MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem1 25998
Description: Lemma for ftc1a 26000 and ftc1 26005. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
ftc1lem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
ftc1lem1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝐷   𝑑,𝐴,π‘₯   𝑑,𝐡,π‘₯   𝑑,𝑋,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯   𝑑,π‘Œ,π‘₯   𝑑,𝐹,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem ftc1lem1
StepHypRef Expression
1 ftc1lem1.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
2 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)π‘Œ))
3 itgeq1 25730 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)π‘Œ) β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘Œ β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
5 ftc1.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
6 itgex 25728 . . . . . . 7 ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ V
74, 5, 6fvmpt 7010 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
81, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
98adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
10 ftc1.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
12 ftc1.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 iccssre 13448 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1410, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1514, 1sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
1615adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
17 ftc1lem1.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
1814, 17sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1918adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
20 elicc2 13431 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
2110, 12, 20syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡))
2322simp2d 1140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑋)
2423adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐴 ≀ 𝑋)
25 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
26 elicc2 13431 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
2710, 15, 26syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
2827adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
2919, 24, 25, 28mpbir3and 1339 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ))
3012rexrd 11304 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
31 elicc2 13431 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
3210, 12, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
331, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡))
3433simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝐡)
35 iooss2 13402 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
3630, 34, 35syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
37 ftc1.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
3836, 37sstrd 3992 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† 𝐷)
3938adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† 𝐷)
4039sselda 3982 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)π‘Œ)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
41 ftc1a.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
4241ffvelcdmda 7099 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
4342adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
4440, 43syldan 589 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
4522simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
46 iooss2 13402 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)𝑋) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4730, 45, 46syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝑋) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4847, 37sstrd 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝑋) βŠ† 𝐷)
49 ioombl 25522 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
5049a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51 fvexd 6917 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V)
5241feqmptd 6972 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
53 ftc1.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
5452, 53eqeltrrd 2830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
5548, 50, 51, 54iblss 25762 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
5655adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
5710rexrd 11304 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
58 iooss1 13401 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
5957, 23, 58syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
6059, 36sstrd 3992 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
6160, 37sstrd 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† 𝐷)
62 ioombl 25522 . . . . . . . 8 (𝑋(,)π‘Œ) ∈ dom vol
6362a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) ∈ dom vol)
6461, 63, 51, 54iblss 25762 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6564adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6611, 16, 29, 44, 56, 65itgsplitioo 25795 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = (∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑))
679, 66eqtrd 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = (∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑))
68 oveq2 7434 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)𝑋))
69 itgeq1 25730 . . . . . . 7 ((𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)𝑋) β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7068, 69syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
71 itgex 25728 . . . . . 6 ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ V
7270, 5, 71fvmpt 7010 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7317, 72syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7473adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7567, 74oveq12d 7444 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) βˆ’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑))
76 fvexd 6917 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V)
7776, 55itgcl 25741 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ β„‚)
7861sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
7978, 42syldan 589 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8079, 64itgcl 25741 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ β„‚)
8177, 80pncan2d 11613 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) βˆ’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
8281adantr 479 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) βˆ’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
8375, 82eqtrd 2768 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147   + caddc 11151  β„*cxr 11287   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  (,)cioo 13366  [,]cicc 13369  volcvol 25420  πΏ1cibl 25574  βˆ«citg 25575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4245  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-rest 17413  df-topgen 17434  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-cmp 23319  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577  df-itg2 25578  df-ibl 25579  df-itg 25580  df-0p 25627
This theorem is referenced by:  ftc1a  26000  ftc1lem4  26002  ftc1cnnclem  37205
  Copyright terms: Public domain W3C validator