Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wallispilem2 45624
Description: A first set of properties for the sequence 𝐼 that will be used in the proof of the Wallis product formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem2.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
Assertion
Ref Expression
wallispilem2 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem2
StepHypRef Expression
1 0nn0 12534 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 oveq2 7431 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑0))
32adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑0))
4 ioosscn 13435 . . . . . . . . . . 11 (0(,)π) ⊆ ℂ
54sseli 3974 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
65sincld 16127 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
76adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
87exp0d 14154 . . . . . . 7 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑0) = 1)
93, 8eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = 1)
109itgeq2dv 25794 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)1 d𝑥)
11 ioombl 25577 . . . . . . 7 (0(,)π) ∈ dom vol
12 0re 11262 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
13 pire 26478 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
14 ioovolcl 25582 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ)
1512, 13, 14mp2an 690 . . . . . . 7 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ
16 ax-1cn 11212 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
17 itgconst 25831 . . . . . . 7 (((0(,)π) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)π)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π))))
1811, 15, 16, 17mp3an 1457 . . . . . 6 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = (1 · (vol‘(0(,)π)))
1915recni 11274 . . . . . . . 8 (vol‘(0(,)π)) ∈ ℂ
2019mullidi 11265 . . . . . . 7 (1 · (vol‘(0(,)π))) = (vol‘(0(,)π))
21 pipos 26480 . . . . . . . . . 10 0 < π
2212, 13, 21ltleii 11383 . . . . . . . . 9 0 ≤ π
23 volioo 25581 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 0 ≤ π) → (vol‘(0(,)π)) = (π − 0))
2412, 13, 22, 23mp3an 1457 . . . . . . . 8 (vol‘(0(,)π)) = (π − 0)
2513recni 11274 . . . . . . . . 9 π ∈ ℂ
2625subid1i 11578 . . . . . . . 8 (π − 0) = π
2724, 26eqtri 2753 . . . . . . 7 (vol‘(0(,)π)) = π
2820, 27eqtri 2753 . . . . . 6 (1 · (vol‘(0(,)π))) = π
2918, 28eqtri 2753 . . . . 5 ∫(0(,)π)1 d𝑥 = π
3010, 29eqtrdi 2781 . . . 4 (𝑛 = 0 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = π)
31 wallispilem2.1 . . . 4 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
3213elexi 3483 . . . 4 π ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 7008 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (𝐼‘0) = π)
341, 33ax-mp 5 . 2 (𝐼‘0) = π
35 1nn0 12535 . . . 4 1 ∈ ℕ0
36 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑛 = 1)
3736oveq2d 7439 . . . . . . 7 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑1))
386adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3938exp1d 14155 . . . . . . 7 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑1) = (sin‘𝑥))
4037, 39eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝑛 = 1 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = (sin‘𝑥))
4140itgeq2dv 25794 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
42 itgex 25783 . . . . 5 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 ∈ V
4341, 31, 42fvmpt 7008 . . . 4 (1 ∈ ℕ0 → (𝐼‘1) = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
4435, 43ax-mp 5 . . 3 (𝐼‘1) = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥
45 itgsin0pi 45510 . . 3 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
4644, 45eqtri 2753 . 2 (𝐼‘1) = 2
47 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
4831, 47itgsinexp 45513 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
4934, 46, 483pm3.2i 1336 1 ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  cmpt 5235  dom cdm 5681  cfv 6553  (class class class)co 7423  cc 11152  cr 11153  0cc0 11154  1c1 11155   · cmul 11159  cle 11295  cmin 11490   / cdiv 11917  2c2 12314  0cn0 12519  cuz 12869  (,)cioo 13373  cexp 14076  sincsin 16060  πcpi 16063  volcvol 25475  citg 25630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cc 10474  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232  ax-addf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-symdif 4243  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9402  df-fi 9450  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-dju 9940  df-card 9978  df-acn 9981  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12980  df-rp 13024  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-pi 16069  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19057  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-psmet 21327  df-xmet 21328  df-met 21329  df-bl 21330  df-mopn 21331  df-fbas 21332  df-fg 21333  df-cnfld 21336  df-top 22879  df-topon 22896  df-topsp 22918  df-bases 22932  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-cmp 23374  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24309  df-ms 24310  df-tms 24311  df-cncf 24881  df-ovol 25476  df-vol 25477  df-mbf 25631  df-itg1 25632  df-itg2 25633  df-ibl 25634  df-itg 25635  df-0p 25682  df-limc 25878  df-dv 25879
This theorem is referenced by:  wallispilem3  45625  wallispilem4  45626
  Copyright terms: Public domain W3C validator