Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispilem2 46081
Description: A first set of properties for the sequence 𝐼 that will be used in the proof of the Wallis product formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem2.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
Assertion
Ref Expression
wallispilem2 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem2
StepHypRef Expression
1 0nn0 12541 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑0))
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑0))
4 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . 11 (0(,)π) ⊆ ℂ
54sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
65sincld 16166 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
76adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
87exp0d 14180 . . . . . . 7 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑0) = 1)
93, 8eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = 1)
109itgeq2dv 25817 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
11 ioombl 25600 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
12 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
13 pire 26500 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
14 ioovolcl 25605 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
1512, 13, 14mp2an 692 . . . . . . 7 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
16 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
17 itgconst 25854 . . . . . . 7 (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
1811, 15, 16, 17mp3an 1463 . . . . . 6 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
1915recni 11275 . . . . . . . 8 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℂ
2019mullidi 11266 . . . . . . 7 (1 · (vol‘(0(,)π))) = (vol‘(0(,)π))
21 pipos 26502 . . . . . . . . . 10 0 < π
2212, 13, 21ltleii 11384 . . . . . . . . 9 0 ≤ π
23 volioo 25604 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
2412, 13, 22, 23mp3an 1463 . . . . . . . 8 (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
2513recni 11275 . . . . . . . . 9 π ∈ ℂ
2625subid1i 11581 . . . . . . . 8 (π − 0) = π
2724, 26eqtri 2765 . . . . . . 7 (vol‘(0(,)π)) = π
2820, 27eqtri 2765 . . . . . 6 (1 · (vol‘(0(,)π))) = π
2918, 28eqtri 2765 . . . . 5 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = π
3010, 29eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑛 = 0 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = π)
31 wallispilem2.1 . . . 4 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3213elexi 3503 . . . 4 π ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 7016 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (𝐼‘0) = π)
341, 33ax-mp 5 . 2 (𝐼‘0) = π
35 1nn0 12542 . . . 4 1 ∈ ℕ0
36 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 = 1)
3736oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑1))
386adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3938exp1d 14181 . . . . . . 7 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑1) = (sin‘𝑥))
4037, 39eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = (sin‘𝑥))
4140itgeq2dv 25817 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
42 itgex 25805 . . . . 5 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 ∈ V
4341, 31, 42fvmpt 7016 . . . 4 (1 ∈ ℕ0 → (𝐼‘1) = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
4435, 43ax-mp 5 . . 3 (𝐼‘1) = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥
45 itgsin0pi 45967 . . 3 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
4644, 45eqtri 2765 . 2 (𝐼‘1) = 2
47 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
4831, 47itgsinexp 45970 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
4934, 46, 483pm3.2i 1340 1 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  cuz 12878  (,)cioo 13387  cexp 14102  sincsin 16099  πcpi 16102  volcvol 25498  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  wallispilem3  46082  wallispilem4  46083
  Copyright terms: Public domain W3C validator