Theorem wallispilem1 45366

Description: 𝐼 is monotone: increasing the exponent, the integral decreases. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispilem1.1	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
wallispilem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
wallispilem1	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐼‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11232	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3		pire 26367	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5		wallispilem1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		peano2nn0 12528	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
8		iblioosinexp 45254	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1))) ∈ 𝐿1)
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1))) ∈ 𝐿1)
10		iblioosinexp 45254	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
11	2, 4, 5, 10	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
12		elioore 13372	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
13	12	resincld 16105	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
15	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
16	14, 15	reexpcld 14145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
17	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	14, 17	reexpcld 14145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℝ)
19	5	nn0zd 12600	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
20		uzid 12853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
22		peano2uz 12901	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
25	13, 1	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (0 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℝ))
26		sinq12gt0 26416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝑥))
27		ltle 11318	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘𝑥) → 0 ≤ (sin‘𝑥)))
28	25, 26, 27	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ (sin‘𝑥))
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 ≤ (sin‘𝑥))
30		sinbnd 16142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝑥) ∧ (sin‘𝑥) ≤ 1))
31	12, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (-1 ≤ (sin‘𝑥) ∧ (sin‘𝑥) ≤ 1))
32	31	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ≤ 1)
33	32	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ≤ 1)
34	14, 17, 24, 29, 33	leexp2rd 14235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) ≤ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
35	9, 11, 16, 18, 34	itgle 25713	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥 ≤ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
36		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)))
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = (𝑁 + 1) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)))
38	37	itgeq2dv 25685	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥)
39		wallispilem1.1	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
40		itgex 25674	. . . 4 ⊢ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥 ∈ V
41	38, 39, 40	fvmpt 6999	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥)
42	7, 41	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 + 1)) d𝑥)
43		oveq2 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
45	44	itgeq2dv 25685	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
46		itgex 25674	. . . 4 ⊢ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ V
47	45, 39, 46	fvmpt 6999	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐼‘𝑁) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
48	5, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑁) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
49	35, 42, 48	3brtr4d 5174	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11264   ≤ cle 11265  -cneg 11461  ℕ₀cn0 12488  ℤcz 12574  ℤ_≥cuz 12838  (,)cioo 13342  ↑cexp 14044  sincsin 16025  πcpi 16028  𝐿¹cibl 25520  ∫citg 25521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-cmp 23265  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-mbf 25522  df-itg1 25523  df-itg2 25524  df-ibl 25525  df-itg 25526  df-0p 25573  df-limc 25769  df-dv 25770

This theorem is referenced by:  wallispilem5  45370