Theorem efmndbasabf 19068

Description: The base set of the monoid of endofunctions on class 𝐴 is the set of functions from 𝐴 into itself. (Contributed by AV, 29-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmndbas.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmndbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
efmndbasabf	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem efmndbasabf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndbas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2		efmndbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	efmndbas 19067	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
4		mapvalg 8856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
5	4	anidms 577	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
6	3, 5	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
7		base0 17392	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
8	7	eqcomi 2770	. . 3 ⊢ (Base‘∅) = ∅
9		fvprc 6877	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
10	1, 9	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
11	10	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
12	2, 11	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐵 = (Base‘∅))
13		mapprc 8851	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴} = ∅)
14	8, 12, 13	3eqtr4a 2822	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
15	6, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Basecbs 17387  EndoFMndcefmnd 19064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-tset 17447  df-efmnd 19065

This theorem is used by:  elefmndbas2  19070  symgbas  19586