Theorem mapprc 8619

Description: When 𝐴 is a proper class, the class of all functions mapping 𝐴 to 𝐵 is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4314	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2		fdm 6609	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 7758	. . . . 5 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	eqeltrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 216	. 2 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
8	7	necon1bi 2972	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  ∅c0 4256  dom cdm 5589  ⟶wf 6429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-cnv 5597  df-dm 5599  df-rn 5600  df-fn 6436  df-f 6437

This theorem is referenced by:  efmndbasabf  18511