Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispilem2 42705
Description: A first set of properties for the sequence 𝐼 that will be used in the proof of the Wallis product formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem2.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
Assertion
Ref Expression
wallispilem2 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem2
StepHypRef Expression
1 0nn0 11904 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑0))
32adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑0))
4 ioosscn 12791 . . . . . . . . . . 11 (0(,)π) ⊆ ℂ
54sseli 3914 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
65sincld 15479 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
76adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
87exp0d 13504 . . . . . . 7 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑0) = 1)
93, 8eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = 1)
109itgeq2dv 24389 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
11 ioombl 24173 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
12 0re 10636 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
13 pire 25055 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
14 ioovolcl 24178 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
1512, 13, 14mp2an 691 . . . . . . 7 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
16 ax-1cn 10588 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
17 itgconst 24426 . . . . . . 7 (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
1811, 15, 16, 17mp3an 1458 . . . . . 6 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
1915recni 10648 . . . . . . . 8 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℂ
2019mulid2i 10639 . . . . . . 7 (1 · (vol‘(0(,)π))) = (vol‘(0(,)π))
21 pipos 25057 . . . . . . . . . 10 0 < π
2212, 13, 21ltleii 10756 . . . . . . . . 9 0 ≤ π
23 volioo 24177 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
2412, 13, 22, 23mp3an 1458 . . . . . . . 8 (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
2513recni 10648 . . . . . . . . 9 π ∈ ℂ
2625subid1i 10951 . . . . . . . 8 (π − 0) = π
2724, 26eqtri 2824 . . . . . . 7 (vol‘(0(,)π)) = π
2820, 27eqtri 2824 . . . . . 6 (1 · (vol‘(0(,)π))) = π
2918, 28eqtri 2824 . . . . 5 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = π
3010, 29eqtrdi 2852 . . . 4 (𝑛 = 0 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = π)
31 wallispilem2.1 . . . 4 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3213elexi 3463 . . . 4 π ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6749 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (𝐼‘0) = π)
341, 33ax-mp 5 . 2 (𝐼‘0) = π
35 1nn0 11905 . . . 4 1 ∈ ℕ0
36 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 = 1)
3736oveq2d 7155 . . . . . . 7 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑1))
386adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3938exp1d 13505 . . . . . . 7 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑1) = (sin‘𝑥))
4037, 39eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = (sin‘𝑥))
4140itgeq2dv 24389 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
42 itgex 24378 . . . . 5 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 ∈ V
4341, 31, 42fvmpt 6749 . . . 4 (1 ∈ ℕ0 → (𝐼‘1) = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
4435, 43ax-mp 5 . . 3 (𝐼‘1) = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥
45 itgsin0pi 42591 . . 3 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
4644, 45eqtri 2824 . 2 (𝐼‘1) = 2
47 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
4831, 47itgsinexp 42594 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
4934, 46, 483pm3.2i 1336 1 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  cmpt 5113  dom cdm 5523  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  0cn0 11889  cuz 12235  (,)cioo 12730  cexp 13429  sincsin 15413  πcpi 15416  volcvol 24071  citg 24226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-symdif 4172  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-ovol 24072  df-vol 24073  df-mbf 24227  df-itg1 24228  df-itg2 24229  df-ibl 24230  df-itg 24231  df-0p 24278  df-limc 24473  df-dv 24474
This theorem is referenced by:  wallispilem3  42706  wallispilem4  42707
  Copyright terms: Public domain W3C validator