼𝑁)) = (((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) + (𝐼𝑁)))
73 eluz2b2 12800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
741, 73sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
7574simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76 expm1t 13950 . . . . . . . . . 10 (((sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)))
7732, 75, 76syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)))
7877itgeq2dv 25092 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 = ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)) d𝑥)
79 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))
80 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
81 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥)))
82 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)))
83 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
84 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))))
8579, 80, 81, 82, 83, 84, 10itgsinexplem1 44090 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) d𝑥))
864, 5, 5subsub4d 11501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
87 1p1e2 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
8988oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
9086, 89eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
9291oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1)) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
9392oveq2d 7367 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
9493itgeq2dv 25092 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥)
9594oveq2d 7367 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) d𝑥) = ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥))
96 sincossq 16012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1)
97 1cnd 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
98 sincl 15962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
9998sqcld 14003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
100 coscl 15963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
101100sqcld 14003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
10297, 99, 101subaddd 11488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) = ((cos‘𝑥)↑2) ↔ (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1))
10396, 102mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − ((sin‘𝑥)↑2)) = ((cos‘𝑥)↑2))
104103eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = (1 − ((sin‘𝑥)↑2)))
10531, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥)↑2) = (1 − ((sin‘𝑥)↑2)))
106105oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
107106adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
108107itgeq2dv 25092 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥 = ∫(0(,)π)((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥)
109 1cnd 11108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℂ)
11032sqcld 14003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
11290eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
113 nnm1nn0 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
11410, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
115112, 114eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
116115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
11733, 116expcld 14005 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
118109, 111, 117subdird 11570 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((1 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) − (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))))
119117mulid2d 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
12023a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 2 ∈ ℕ0)
12133, 116, 120expaddd 14007 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(2 + (𝑁 − 2))) = (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
12217, 4pncan3d 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 + (𝑁 − 2)) = 𝑁)
123122oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((sin‘𝑥)↑(2 + (𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
124123adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(2 + (𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
125121, 124eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
126119, 125oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((1 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) − (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
127118, 126eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
128127itgeq2dv 25092 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0(,)π)((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)) d𝑥)
129115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
13048, 129expcld 14005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
131 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
132131fvmpt2 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
13353, 130, 132syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
134133eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥))
135134mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥)))
136 nfmpt1 5211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
13760, 62, 115expcnfg 43727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
138136, 137, 64cncfmptss 43723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
139135, 138eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
140 cniccibl 25151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ 𝐿1)
14151, 52, 139, 140syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ 𝐿1)
14237, 39, 130, 141iblss 25115 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ 𝐿1)
143117, 142, 35, 69itgsub 25136 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)) d𝑥 = (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥))
144108, 128, 1433eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥 = (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥))
145144oveq2d 7367 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥) = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
14685, 95, 1453eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
14729, 78, 1463eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼𝑁) = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
148 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑁 − 2) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
149148adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = (𝑁 − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
150149itgeq2dv 25092 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑁 − 2) → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥)
151 itgex 25081 . . . . . . . . . . 11 ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 ∈ V
152151a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 ∈ V)
15312, 150, 115, 152fvmptd3 6968 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 − 2)) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥)
154153, 29oveq12d 7369 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑁 − 2)) − (𝐼𝑁)) = (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥))
155154oveq2d 7367 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ((𝐼‘(𝑁 − 2)) − (𝐼𝑁))) = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
156117, 142itgcl 25094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 ∈ ℂ)
157153, 156eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
15811, 157, 71subdid 11569 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ((𝐼‘(𝑁 − 2)) − (𝐼𝑁))) = (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))))
159147, 155, 1583eqtr2d 2782 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))))
160159eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))) = (𝐼𝑁))
16111, 157mulcld 11133 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
16211, 71mulcld 11133 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) ∈ ℂ)
163161, 162, 71subaddd 11488 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))) = (𝐼𝑁) ↔ (((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) + (𝐼𝑁)) = ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
164160, 163mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) + (𝐼𝑁)) = ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
1658, 72, 1643eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (𝑁 · (𝐼𝑁)) = ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
166165oveq1d 7366 . 2 (𝜑 → ((𝑁 · (𝐼𝑁)) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) / 𝑁))
16775nnne0d 12161 . . 3 (𝜑𝑁 ≠ 0)
16871, 4, 167divcan3d 11894 . 2 (𝜑 → ((𝑁 · (𝐼𝑁)) / 𝑁) = (𝐼𝑁))
16911, 157, 4, 167div23d 11926 . 2 (𝜑 → (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
170166, 168, 1693eqtr3d 2784 1 (𝜑 → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  wss 3908   class class class wbr 5103  cmpt 5186  dom cdm 5631  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11147  cmin 11343  -cneg 11344   / cdiv 11770  cn 12111  2c2 12166  0cn0 12371  cz 12457  cuz 12721  (,)cioo 13218  [,]cicc 13221  cexp 13921  sincsin 15900  cosccos 15901  πcpi 15903  cnccncf 24185  volcvol 24773  𝐿1cibl 24927  citg 24928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-ofr 7610  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-oadd 8408  df-omul 8409  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-dju 9795  df-card 9833  df-acn 9836  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ioc 13223  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14906  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-limsup 15307  df-clim 15324  df-rlim 15325  df-sum 15525  df-ef 15904  df-sin 15906  df-cos 15907  df-pi 15909  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-starv 17102  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-ip 17105  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-unif 17110  df-hom 17111  df-cco 17112  df-rest 17258  df-topn 17259  df-0g 17277  df-gsum 17278  df-topgen 17279  df-pt 17280  df-prds 17283  df-xrs 17338  df-qtop 17343  df-imas 17344  df-xps 17346  df-mre 17420  df-mrc 17421  df-acs 17423  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-submnd 18556  df-mulg 18826  df-cntz 19050  df-cmn 19517  df-psmet 20735  df-xmet 20736  df-met 20737  df-bl 20738  df-mopn 20739  df-fbas 20740  df-fg 20741  df-cnfld 20744  df-top 22189  df-topon 22206  df-topsp 22228  df-bases 22242  df-cld 22316  df-ntr 22317  df-cls 22318  df-nei 22395  df-lp 22433  df-perf 22434  df-cn 22524  df-cnp 22525  df-haus 22612  df-cmp 22684  df-tx 22859  df-hmeo 23052  df-fil 23143  df-fm 23235  df-flim 23236  df-flf 23237  df-xms 23619  df-ms 23620  df-tms 23621  df-cncf 24187  df-ovol 24774  df-vol 24775  df-mbf 24929  df-itg1 24930  df-itg2 24931  df-ibl 24932  df-itg 24933  df-0p 24980  df-limc 25176  df-dv 25177
This theorem is referenced by:  wallispilem2  44202  wallispilem4  44204  wallispilem5  44205
  Copyright terms: Public domain W3C validator