Theorem mapprc 8820

Description: When 𝐴 is a proper class, the class of all functions mapping 𝐴 to 𝐵 is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4379	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2		fdm 6723	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 3478	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 7898	. . . . 5 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	eqeltrrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 216	. 2 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
8	7	necon1bi 2969	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2709   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  ∅c0 4321  dom cdm 5675  ⟶wf 6536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-cnv 5683  df-dm 5685  df-rn 5686  df-fn 6543  df-f 6544

This theorem is referenced by:  efmndbasabf  18749