Theorem efmndbasabf 19077

Description: The base set of the monoid of endofunctions on class 𝐴 is the set of functions from 𝐴 into itself. (Contributed by AV, 29-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmndbas.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmndbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
efmndbasabf	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem efmndbasabf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndbas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2		efmndbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	efmndbas 19076	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
4		mapvalg 8864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
5	4	anidms 577	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
6	3, 5	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
7		base0 17401	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
8	7	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ (Base‘∅) = ∅
9		fvprc 6882	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
10	1, 9	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
11	10	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
12	2, 11	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐵 = (Base‘∅))
13		mapprc 8859	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴} = ∅)
14	8, 12, 13	3eqtr4a 2821	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
15	6, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  Vcvv 3450  ∅c0 4277  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  Basecbs 17396  EndoFMndcefmnd 19073

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-tset 17456  df-efmnd 19074

This theorem is used by:  elefmndbas2  19079  symgbas  19595