Theorem mnfltxr 13296

Description: Minus infinity is less than an extended real that is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfltxr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt 13292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
2		mnfltpnf 13295	. . 3 ⊢ -∞ < +∞
3		breq2 5112	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
4	2, 3	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
5	1, 4	jaoi 871	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞) → -∞ < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380   < clt 11382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387

This theorem is used by:  supxrgtmnf  13499  nmogtmnf  31429  nmopgtmnf  32527