Theorem mnflt 13290

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnflt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ -∞ = -∞
2		olc 882	. . . 4 ⊢ ((-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
4	3	olcd 888	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))))
5		mnfxr 11403	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		rexr 11392	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		ltxr 13282	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ℝcr 11236   <_ℝ cltrr 11241  +∞cpnf 11377  -∞cmnf 11378  ℝ^*cxr 11379   < clt 11380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385

This theorem is used by:  mnfltd  13291  mnflt0  13292  mnfltxr  13294  xrlttri  13306  xrlttr  13307  xrrebnd  13336  xrre3  13339  qbtwnxr  13368  xrsupsslem  13475  xrub  13480  elico2  13579  elicc2  13580  ioomax  13591  elioomnf  13613  difreicc  13653  icopnfcld  25130  iocmnfcld  25131  xrtgioo  25170  bndth  25323  mbfmax  26014  itg2seq  26107  ellogdm  27013  esumcvgsum  34824  dya2iocbrsiga  35011  dya2icobrsiga  35012  orvclteel  35209  iooelexlt  38546  itg2addnclem  38850  asindmre  38882  dvasin  38883  dvacos  38884  rfcnpre4  46319  infrpge  46630  infxr  46645  infxrunb2  46646  infleinflem2  46649  icccncfext  47164  fouriersw  47508  pimgtmnff  47999  iccpartigtl  48772