Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem1 24638
 Description: Lemma for ftc1a 24640 and ftc1 24645. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
ftc1lem1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1lem1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem1 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem1
StepHypRef Expression
1 ftc1lem1.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2 oveq2 7143 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌))
3 itgeq1 24376 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
5 ftc1.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
6 itgex 24374 . . . . . . 7 ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6745 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐺𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
10 ftc1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 ftc1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
13 iccssre 12807 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1410, 12, 13syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1514, 1sseldd 3916 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1615adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
17 ftc1lem1.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1814, 17sseldd 3916 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1918adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
20 elicc2 12790 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2110, 12, 20syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2217, 21mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵))
2322simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
2423adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐴𝑋)
25 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
26 elicc2 12790 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑌)))
2710, 15, 26syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑌)))
2827adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑌)))
2919, 24, 25, 28mpbir3and 1339 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌))
3012rexrd 10680 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
31 elicc2 12790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
3210, 12, 31syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
331, 32mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵))
3433simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
35 iooss2 12762 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑌𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3630, 34, 35syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
37 ftc1.s . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
3836, 37sstrd 3925 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
3938adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
4039sselda 3915 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
41 ftc1a.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
4241ffvelrnda 6828 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4342adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4440, 43syldan 594 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4522simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
46 iooss2 12762 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4730, 45, 46syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4847, 37sstrd 3925 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
49 ioombl 24169 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51 fvexd 6660 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
5241feqmptd 6708 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
53 ftc1.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
5452, 53eqeltrrd 2891 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5548, 50, 51, 54iblss 24408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5655adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5710rexrd 10680 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
58 iooss1 12761 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
5957, 23, 58syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
6059, 36sstrd 3925 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
6160, 37sstrd 3925 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
62 ioombl 24169 . . . . . . . 8 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
6461, 63, 51, 54iblss 24408 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
6564adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
6611, 16, 29, 44, 56, 65itgsplitioo 24441 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡))
679, 66eqtrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐺𝑌) = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡))
68 oveq2 7143 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋))
69 itgeq1 24376 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7068, 69syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
71 itgex 24374 . . . . . 6 ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ V
7270, 5, 71fvmpt 6745 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7317, 72syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7473adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐺𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7567, 74oveq12d 7153 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡))
76 fvexd 6660 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
7776, 55itgcl 24387 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
7861sselda 3915 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
7978, 42syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8079, 64itgcl 24387 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
8177, 80pncan2d 10988 . . 3 (𝜑 → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8281adantr 484 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8375, 82eqtrd 2833 1 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525   + caddc 10529  ℝ*cxr 10663   ≤ cle 10665   − cmin 10859  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  volcvol 24067  𝐿1cibl 24221  ∫citg 24222 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-symdif 4169  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cmp 21992  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-itg2 24225  df-ibl 24226  df-itg 24227  df-0p 24274 This theorem is referenced by:  ftc1a  24640  ftc1lem4  24642  ftc1cnnclem  35128
 Copyright terms: Public domain W3C validator