Theorem itgulm 26547

Description: A uniform limit of integrals of integrable functions converges to the integral of the limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgulm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
itgulm.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
itgulm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
itgulm.u	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
itgulm.s	⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgulm	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑍,𝑥

Proof of Theorem itgulm

Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgulm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		itgulm.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		itgulm.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝐿1)
5	4	ffnd 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑍)
6		itgulm.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
7		ulmf2 26523	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8	5, 6, 7	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
10		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))
11		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑧))
12	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺)
13		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
14		itgulm.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
15	14	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
16		ulmcl 26520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
17		fdm 6715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝑆⟶ℂ → dom 𝐺 = 𝑆)
18	6, 16, 17	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑆)
19	1, 2, 4, 6, 14	iblulm 26546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐿1)
20		iblmbf 25905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐿1 → 𝐺 ∈ MblFn)
21		mbfdm 25764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
22	19, 20, 21	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
23	18, 22	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom vol)
24		mblss 25669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ dom vol → 𝑆 ⊆ ℝ)
25		ovolge0 25619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
26	23, 24, 25	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘𝑆))
27		mblvol 25668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ dom vol → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
28	23, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (vol‘𝑆) = (vol*‘𝑆))
29	26, 28	breqtrrd 5138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (vol‘𝑆))
30	29	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (vol‘𝑆))
31	15, 30	ge0p1rpd 13089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
32	13, 31	rpdivcld 13076	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
33	1, 3, 9, 10, 11, 12, 32	ulmi 26525	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
34	1	uztrn2 12880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
35	8	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
36		elmapi 8845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ)
38	37	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
39	38	adantllr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
40	39	adantlrr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
41	37	feqmptd 6949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)))
42	4	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝐿1)
43	41, 42	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
44	43	ad2ant2r 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
45	6, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
46	45	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
47	46	ad4ant14 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
48	45	feqmptd 6949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)))
49	48, 19	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
50	49	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
51	40, 44, 47, 50	itgsub 25964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥 = (∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥))
52	51	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) = (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)))
53	40, 47	subcld 11568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
54	40, 44, 47, 50	iblsub 25960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
55	53, 54	itgcl 25922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
56	55	abscld 15490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
57	53	abscld 15490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ∈ ℝ)
58	53, 54	iblabs 25967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) ∈ 𝐿1)
59	57, 58	itgrecl 25936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
60		rpre 13024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
61	60	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62	53, 54	itgabs 25973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) ≤ ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥)
63	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ+)
64	63	rpred 13059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
65	14	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℝ)
66	64, 65	remulcld 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
67		fconstmpt 5723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
68	23	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑆 ∈ dom vol)
69	63	rpcnd 13061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ)
70		iblconst 25956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
71	68, 65, 69, 70	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑆 × {(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))}) ∈ 𝐿1)
72	67, 71	eqeltrrid 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))) ∈ 𝐿1)
73	64	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℝ)
74		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
75		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
76		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑥))
77	75, 76	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
78	77	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
79	78	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1))))
80	79	rspccva 3579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
81	74, 80	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
82	57, 73, 81	ltled 11357	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) ≤ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))
83	58, 72, 57, 73, 82	itgle 25948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ≤ ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥)
84		itgconst 25957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) ∈ ℂ) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
85	68, 65, 69, 84	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) d𝑥 = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
86	83, 85	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 ≤ ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
87	61	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 𝑟 ∈ ℂ)
88	65	recnd 11236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) ∈ ℂ)
89	31	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ+)
90	89	rpcnd 13061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℂ)
91	89	rpne0d 13064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ≠ 0)
92	87, 88, 90, 91	div23d 12027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) = ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)))
93	65	ltp1d 12144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1))
94		peano2re 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((vol‘𝑆) ∈ ℝ → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
95	65, 94	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ)
96		rpgt0 13028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
97	96	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → 0 < 𝑟)
98		ltmul2 12065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((vol‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((vol‘𝑆) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟)) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
99	65, 95, 61, 97, 98	syl112anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((vol‘𝑆) < ((vol‘𝑆) + 1) ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
100	93, 99	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1)))
101	61, 65	remulcld 11238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (𝑟 · (vol‘𝑆)) ∈ ℝ)
102	101, 61, 89	ltdivmul2d 13111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟 ↔ (𝑟 · (vol‘𝑆)) < (𝑟 · ((vol‘𝑆) + 1))))
103	100, 102	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 · (vol‘𝑆)) / ((vol‘𝑆) + 1)) < 𝑟)
104	92, 103	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ((𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) · (vol‘𝑆)) < 𝑟)
105	59, 66, 61, 86, 104	lelttrd 11367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → ∫𝑆(abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) d𝑥 < 𝑟)
106	56, 59, 61, 62, 105	lelttrd 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘∫𝑆(((𝐹‘𝑛)‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) d𝑥) < 𝑟)
107	52, 106	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)))) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
108	107	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
109	34, 108	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
110	109	anassrs 472	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → (abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
111	110	ralimdva 3175	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
112	111	reximdva 3176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((𝐹‘𝑛)‘𝑧) − (𝐺‘𝑧))) < (𝑟 / ((vol‘𝑆) + 1)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
113	33, 112	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
114	113	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟)
115	1	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
116	115	mptex 7221	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V
117	116	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ∈ V)
118		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
119	118	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
120	119	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑛)‘𝑥))
121	120	itgeq2dv 25920	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
122		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)
123		itgex 25908	. . . . 5 ⊢ ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ V
124	121, 122, 123	fvmpt 6989	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
125	124	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥)‘𝑛) = ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥)
126	46, 49	itgcl 25922	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
127	38, 43	itgcl 25922	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 ∈ ℂ)
128	1, 2, 117, 125, 126, 127	clim2c 15556	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥 ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(∫𝑆((𝐹‘𝑛)‘𝑥) d𝑥 − ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)) < 𝑟))
129	114, 128	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ ∫𝑆((𝐹‘𝑘)‘𝑥) d𝑥) ⇝ ∫𝑆(𝐺‘𝑥) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659  dom cdm 5661   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8823  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ℝ⁺crp 13015  abscabs 15285   ⇝ cli 15535  vol*covol 25600  volcvol 25601  MblFncmbf 25752  𝐿¹cibl 25755  ∫citg 25756  ⇝_𝑢culm 26515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-cmp 23523  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-ovol 25602  df-vol 25603  df-mbf 25757  df-itg1 25758  df-itg2 25759  df-ibl 25760  df-itg 25761  df-0p 25808  df-ulm 26516

This theorem is referenced by:  itgulm2  26548