MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgulm 25673
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
itgulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
itgulm.s (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itgulm (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem itgulm
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 itgulm.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 itgulm.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
54ffnd 6657 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
6 itgulm.u . . . . . . 7 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
7 ulmf2 25649 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
98adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑛)‘𝑧) = ((𝐹𝑛)‘𝑧))
11 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
126adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
13 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
14 itgulm.s . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
1514adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
16 ulmcl 25646 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
17 fdm 6665 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑆⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝑆)
186, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑆)
191, 2, 4, 6, 14iblulm 25672 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
20 iblmbf 25038 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ 𝐿1𝐺 ∈ MblFn)
21 mbfdm 24896 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
2318, 22eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ dom vol)
24 mblss 24801 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ dom vol → 𝑆 ⊆ ℝ)
25 ovolge0 24751 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
27 mblvol 24800 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ dom vol → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
2823, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
2926, 28breqtrrd 5125 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (vol‘𝑆))
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (vol‘𝑆))
3115, 30ge0p1rpd 12908 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
3213, 31rpdivcld 12895 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
331, 3, 9, 10, 11, 12, 32ulmi 25651 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
341uztrn2 12707 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
358ffvelcdmda 7022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
36 elmapi 8713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
3837ffvelcdmda 7022 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
3938adantllr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
4039adantlrr 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
4137feqmptd 6898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)))
424ffvelcdmda 7022 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ 𝐿1)
4341, 42eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
4443ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
456, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
4645ffvelcdmda 7022 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
4746ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
4845feqmptd 6898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (𝐺𝑥)))
4948, 19eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝑆 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐿1)
5049ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥𝑆 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐿1)
5140, 44, 47, 50itgsub 25096 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥 = (∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥))
5251fveq2d 6834 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥) = (abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)))
5340, 47subcld 11438 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
5440, 44, 47, 50iblsub 25092 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥𝑆 ↦ (((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ 𝐿1)
5553, 54itgcl 25054 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
5655abscld 15248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
5753abscld 15248 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
5853, 54iblabs 25099 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥𝑆 ↦ (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))) ∈ 𝐿1)
5957, 58itgrecl 25068 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
60 rpre 12844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
6160ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
6253, 54itgabs 25105 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥) ≤ ∫𝑆(abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) d𝑥)
6332adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
6463rpred 12878 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
6514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
6664, 65remulcld 11111 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
67 fconstmpt 5685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
6823ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑆 ∈ dom vol)
6963rpcnd 12880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ)
70 iblconst 25088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
7168, 65, 69, 70syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
7267, 71eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))) ∈ 𝐿1)
7364adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
74 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
75 fveq2 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹𝑛)‘𝑧) = ((𝐹𝑛)‘𝑥))
76 fveq2 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
7775, 76oveq12d 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
7877fveq2d 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
7978breq1d 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ↔ (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))))
8079rspccva 3573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
8174, 80sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
8257, 73, 81ltled 11229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
8358, 72, 57, 73, 82itgle 25080 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) d𝑥 ≤ ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥)
84 itgconst 25089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
8568, 65, 69, 84syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
8683, 85breqtrd 5123 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) d𝑥 ≤ ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
8761recnd 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
8865recnd 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℂ)
8931adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
9089rpcnd 12880 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℂ)
9189rpne0d 12883 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ≠ 0)
9287, 88, 90, 91div23d 11894 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
9365ltp1d 12011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1))
94 peano2re 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((vol‘𝑆) ∈ ℝ → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
9565, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
96 rpgt0 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
9796ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 0 < 𝑟)
98 ltmul2 11932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟)) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
9965, 95, 61, 97, 98syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
10093, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1)))
10161, 65remulcld 11111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
102101, 61, 89ltdivmul2d 12930 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟 ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
103100, 102mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟)
10492, 103eqbrtrrd 5121 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) < 𝑟)
10559, 66, 61, 86, 104lelttrd 11239 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) d𝑥 < 𝑟)
10656, 59, 61, 62, 105lelttrd 11239 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥) < 𝑟)
10752, 106eqbrtrrd 5121 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
108107expr 458 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
10934, 108sylan2 594 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
110109anassrs 469 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
111110ralimdva 3161 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
112111reximdva 3162 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
11333, 112mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
114113ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
1151fvexi 6844 . . . . 5 𝑍 ∈ V
116115mptex 7160 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V
117116a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V)
118 fveq2 6830 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
119118fveq1d 6832 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑥))
120119adantr 482 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑛𝑥𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑥))
121120itgeq2dv 25052 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥)
122 eqid 2737 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥)
123 itgex 25041 . . . . 5 𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ V
124121, 122, 123fvmpt 6936 . . . 4 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥)
125124adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥)
12646, 49itgcl 25054 . . 3 (𝜑 → ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
12738, 43itgcl 25054 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → ∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
1281, 2, 117, 125, 126, 127clim2c 15314 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
129114, 128mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3442  wss 3902  {csn 4578   class class class wbr 5097  cmpt 5180   × cxp 5623  dom cdm 5625   Fn wfn 6479  wf 6480  cfv 6484  (class class class)co 7342  m cmap 8691  cc 10975  cr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   · cmul 10982   < clt 11115  cle 11116  cmin 11311   / cdiv 11738  cz 12425  cuz 12688  +crp 12836  abscabs 15045  cli 15293  vol*covol 24732  volcvol 24733  MblFncmbf 24884  𝐿1cibl 24887  citg 24888  𝑢culm 25641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cc 10297  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5063  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-ofr 7601  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-omul 8377  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-dju 9763  df-card 9801  df-acn 9804  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-ioo 13189  df-ioc 13190  df-ico 13191  df-icc 13192  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-mod 13696  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-limsup 15280  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-cmp 22644  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-ovol 24734  df-vol 24735  df-mbf 24889  df-itg1 24890  df-itg2 24891  df-ibl 24892  df-itg 24893  df-0p 24940  df-ulm 25642
This theorem is referenced by:  itgulm2  25674
  Copyright terms: Public domain W3C validator