MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgulm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgulm 26452
Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
itgulm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
itgulm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
itgulm.s (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itgulm (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem itgulm
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgulm.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 itgulm.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 itgulm.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑍⟶𝐿1)
54ffnd 6736 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
6 itgulm.u . . . . . . 7 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
7 ulmf2 26428 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝑍𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10 eqidd 2737 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑛)‘𝑧) = ((𝐹𝑛)‘𝑧))
11 eqidd 2737 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
126adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
13 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
14 itgulm.s . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
16 ulmcl 26425 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
17 fdm 6744 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑆⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝑆)
186, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑆)
191, 2, 4, 6, 14iblulm 26451 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
20 iblmbf 25803 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ 𝐿1𝐺 ∈ MblFn)
21 mbfdm 25662 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
2318, 22eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ dom vol)
24 mblss 25567 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ dom vol → 𝑆 ⊆ ℝ)
25 ovolge0 25517 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
27 mblvol 25566 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ dom vol → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
2823, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
2926, 28breqtrrd 5170 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (vol‘𝑆))
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (vol‘𝑆))
3115, 30ge0p1rpd 13108 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
3213, 31rpdivcld 13095 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
331, 3, 9, 10, 11, 12, 32ulmi 26430 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
341uztrn2 12898 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝑍)
358ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
36 elmapi 8890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
3837ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
3938adantllr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
4039adantlrr 721 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝐹𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
4137feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)))
424ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ 𝐿1)
4341, 42eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
4443ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
456, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
4645ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
4746ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
4845feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (𝐺𝑥)))
4948, 19eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝑆 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐿1)
5049ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥𝑆 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐿1)
5140, 44, 47, 50itgsub 25862 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥 = (∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥))
5251fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥) = (abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)))
5340, 47subcld 11621 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
5440, 44, 47, 50iblsub 25858 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥𝑆 ↦ (((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ 𝐿1)
5553, 54itgcl 25820 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
5655abscld 15476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
5753abscld 15476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
5853, 54iblabs 25865 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥𝑆 ↦ (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))) ∈ 𝐿1)
5957, 58itgrecl 25834 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
60 rpre 13044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
6160ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
6253, 54itgabs 25871 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥) ≤ ∫𝑆(abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) d𝑥)
6332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
6463rpred 13078 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
6514ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
6664, 65remulcld 11292 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
67 fconstmpt 5746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
6823ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑆 ∈ dom vol)
6963rpcnd 13080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ)
70 iblconst 25854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
7168, 65, 69, 70syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
7267, 71eqeltrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))) ∈ 𝐿1)
7364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
74 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
75 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹𝑛)‘𝑧) = ((𝐹𝑛)‘𝑥))
76 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑥))
7775, 76oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)))
7877fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))))
7978breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ↔ (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))))
8079rspccva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
8174, 80sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
8257, 73, 81ltled 11410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) ≤ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
8358, 72, 57, 73, 82itgle 25846 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) d𝑥 ≤ ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥)
84 itgconst 25855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
8568, 65, 69, 84syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
8683, 85breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) d𝑥 ≤ ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
8761recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
8865recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℂ)
8931adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
9089rpcnd 13080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℂ)
9189rpne0d 13083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ≠ 0)
9287, 88, 90, 91div23d 12081 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
9365ltp1d 12199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1))
94 peano2re 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((vol‘𝑆) ∈ ℝ → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
9565, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
96 rpgt0 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
9796ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 0 < 𝑟)
98 ltmul2 12119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟)) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
9965, 95, 61, 97, 98syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
10093, 99mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1)))
10161, 65remulcld 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
102101, 61, 89ltdivmul2d 13130 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟 ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
103100, 102mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟)
10492, 103eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) < 𝑟)
10559, 66, 61, 86, 104lelttrd 11420 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥))) d𝑥 < 𝑟)
10656, 59, 61, 62, 105lelttrd 11420 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹𝑛)‘𝑥) − (𝐺𝑥)) d𝑥) < 𝑟)
10752, 106eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛𝑍 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
108107expr 456 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
10934, 108sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
110109anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
111110ralimdva 3166 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
112111reximdva 3167 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑛)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
11333, 112mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
114113ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
1151fvexi 6919 . . . . 5 𝑍 ∈ V
116115mptex 7244 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V
117116a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V)
118 fveq2 6905 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
119118fveq1d 6907 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑥))
120119adantr 480 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑛𝑥𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑥))
121120itgeq2dv 25818 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥)
122 eqid 2736 . . . . 5 (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥)
123 itgex 25806 . . . . 5 𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ V
124121, 122, 123fvmpt 7015 . . . 4 (𝑛𝑍 → ((𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥)
125124adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥)
12646, 49itgcl 25820 . . 3 (𝜑 → ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
12738, 43itgcl 25820 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → ∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
1281, 2, 117, 125, 126, 127clim2c 15542 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
129114, 128mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224   × cxp 5682  dom cdm 5684   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cz 12615  cuz 12879  +crp 13035  abscabs 15274  cli 15521  vol*covol 25498  volcvol 25499  MblFncmbf 25650  𝐿1cibl 25653  citg 25654  𝑢culm 26420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656  df-itg2 25657  df-ibl 25658  df-itg 25659  df-0p 25706  df-ulm 26421
This theorem is referenced by:  itgulm2  26453
  Copyright terms: Public domain W3C validator