MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem1 25399
Description: Lemma for ftc1a 25401 and ftc1 25406. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
ftc1lem1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1lem1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem1 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem1
StepHypRef Expression
1 ftc1lem1.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌))
3 itgeq1 25137 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
5 ftc1.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
6 itgex 25135 . . . . . . 7 ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐺𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
10 ftc1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 ftc1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
13 iccssre 13346 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1410, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1514, 1sseldd 3945 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
17 ftc1lem1.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1814, 17sseldd 3945 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
20 elicc2 13329 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2110, 12, 20syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵))
2322simp2d 1143 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐴𝑋)
25 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
26 elicc2 13329 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑌)))
2710, 15, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑌)))
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑌)))
2919, 24, 25, 28mpbir3and 1342 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌))
3012rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
31 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
3210, 12, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
331, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵))
3433simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
35 iooss2 13300 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑌𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3630, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
37 ftc1.s . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
3836, 37sstrd 3954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
3938adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
4039sselda 3944 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
41 ftc1a.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
4241ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4342adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4440, 43syldan 591 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4522simp3d 1144 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
46 iooss2 13300 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4730, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4847, 37sstrd 3954 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
49 ioombl 24929 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51 fvexd 6857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
5241feqmptd 6910 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
53 ftc1.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
5452, 53eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5548, 50, 51, 54iblss 25169 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5655adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5710rexrd 11205 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
58 iooss1 13299 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
5957, 23, 58syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
6059, 36sstrd 3954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
6160, 37sstrd 3954 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
62 ioombl 24929 . . . . . . . 8 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
6461, 63, 51, 54iblss 25169 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
6564adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
6611, 16, 29, 44, 56, 65itgsplitioo 25202 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡))
679, 66eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐺𝑌) = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡))
68 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋))
69 itgeq1 25137 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7068, 69syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
71 itgex 25135 . . . . . 6 ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ V
7270, 5, 71fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7317, 72syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7473adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐺𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7567, 74oveq12d 7375 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡))
76 fvexd 6857 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
7776, 55itgcl 25148 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
7861sselda 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
7978, 42syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8079, 64itgcl 25148 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
8177, 80pncan2d 11514 . . 3 (𝜑 → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8281adantr 481 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8375, 82eqtrd 2776 1 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054  *cxr 11188  cle 11190  cmin 11385  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  volcvol 24827  𝐿1cibl 24981  citg 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  ftc1a  25401  ftc1lem4  25403  ftc1cnnclem  36149
  Copyright terms: Public domain W3C validator