Theorem mapprc 8828

Description: When 𝐴 is a proper class, the class of all functions mapping 𝐴 to 𝐵 is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4348	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2		fdm 6716	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 3467	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 7906	. . . . 5 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	eqeltrrdi 2878	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1957	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 220	. 2 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
8	7	necon1bi 2992	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ∅c0 4294  dom cdm 5662  ⟶wf 6533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-cnv 5670  df-dm 5672  df-rn 5673  df-fn 6540  df-f 6541

This theorem is referenced by:  efmndbasabf  18931