Theorem mapprc 8839

Description: When 𝐴 is a proper class, the class of all functions mapping 𝐴 to 𝐵 is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 8-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapprc	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem mapprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 4358	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵)
2		fdm 6712	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 7900	. . . . 5 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	eqeltrrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1929	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	sylbi 217	. 2 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ≠ ∅ → 𝐴 ∈ V)
8	7	necon1bi 2959	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  {cab 2712   ≠ wne 2931  Vcvv 3457  ∅c0 4306  dom cdm 5652  ⟶wf 6524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pr 5400  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-rab 3414  df-v 3459  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-br 5118  df-opab 5180  df-cnv 5660  df-dm 5662  df-rn 5663  df-fn 6531  df-f 6532

This theorem is referenced by:  efmndbasabf  18837