Theorem mnflt 13043

Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnflt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnflt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ -∞ = -∞
2		olc 868	. . . 4 ⊢ ((-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
4	3	olcd 874	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))))
5		mnfxr 11191	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6		rexr 11180	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		ltxr 13035	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
8	5, 6, 7	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ 𝐴) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
9	4, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   <_ℝ cltrr 11032  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  mnfltd  13044  mnflt0  13045  mnfltxr  13047  xrlttri  13059  xrlttr  13060  xrrebnd  13088  xrre3  13091  qbtwnxr  13120  xrsupsslem  13227  xrub  13232  elico2  13331  elicc2  13332  ioomax  13343  elioomnf  13365  difreicc  13405  icopnfcld  24671  iocmnfcld  24672  xrtgioo  24711  bndth  24873  mbfmax  25566  itg2seq  25659  ellogdm  26564  esumcvgsum  34057  dya2iocbrsiga  34245  dya2icobrsiga  34246  orvclteel  34443  iooelexlt  37338  itg2addnclem  37653  asindmre  37685  dvasin  37686  dvacos  37687  rfcnpre4  45015  infrpge  45334  infxr  45350  infxrunb2  45351  infleinflem2  45354  icccncfext  45872  fourierdlem113  46204  fouriersw  46216  pimgtmnff  46707  iccpartigtl  47411