MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem1 25415
Description: Lemma for ftc1a 25417 and ftc1 25422. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
ftc1lem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
ftc1lem1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝐷   𝑑,𝐴,π‘₯   𝑑,𝐡,π‘₯   𝑑,𝑋,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯   𝑑,π‘Œ,π‘₯   𝑑,𝐹,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem ftc1lem1
StepHypRef Expression
1 ftc1lem1.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
2 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)π‘Œ))
3 itgeq1 25153 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)π‘Œ) β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘Œ β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
5 ftc1.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
6 itgex 25151 . . . . . . 7 ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6953 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
81, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
98adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
10 ftc1.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
12 ftc1.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 iccssre 13353 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1410, 12, 13syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1514, 1sseldd 3950 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
17 ftc1lem1.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
1814, 17sseldd 3950 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1918adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
20 elicc2 13336 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
2110, 12, 20syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡))
2322simp2d 1144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑋)
2423adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐴 ≀ 𝑋)
25 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
26 elicc2 13336 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
2710, 15, 26syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
2827adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
2919, 24, 25, 28mpbir3and 1343 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ))
3012rexrd 11212 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
31 elicc2 13336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
3210, 12, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
331, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡))
3433simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝐡)
35 iooss2 13307 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
3630, 34, 35syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
37 ftc1.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
3836, 37sstrd 3959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† 𝐷)
3938adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† 𝐷)
4039sselda 3949 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)π‘Œ)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
41 ftc1a.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
4241ffvelcdmda 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
4342adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
4440, 43syldan 592 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
4522simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
46 iooss2 13307 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)𝑋) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4730, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝑋) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4847, 37sstrd 3959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝑋) βŠ† 𝐷)
49 ioombl 24945 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
5049a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51 fvexd 6862 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V)
5241feqmptd 6915 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
53 ftc1.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
5452, 53eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
5548, 50, 51, 54iblss 25185 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
5655adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
5710rexrd 11212 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
58 iooss1 13306 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
5957, 23, 58syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
6059, 36sstrd 3959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
6160, 37sstrd 3959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† 𝐷)
62 ioombl 24945 . . . . . . . 8 (𝑋(,)π‘Œ) ∈ dom vol
6362a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) ∈ dom vol)
6461, 63, 51, 54iblss 25185 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6564adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6611, 16, 29, 44, 56, 65itgsplitioo 25218 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = (∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑))
679, 66eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = (∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑))
68 oveq2 7370 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)𝑋))
69 itgeq1 25153 . . . . . . 7 ((𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)𝑋) β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7068, 69syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
71 itgex 25151 . . . . . 6 ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ V
7270, 5, 71fvmpt 6953 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7317, 72syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7473adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7567, 74oveq12d 7380 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) βˆ’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑))
76 fvexd 6862 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V)
7776, 55itgcl 25164 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ β„‚)
7861sselda 3949 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
7978, 42syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8079, 64itgcl 25164 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ β„‚)
8177, 80pncan2d 11521 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) βˆ’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
8281adantr 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) βˆ’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
8375, 82eqtrd 2777 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057   + caddc 11061  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  volcvol 24843  πΏ1cibl 24997  βˆ«citg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050
This theorem is referenced by:  ftc1a  25417  ftc1lem4  25419  ftc1cnnclem  36178
  Copyright terms: Public domain W3C validator