Theorem mnfltxr 13163

Description: Minus infinity is less than an extended real that is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfltxr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt 13159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
2		mnfltpnf 13162	. . 3 ⊢ -∞ < +∞
3		breq2 5115	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
4	2, 3	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
5	1, 4	jaoi 871	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11110  +∞cpnf 11251  -∞cmnf 11252   < clt 11254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259

This theorem is used by:  supxrgtmnf  13366  nmogtmnf  31151  nmopgtmnf  32249