HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopgtmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopgtmnf 29644
Description: The norm of a Hilbert space operator is not minus infinity. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopgtmnf (𝑇: ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop𝑇))

Proof of Theorem nmopgtmnf
StepHypRef Expression
1 nmoprepnf 29643 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop𝑇) ≠ +∞))
2 df-ne 3017 . . 3 ((normop𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ (normop𝑇) = +∞)
31, 2syl6bb 289 . 2 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (normop𝑇) = +∞))
4 xor3 386 . . 3 (¬ ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop𝑇) = +∞) ↔ ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (normop𝑇) = +∞))
5 nbior 884 . . 3 (¬ ((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop𝑇) = +∞) → ((normop𝑇) ∈ ℝ ∨ (normop𝑇) = +∞))
64, 5sylbir 237 . 2 (((normop𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (normop𝑇) = +∞) → ((normop𝑇) ∈ ℝ ∨ (normop𝑇) = +∞))
7 mnfltxr 12521 . 2 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∨ (normop𝑇) = +∞) → -∞ < (normop𝑇))
83, 6, 73syl 18 1 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wo 843   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016   class class class wbr 5065  wf 6350  cfv 6354  cr 10535  +∞cpnf 10671  -∞cmnf 10672   < clt 10674  chba 28695  normopcnop 28721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-hilex 28775  ax-hfvadd 28776  ax-hvcom 28777  ax-hvass 28778  ax-hv0cl 28779  ax-hvaddid 28780  ax-hfvmul 28781  ax-hvmulid 28782  ax-hvmulass 28783  ax-hvdistr1 28784  ax-hvdistr2 28785  ax-hvmul0 28786  ax-hfi 28855  ax-his1 28858  ax-his2 28859  ax-his3 28860  ax-his4 28861
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-grpo 28269  df-gid 28270  df-ablo 28321  df-vc 28335  df-nv 28368  df-va 28371  df-ba 28372  df-sm 28373  df-0v 28374  df-nmcv 28376  df-hnorm 28744  df-hba 28745  df-hvsub 28747  df-nmop 29615
This theorem is referenced by:  nmopre  29646  nmophmi  29807  bdophsi  29872  bdopcoi  29874
  Copyright terms: Public domain W3C validator