Theorem nmopgtmnf 30517

Description: The norm of a Hilbert space operator is not minus infinity. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopgtmnf	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘𝑇))

Proof of Theorem nmopgtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoprepnf 30516	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) ≠ +∞))
2		df-ne 2942	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ (normop‘𝑇) = +∞)
3	1, 2	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (normop‘𝑇) = +∞))
4		xor3 384	. . 3 ⊢ (¬ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) = +∞) ↔ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (normop‘𝑇) = +∞))
5		nbior 886	. . 3 ⊢ (¬ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normop‘𝑇) = +∞) → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∨ (normop‘𝑇) = +∞))
6	4, 5	sylbir 234	. 2 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (normop‘𝑇) = +∞) → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∨ (normop‘𝑇) = +∞))
7		mnfltxr 12968	. 2 ⊢ (((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∨ (normop‘𝑇) = +∞) → -∞ < (normop‘𝑇))
8	3, 6, 7	3syl 18	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → -∞ < (normop‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941   class class class wbr 5096  ⟶wf 6479  ‘cfv 6483  ℝcr 10975  +∞cpnf 11111  -∞cmnf 11112   < clt 11114   ℋchba 29568  norm_opcnop 29594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-hilex 29648  ax-hfvadd 29649  ax-hvcom 29650  ax-hvass 29651  ax-hv0cl 29652  ax-hvaddid 29653  ax-hfvmul 29654  ax-hvmulid 29655  ax-hvmulass 29656  ax-hvdistr1 29657  ax-hvdistr2 29658  ax-hvmul0 29659  ax-hfi 29728  ax-his1 29731  ax-his2 29732  ax-his3 29733  ax-his4 29734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-map 8692  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-sup 9303  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-rp 12836  df-seq 13827  df-exp 13888  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-grpo 29142  df-gid 29143  df-ablo 29194  df-vc 29208  df-nv 29241  df-va 29244  df-ba 29245  df-sm 29246  df-0v 29247  df-nmcv 29249  df-hnorm 29617  df-hba 29618  df-hvsub 29620  df-nmop 30488

This theorem is referenced by:  nmopre  30519  nmophmi  30680  bdophsi  30745  bdopcoi  30747