Theorem mapprc 8393

Description: When 𝐴 is a proper class, the class of all functions mapping 𝐴 to 𝐵 is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4290	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2		fdm 6495	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 7598	. . . . 5 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	eqeltrrdi 2899	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 220	. 2 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
8	7	necon1bi 3015	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2776   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  ∅c0 4243  dom cdm 5519  ⟶wf 6320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fn 6327  df-f 6328

This theorem is referenced by:  efmndbasabf  18029