Theorem pnfnlt 13068

Description: No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnlt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Proof of Theorem pnfnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11175	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3036	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3	2	intnanr 487	. . . . 5 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	intnanr 487	. . . 4 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴)
5		pnfnemnf 11189	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
6	5	neii 2932	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ = -∞
7	6	intnanr 487	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)
8	4, 7	pm3.2ni 881	. . 3 ⊢ ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞))
9	2	intnanr 487	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞)
10	6	intnanr 487	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
11	9, 10	pm3.2ni 881	. . 3 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
12	8, 11	pm3.2ni 881	. 2 ⊢ ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
13		pnfxr 11188	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		ltxr 13055	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
15	13, 14	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
16	12, 15	mtbiri 327	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  ℝcr 11026   <_ℝ cltrr 11031  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5626  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  pnfge  13070  xrltnsym  13077  xrlttr  13080  qbtwnxr  13141  xltnegi  13157  xmullem2  13206  xrinfmexpnf  13247  xrsupsslem  13248  xrinfmsslem  13249  xrub  13253  supxrpnf  13259  supxrunb1  13260  supxrunb2  13261  xrinf0  13280  lt6abl  19859  pnfnei  23173  metdstri  24805  esumpcvgval  34210  icorempo  37655  iooelexlt  37666  iccpartigtl  47871