Theorem ftc1lem1 25940

Description: Lemma for ftc1a 25942 and ftc1 25947. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
ftc1lem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1lem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1lem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2		oveq2 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌))
3		itgeq1 25672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
5		ftc1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
6		itgex 25669	. . . . . . 7 ⊢ ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6930	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
10		ftc1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		ftc1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		iccssre 13332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	14, 1	sseldd 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
17		ftc1lem1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	14, 17	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
20		elicc2 13314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
21	10, 12, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
22	17, 21	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
23	22	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐴 ≤ 𝑋)
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
26		elicc2 13314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
27	10, 15, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
29	19, 24, 25, 28	mpbir3and 1343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌))
30	12	rexrd 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		elicc2 13314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
32	10, 12, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
33	1, 32	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))
34	33	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
35		iooss2 13284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
36	30, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
37		ftc1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
38	36, 37	sstrd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
40	39	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
41		ftc1a.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
42	41	ffvelcdmda 7018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
43	42	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
44	40, 43	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
45	22	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
46		iooss2 13284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
47	30, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
48	47, 37	sstrd 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
49		ioombl 25464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51		fvexd 6837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
52	41	feqmptd 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
53		ftc1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
54	52, 53	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
55	48, 50, 51, 54	iblss 25704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
57	10	rexrd 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
58		iooss1 13283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
59	57, 23, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
60	59, 36	sstrd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
61	60, 37	sstrd 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
62		ioombl 25464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
64	61, 63, 51, 54	iblss 25704	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
65	64	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
66	11, 16, 29, 44, 56, 65	itgsplitioo 25737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
67	9, 66	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑌) = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
68		oveq2 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋))
69		itgeq1 25672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
70	68, 69	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
71		itgex 25669	. . . . . 6 ⊢ ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ V
72	70, 5, 71	fvmpt 6930	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
73	17, 72	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
74	73	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
75	67, 74	oveq12d 7367	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
76		fvexd 6837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
77	76, 55	itgcl 25683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
78	61	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
79	78, 42	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
80	79, 64	itgcl 25683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
81	77, 80	pncan2d 11477	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
82	81	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
83	75, 82	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008   + caddc 11012  ℝ^*cxr 11148   ≤ cle 11150   − cmin 11347  (,)cioo 13248  [,]cicc 13251  volcvol 25362  𝐿¹cibl 25516  ∫citg 25517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-symdif 4204  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cmp 23272  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-mbf 25518  df-itg1 25519  df-itg2 25520  df-ibl 25521  df-itg 25522  df-0p 25569

This theorem is referenced by:  ftc1a  25942  ftc1lem4  25944  ftc1cnnclem  37671