Theorem ftc1lem1 26194

Description: Lemma for ftc1a 26196 and ftc1 26201. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
ftc1lem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1lem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1lem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌))
3		itgeq1 25932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
5		ftc1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
6		itgex 25929	. . . . . . 7 ⊢ ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
10		ftc1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		ftc1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		iccssre 13451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	14, 1	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
17		ftc1lem1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	14, 17	sseldd 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
20		elicc2 13433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
21	10, 12, 20	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
22	17, 21	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
23	22	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
24	23	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐴 ≤ 𝑋)
25		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
26		elicc2 13433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
27	10, 15, 26	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
28	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
29	19, 24, 25, 28	mpbir3and 1361	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌))
30	12	rexrd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		elicc2 13433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
32	10, 12, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
33	1, 32	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))
34	33	simp3d 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
35		iooss2 13403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
36	30, 34, 35	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
37		ftc1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
38	36, 37	sstrd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
39	38	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
40	39	sselda 3937	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
41		ftc1a.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
42	41	ffvelcdmda 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
43	42	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
44	40, 43	syldan 602	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
45	22	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
46		iooss2 13403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
47	30, 45, 46	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
48	47, 37	sstrd 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
49		ioombl 25724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51		fvexd 6896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
52	41	feqmptd 6949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
53		ftc1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
54	52, 53	eqeltrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
55	48, 50, 51, 54	iblss 25964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
56	55	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
57	10	rexrd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
58		iooss1 13402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
59	57, 23, 58	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
60	59, 36	sstrd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
61	60, 37	sstrd 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
62		ioombl 25724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
64	61, 63, 51, 54	iblss 25964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
65	64	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
66	11, 16, 29, 44, 56, 65	itgsplitioo 25997	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
67	9, 66	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑌) = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
68		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋))
69		itgeq1 25932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
70	68, 69	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
71		itgex 25929	. . . . . 6 ⊢ ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ V
72	70, 5, 71	fvmpt 6989	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
73	17, 72	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
74	73	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
75	67, 74	oveq12d 7428	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
76		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
77	76, 55	itgcl 25943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
78	61	sselda 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
79	78, 42	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
80	79, 64	itgcl 25943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
81	77, 80	pncan2d 11566	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
82	81	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
83	75, 82	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094   + caddc 11098  ℝ^*cxr 11237   ≤ cle 11239   − cmin 11436  (,)cioo 13367  [,]cicc 13370  volcvol 25622  𝐿¹cibl 25776  ∫citg 25777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-rest 17470  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-cmp 23544  df-ovol 25623  df-vol 25624  df-mbf 25778  df-itg1 25779  df-itg2 25780  df-ibl 25781  df-itg 25782  df-0p 25829

This theorem is referenced by:  ftc1a  26196  ftc1lem4  26198  ftc1cnnclem  38342