Theorem ftc1lem1 24886

Description: Lemma for ftc1a 24888 and ftc1 24893. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
ftc1lem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1lem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1lem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2		oveq2 7199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌))
3		itgeq1 24624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
5		ftc1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
6		itgex 24622	. . . . . . 7 ⊢ ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6796	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
10		ftc1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		ftc1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		iccssre 12982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	14, 1	sseldd 3888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
17		ftc1lem1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	14, 17	sseldd 3888	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19	18	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
20		elicc2 12965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
21	10, 12, 20	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
22	17, 21	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
23	22	simp2d 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
24	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐴 ≤ 𝑋)
25		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
26		elicc2 12965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
27	10, 15, 26	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
28	27	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
29	19, 24, 25, 28	mpbir3and 1344	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌))
30	12	rexrd 10848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		elicc2 12965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
32	10, 12, 31	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
33	1, 32	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))
34	33	simp3d 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
35		iooss2 12936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
36	30, 34, 35	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
37		ftc1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
38	36, 37	sstrd 3897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
39	38	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
40	39	sselda 3887	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
41		ftc1a.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
42	41	ffvelrnda 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
43	42	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
44	40, 43	syldan 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
45	22	simp3d 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
46		iooss2 12936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
47	30, 45, 46	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
48	47, 37	sstrd 3897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
49		ioombl 24416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51		fvexd 6710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
52	41	feqmptd 6758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
53		ftc1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
54	52, 53	eqeltrrd 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
55	48, 50, 51, 54	iblss 24656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
56	55	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
57	10	rexrd 10848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
58		iooss1 12935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
59	57, 23, 58	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
60	59, 36	sstrd 3897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
61	60, 37	sstrd 3897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
62		ioombl 24416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
64	61, 63, 51, 54	iblss 24656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
65	64	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
66	11, 16, 29, 44, 56, 65	itgsplitioo 24689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
67	9, 66	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑌) = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
68		oveq2 7199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋))
69		itgeq1 24624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
70	68, 69	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
71		itgex 24622	. . . . . 6 ⊢ ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ V
72	70, 5, 71	fvmpt 6796	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
73	17, 72	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
74	73	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
75	67, 74	oveq12d 7209	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
76		fvexd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
77	76, 55	itgcl 24635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
78	61	sselda 3887	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
79	78, 42	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
80	79, 64	itgcl 24635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
81	77, 80	pncan2d 11156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
82	81	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
83	75, 82	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   ⊆ wss 3853   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5120  dom cdm 5536  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  ℝcr 10693   + caddc 10697  ℝ^*cxr 10831   ≤ cle 10833   − cmin 11027  (,)cioo 12900  [,]cicc 12903  volcvol 24314  𝐿¹cibl 24468  ∫citg 24469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-symdif 4143  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-disj 5005  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-ofr 7448  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-dju 9482  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-ico 12906  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-mod 13408  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-rest 16881  df-topgen 16902  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-top 21745  df-topon 21762  df-bases 21797  df-cmp 22238  df-ovol 24315  df-vol 24316  df-mbf 24470  df-itg1 24471  df-itg2 24472  df-ibl 24473  df-itg 24474  df-0p 24521

This theorem is referenced by:  ftc1a  24888  ftc1lem4  24890  ftc1cnnclem  35534