MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem1 25925
Description: Lemma for ftc1a 25927 and ftc1 25932. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
ftc1lem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
ftc1lem1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝐷   𝑑,𝐴,π‘₯   𝑑,𝐡,π‘₯   𝑑,𝑋,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯   𝑑,π‘Œ,π‘₯   𝑑,𝐹,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem ftc1lem1
StepHypRef Expression
1 ftc1lem1.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡))
2 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)π‘Œ))
3 itgeq1 25657 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)π‘Œ) β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘Œ β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
5 ftc1.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
6 itgex 25655 . . . . . . 7 ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6992 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
81, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
98adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
10 ftc1.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
12 ftc1.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 iccssre 13412 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1410, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1514, 1sseldd 3978 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
17 ftc1lem1.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡))
1814, 17sseldd 3978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
20 elicc2 13395 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
2110, 12, 20syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡)))
2217, 21mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝐡))
2322simp2d 1140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝑋)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐴 ≀ 𝑋)
25 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
26 elicc2 13395 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
2710, 15, 26syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
2827adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)))
2919, 24, 25, 28mpbir3and 1339 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴[,]π‘Œ))
3012rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
31 elicc2 13395 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
3210, 12, 31syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡)))
331, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ 𝐡))
3433simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ 𝐡)
35 iooss2 13366 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
3630, 34, 35syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
37 ftc1.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
3836, 37sstrd 3987 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† 𝐷)
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝐴(,)π‘Œ) βŠ† 𝐷)
4039sselda 3977 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)π‘Œ)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
41 ftc1a.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
4241ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
4342adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
4440, 43syldan 590 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
4522simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝐡)
46 iooss2 13366 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ 𝐡) β†’ (𝐴(,)𝑋) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4730, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝑋) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
4847, 37sstrd 3987 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝑋) βŠ† 𝐷)
49 ioombl 25449 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
5049a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51 fvexd 6900 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V)
5241feqmptd 6954 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
53 ftc1.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
5452, 53eqeltrrd 2828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
5548, 50, 51, 54iblss 25689 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
5655adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
5710rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
58 iooss1 13365 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
5957, 23, 58syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)π‘Œ))
6059, 36sstrd 3987 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
6160, 37sstrd 3987 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† 𝐷)
62 ioombl 25449 . . . . . . . 8 (𝑋(,)π‘Œ) ∈ dom vol
6362a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) ∈ dom vol)
6461, 63, 51, 54iblss 25689 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6564adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
6611, 16, 29, 44, 56, 65itgsplitioo 25722 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ∫(𝐴(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = (∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑))
679, 66eqtrd 2766 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘Œ) = (∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑))
68 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)𝑋))
69 itgeq1 25657 . . . . . . 7 ((𝐴(,)π‘₯) = (𝐴(,)𝑋) β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7068, 69syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
71 itgex 25655 . . . . . 6 ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ V
7270, 5, 71fvmpt 6992 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7317, 72syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7473adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7567, 74oveq12d 7423 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) βˆ’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑))
76 fvexd 6900 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ V)
7776, 55itgcl 25668 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ β„‚)
7861sselda 3977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
7978, 42syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
8079, 64itgcl 25668 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 ∈ β„‚)
8177, 80pncan2d 11577 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) βˆ’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
8281adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑 + ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) βˆ’ ∫(𝐴(,)𝑋)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
8375, 82eqtrd 2766 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((πΊβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)) = ∫(𝑋(,)π‘Œ)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111   + caddc 11115  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  volcvol 25347  πΏ1cibl 25501  βˆ«citg 25502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554
This theorem is referenced by:  ftc1a  25927  ftc1lem4  25929  ftc1cnnclem  37072
  Copyright terms: Public domain W3C validator