Theorem ftc1lem1 26091

Description: Lemma for ftc1a 26093 and ftc1 26098. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
ftc1lem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1lem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1lem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌))
3		itgeq1 25823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
5		ftc1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
6		itgex 25820	. . . . . . 7 ⊢ ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 7016	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
10		ftc1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		ftc1.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
13		iccssre 13466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14	10, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15	14, 1	sseldd 3996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
17		ftc1lem1.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	14, 17	sseldd 3996	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
20		elicc2 13449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
21	10, 12, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
22	17, 21	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
23	22	simp2d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝐴 ≤ 𝑋)
25		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
26		elicc2 13449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
27	10, 15, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌)))
29	19, 24, 25, 28	mpbir3and 1341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌))
30	12	rexrd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		elicc2 13449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
32	10, 12, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
33	1, 32	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))
34	33	simp3d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
35		iooss2 13420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
36	30, 34, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
37		ftc1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
38	36, 37	sstrd 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
40	39	sselda 3995	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
41		ftc1a.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
42	41	ffvelcdmda 7104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
43	42	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
44	40, 43	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
45	22	simp3d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
46		iooss2 13420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
47	30, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
48	47, 37	sstrd 4006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
49		ioombl 25614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51		fvexd 6922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
52	41	feqmptd 6977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
53		ftc1.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
54	52, 53	eqeltrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
55	48, 50, 51, 54	iblss 25855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
57	10	rexrd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
58		iooss1 13419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
59	57, 23, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
60	59, 36	sstrd 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
61	60, 37	sstrd 4006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
62		ioombl 25614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
63	62	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
64	61, 63, 51, 54	iblss 25855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
65	64	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
66	11, 16, 29, 44, 56, 65	itgsplitioo 25888	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
67	9, 66	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑌) = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
68		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋))
69		itgeq1 25823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
70	68, 69	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
71		itgex 25820	. . . . . 6 ⊢ ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ V
72	70, 5, 71	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
73	17, 72	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
74	73	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝐺‘𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
75	67, 74	oveq12d 7449	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡))
76		fvexd 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
77	76, 55	itgcl 25834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
78	61	sselda 3995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
79	78, 42	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
80	79, 64	itgcl 25834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
81	77, 80	pncan2d 11620	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
82	81	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹‘𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
83	75, 82	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152   + caddc 11156  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294   − cmin 11490  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  volcvol 25512  𝐿¹cibl 25666  ∫citg 25667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719

This theorem is referenced by:  ftc1a  26093  ftc1lem4  26095  ftc1cnnclem  37678