Theorem itgulm 25003

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
itgulm.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgulm	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem itgulm

Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		itgulm.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
5	4	ffnd 6488	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
6		itgulm.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
7		ulmf2 24979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8	5, 6, 7	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10		eqidd 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
11		eqidd 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
12	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
13		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
14		itgulm.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
15	14	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
16		ulmcl 24976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17		fdm 6495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝑆⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝑆)
18	6, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑆)
19	1, 2, 4, 6, 14	iblulm 25002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)
20		iblmbf 24371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐿1 → 𝐺 ∈ MblFn)
21		mbfdm 24230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
23	18, 22	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom vol)
24		mblss 24135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ dom vol → 𝑆 ⊆ ℝ)
25		ovolge0 24085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
27		mblvol 24134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ dom vol → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
29	26, 28	breqtrrd 5058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol‘𝑆))
30	29	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (vol‘𝑆))
31	15, 30	ge0p1rpd 12449	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
32	13, 31	rpdivcld 12436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
33	1, 3, 9, 10, 11, 12, 32	ulmi 24981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
34	1	uztrn2 12250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
35	8	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
36		elmapi 8411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ)
38	37	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
39	38	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
40	39	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
41	37	feqmptd 6708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)))
42	4	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐿1)
43	41, 42	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
44	43	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
45	6, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
46	45	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
47	46	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
48	45	feqmptd 6708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)))
49	48, 19	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
51	40, 44, 47, 50	itgsub 24429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥 = (∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥))
52	51	fveq2d 6649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) = (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)))
53	40, 47	subcld 10986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
54	40, 44, 47, 50	iblsub 24425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
55	53, 54	itgcl 24387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
56	55	abscld 14788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
57	53	abscld 14788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
58	53, 54	iblabs 24432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) ∈ 𝐿1)
59	57, 58	itgrecl 24401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
60		rpre 12385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	60	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62	53, 54	itgabs 24438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) ≤ ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥)
63	32	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
64	63	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
65	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
66	64, 65	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
67		fconstmpt 5578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
68	23	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑆 ∈ dom vol)
69	63	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ)
70		iblconst 24421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
71	68, 65, 69, 70	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
72	67, 71	eqeltrrid 2895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))) ∈ 𝐿1)
73	64	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
74		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
75		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
76		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
77	75, 76	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
78	77	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
79	78	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))))
80	79	rspccva 3570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
81	74, 80	sylan 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
82	57, 73, 81	ltled 10777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
83	58, 72, 57, 73, 82	itgle 24413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ≤ ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥)
84		itgconst 24422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
85	68, 65, 69, 84	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
86	83, 85	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ≤ ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
87	61	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
88	65	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℂ)
89	31	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
90	89	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℂ)
91	89	rpne0d 12424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ≠ 0)
92	87, 88, 90, 91	div23d 11442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
93	65	ltp1d 11559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1))
94		peano2re 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((vol‘𝑆) ∈ ℝ → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
95	65, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
96		rpgt0 12389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
97	96	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 0 < 𝑟)
98		ltmul2 11480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟)) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
99	65, 95, 61, 97, 98	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
100	93, 99	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1)))
101	61, 65	remulcld 10660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
102	101, 61, 89	ltdivmul2d 12471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟 ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
103	100, 102	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟)
104	92, 103	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) < 𝑟)
105	59, 66, 61, 86, 104	lelttrd 10787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 < 𝑟)
106	56, 59, 61, 62, 105	lelttrd 10787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) < 𝑟)
107	52, 106	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
108	107	expr 460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
109	34, 108	sylan2 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
110	109	anassrs 471	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
111	110	ralimdva 3144	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
112	111	reximdva 3233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
113	33, 112	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
114	113	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
115	1	fvexi 6659	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
116	115	mptex 6963	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V
117	116	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V)
118		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
119	118	fveq1d 6647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
120	119	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
121	120	itgeq2dv 24385	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
122		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
123		itgex 24374	. . . . 5 ⊢ ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ V
124	121, 122, 123	fvmpt 6745	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
125	124	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
126	46, 49	itgcl 24387	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
127	38, 43	itgcl 24387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
128	1, 2, 117, 125, 126, 127	clim2c 14854	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
129	114, 128	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  dom cdm 5519   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ℝ⁺crp 12377  abscabs 14585   ⇝ cli 14833  vol*covol 24066  volcvol 24067  MblFncmbf 24218  𝐿¹cibl 24221  ∫citg 24222  ⇝_𝑢culm 24971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-itg2 24225  df-ibl 24226  df-itg 24227  df-0p 24274  df-ulm 24972

This theorem is referenced by:  itgulm2  25004