Theorem sumex 15641

Description: A sum is a set. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sumex	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

Proof of Theorem sumex

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sum 15640	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))))
2		iotaex 6468	. 2 ⊢ (℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚)))) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2833	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  ⦋csb 3838   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ℩cio 6446  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  seqcseq 13954   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-sn 4569  df-pr 4571  df-uni 4852  df-iota 6448  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  fsumrlim  15765  fsumo1  15766  efval  16035  efcvgfsum  16042  eftlub  16067  bitsinv2  16403  bitsinv  16408  lebnumlem3  24940  isi1f  25651  itg1val  25660  itg1climres  25691  itgex  25747  itgfsum  25804  dvmptfsum  25952  plyeq0lem  26185  plyaddlem1  26188  plymullem1  26189  coeeulem  26199  coeid2  26214  plyco  26216  coemullem  26225  coemul  26227  aareccl  26303  aaliou3lem5  26324  aaliou3lem6  26325  aaliou3lem7  26326  taylpval  26343  psercn  26404  pserdvlem2  26406  pserdv  26407  abelthlem6  26414  abelthlem8  26417  abelthlem9  26418  logtayl  26637  leibpi  26919  basellem3  27060  chtval  27087  chpval  27099  sgmval  27119  muinv  27170  dchrvmasumlem1  27472  dchrisum0fval  27482  dchrisum0fno1  27488  dchrisum0lem3  27496  dchrisum0  27497  mulogsum  27509  logsqvma2  27520  selberglem1  27522  pntsval  27549  ecgrtg  29066  esumpcvgval  34238  esumcvg  34246  eulerpartlemsv1  34516  signsplypnf  34710  signsvvfval  34738  vtsval  34797  circlemeth  34800  fwddifnval  36361  knoppndvlem6  36793  binomcxplemnotnn0  44801  stoweidlem11  46457  stoweidlem26  46472  fourierdlem112  46664  fsumlesge0  46823  sge0sn  46825  sge0f1o  46828  sge0supre  46835  sge0resplit  46852  sge0reuz  46893  sge0reuzb  46894  aacllem  50288