MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnflt 13045
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnflt (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnflt
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 -∞ = -∞
2 olc 867 . . . 4 ((-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
31, 2mpan 689 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
43olcd 873 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))))
5 mnfxr 11213 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
6 rexr 11202 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 ltxr 13037 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
85, 6, 7sylancr 588 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
94, 8mpbird 257 1 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  cr 11051   < cltrr 11056  +∞cpnf 11187  -∞cmnf 11188  *cxr 11189   < clt 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195
This theorem is referenced by:  mnfltd  13046  mnflt0  13047  mnfltxr  13049  xrlttri  13059  xrlttr  13060  xrrebnd  13088  xrre3  13091  qbtwnxr  13120  xrsupsslem  13227  xrub  13232  elico2  13329  elicc2  13330  ioomax  13340  elioomnf  13362  difreicc  13402  icopnfcld  24134  iocmnfcld  24135  xrtgioo  24172  bndth  24324  mbfmax  25016  itg2seq  25110  ellogdm  25997  esumcvgsum  32690  dya2iocbrsiga  32878  dya2icobrsiga  32879  orvclteel  33075  iooelexlt  35836  itg2addnclem  36132  asindmre  36164  dvasin  36165  dvacos  36166  rfcnpre4  43246  infrpge  43592  infxr  43608  infxrunb2  43609  infleinflem2  43612  icccncfext  44135  fourierdlem113  44467  fouriersw  44479  pimgtmnff  44970  iccpartigtl  45622
  Copyright terms: Public domain W3C validator