Theorem itgulm 26333

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
itgulm.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgulm	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem itgulm

Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		itgulm.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
5	4	ffnd 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
6		itgulm.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
7		ulmf2 26309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
11		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
12	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
14		itgulm.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
16		ulmcl 26306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17		fdm 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝑆⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝑆)
18	6, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑆)
19	1, 2, 4, 6, 14	iblulm 26332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)
20		iblmbf 25684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐿1 → 𝐺 ∈ MblFn)
21		mbfdm 25543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
23	18, 22	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom vol)
24		mblss 25448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ dom vol → 𝑆 ⊆ ℝ)
25		ovolge0 25398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
27		mblvol 25447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ dom vol → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
29	26, 28	breqtrrd 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol‘𝑆))
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (vol‘𝑆))
31	15, 30	ge0p1rpd 12985	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
32	13, 31	rpdivcld 12972	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
33	1, 3, 9, 10, 11, 12, 32	ulmi 26311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
34	1	uztrn2 12772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
35	8	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
36		elmapi 8783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ)
38	37	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
39	38	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
40	39	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
41	37	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)))
42	4	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐿1)
43	41, 42	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
44	43	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
45	6, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
46	45	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
47	46	ad4ant14 752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
48	45	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)))
49	48, 19	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
51	40, 44, 47, 50	itgsub 25743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥 = (∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥))
52	51	fveq2d 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) = (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)))
53	40, 47	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
54	40, 44, 47, 50	iblsub 25739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
55	53, 54	itgcl 25701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
56	55	abscld 15364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
57	53	abscld 15364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
58	53, 54	iblabs 25746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) ∈ 𝐿1)
59	57, 58	itgrecl 25715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
60		rpre 12920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	60	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62	53, 54	itgabs 25752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) ≤ ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥)
63	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
64	63	rpred 12955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
65	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
66	64, 65	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
67		fconstmpt 5685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
68	23	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑆 ∈ dom vol)
69	63	rpcnd 12957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ)
70		iblconst 25735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
71	68, 65, 69, 70	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
72	67, 71	eqeltrrid 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))) ∈ 𝐿1)
73	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
74		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
75		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
76		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
77	75, 76	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
78	77	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
79	78	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))))
80	79	rspccva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
81	74, 80	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
82	57, 73, 81	ltled 11282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
83	58, 72, 57, 73, 82	itgle 25727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ≤ ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥)
84		itgconst 25736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
85	68, 65, 69, 84	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
86	83, 85	breqtrd 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ≤ ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
87	61	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
88	65	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℂ)
89	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
90	89	rpcnd 12957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℂ)
91	89	rpne0d 12960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ≠ 0)
92	87, 88, 90, 91	div23d 11955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
93	65	ltp1d 12073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1))
94		peano2re 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((vol‘𝑆) ∈ ℝ → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
95	65, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
96		rpgt0 12924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
97	96	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 0 < 𝑟)
98		ltmul2 11993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟)) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
99	65, 95, 61, 97, 98	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
100	93, 99	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1)))
101	61, 65	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
102	101, 61, 89	ltdivmul2d 13007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟 ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
103	100, 102	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟)
104	92, 103	eqbrtrrd 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) < 𝑟)
105	59, 66, 61, 86, 104	lelttrd 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 < 𝑟)
106	56, 59, 61, 62, 105	lelttrd 11292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) < 𝑟)
107	52, 106	eqbrtrrd 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
108	107	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
109	34, 108	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
110	109	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
111	110	ralimdva 3141	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
112	111	reximdva 3142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
113	33, 112	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
114	113	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
115	1	fvexi 6840	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
116	115	mptex 7163	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V
117	116	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V)
118		fveq2 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
119	118	fveq1d 6828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
120	119	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
121	120	itgeq2dv 25699	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
122		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
123		itgex 25687	. . . . 5 ⊢ ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ V
124	121, 122, 123	fvmpt 6934	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
125	124	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
126	46, 49	itgcl 25701	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
127	38, 43	itgcl 25701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
128	1, 2, 117, 125, 126, 127	clim2c 15430	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
129	114, 128	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  dom cdm 5623   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ℝ⁺crp 12911  abscabs 15159   ⇝ cli 15409  vol*covol 25379  volcvol 25380  MblFncmbf 25531  𝐿¹cibl 25534  ∫citg 25535  ⇝_𝑢culm 26301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538  df-ibl 25539  df-itg 25540  df-0p 25587  df-ulm 26302

This theorem is referenced by:  itgulm2  26334