Theorem mnflt 13090

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnflt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ -∞ = -∞
2		olc 868	. . . 4 ⊢ ((-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
4	3	olcd 874	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))))
5		mnfxr 11238	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		rexr 11227	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		ltxr 13082	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝcr 11074   <_ℝ cltrr 11079  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  mnfltd  13091  mnflt0  13092  mnfltxr  13094  xrlttri  13106  xrlttr  13107  xrrebnd  13135  xrre3  13138  qbtwnxr  13167  xrsupsslem  13274  xrub  13279  elico2  13378  elicc2  13379  ioomax  13390  elioomnf  13412  difreicc  13452  icopnfcld  24662  iocmnfcld  24663  xrtgioo  24702  bndth  24864  mbfmax  25557  itg2seq  25650  ellogdm  26555  esumcvgsum  34085  dya2iocbrsiga  34273  dya2icobrsiga  34274  orvclteel  34471  iooelexlt  37357  itg2addnclem  37672  asindmre  37704  dvasin  37705  dvacos  37706  rfcnpre4  45035  infrpge  45354  infxr  45370  infxrunb2  45371  infleinflem2  45374  icccncfext  45892  fourierdlem113  46224  fouriersw  46236  pimgtmnff  46727  iccpartigtl  47428