Theorem itgulm 25472

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
itgulm.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgulm	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem itgulm

Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		itgulm.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
5	4	ffnd 6585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
6		itgulm.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
7		ulmf2 25448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8	5, 6, 7	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
11		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
12	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
14		itgulm.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
16		ulmcl 25445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17		fdm 6593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝑆⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝑆)
18	6, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑆)
19	1, 2, 4, 6, 14	iblulm 25471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)
20		iblmbf 24837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐿1 → 𝐺 ∈ MblFn)
21		mbfdm 24695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
23	18, 22	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom vol)
24		mblss 24600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ dom vol → 𝑆 ⊆ ℝ)
25		ovolge0 24550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
27		mblvol 24599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ dom vol → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
29	26, 28	breqtrrd 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol‘𝑆))
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (vol‘𝑆))
31	15, 30	ge0p1rpd 12731	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
32	13, 31	rpdivcld 12718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
33	1, 3, 9, 10, 11, 12, 32	ulmi 25450	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
34	1	uztrn2 12530	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
35	8	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
36		elmapi 8595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ)
38	37	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
39	38	adantllr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
40	39	adantlrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
41	37	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)))
42	4	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐿1)
43	41, 42	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
44	43	ad2ant2r 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
45	6, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
46	45	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
47	46	ad4ant14 748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
48	45	feqmptd 6819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)))
49	48, 19	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
50	49	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
51	40, 44, 47, 50	itgsub 24895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥 = (∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥))
52	51	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) = (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)))
53	40, 47	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
54	40, 44, 47, 50	iblsub 24891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
55	53, 54	itgcl 24853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
56	55	abscld 15076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
57	53	abscld 15076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
58	53, 54	iblabs 24898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) ∈ 𝐿1)
59	57, 58	itgrecl 24867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
60		rpre 12667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	60	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62	53, 54	itgabs 24904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) ≤ ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥)
63	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
64	63	rpred 12701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
65	14	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
66	64, 65	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
67		fconstmpt 5640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
68	23	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑆 ∈ dom vol)
69	63	rpcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ)
70		iblconst 24887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
71	68, 65, 69, 70	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
72	67, 71	eqeltrrid 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))) ∈ 𝐿1)
73	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
74		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
75		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
76		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
77	75, 76	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
78	77	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
79	78	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))))
80	79	rspccva 3551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
81	74, 80	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
82	57, 73, 81	ltled 11053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
83	58, 72, 57, 73, 82	itgle 24879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ≤ ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥)
84		itgconst 24888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
85	68, 65, 69, 84	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
86	83, 85	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ≤ ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
87	61	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
88	65	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℂ)
89	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
90	89	rpcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℂ)
91	89	rpne0d 12706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ≠ 0)
92	87, 88, 90, 91	div23d 11718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
93	65	ltp1d 11835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1))
94		peano2re 11078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((vol‘𝑆) ∈ ℝ → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
95	65, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
96		rpgt0 12671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
97	96	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 0 < 𝑟)
98		ltmul2 11756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟)) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
99	65, 95, 61, 97, 98	syl112anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
100	93, 99	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1)))
101	61, 65	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
102	101, 61, 89	ltdivmul2d 12753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟 ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
103	100, 102	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟)
104	92, 103	eqbrtrrd 5094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) < 𝑟)
105	59, 66, 61, 86, 104	lelttrd 11063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 < 𝑟)
106	56, 59, 61, 62, 105	lelttrd 11063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) < 𝑟)
107	52, 106	eqbrtrrd 5094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
108	107	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
109	34, 108	sylan2 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
110	109	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
111	110	ralimdva 3102	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
112	111	reximdva 3202	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
113	33, 112	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
114	113	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
115	1	fvexi 6770	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
116	115	mptex 7081	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V
117	116	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V)
118		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
119	118	fveq1d 6758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
120	119	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
121	120	itgeq2dv 24851	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
122		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
123		itgex 24840	. . . . 5 ⊢ ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ V
124	121, 122, 123	fvmpt 6857	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
125	124	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
126	46, 49	itgcl 24853	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
127	38, 43	itgcl 24853	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
128	1, 2, 117, 125, 126, 127	clim2c 15142	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
129	114, 128	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  dom cdm 5580   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  abscabs 14873   ⇝ cli 15121  vol*covol 24531  volcvol 24532  MblFncmbf 24683  𝐿¹cibl 24686  ∫citg 24687  ⇝_𝑢culm 25440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-itg 24692  df-0p 24739  df-ulm 25441

This theorem is referenced by:  itgulm2  25473