Theorem mnfltxr 12913

Description: Minus infinity is less than an extended real that is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfltxr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt 12909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
2		mnfltpnf 12912	. . 3 ⊢ -∞ < +∞
3		breq2 5085	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
4	2, 3	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
5	1, 4	jaoi 855	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  ℝcr 10920  +∞cpnf 11056  -∞cmnf 11057   < clt 11059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-xp 5606  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064

This theorem is referenced by:  supxrgtmnf  13113  nmogtmnf  29181  nmopgtmnf  30279