MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnlt 13170
Description: No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnlt (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Proof of Theorem pnfnlt
StepHypRef Expression
1 pnfnre 11302 . . . . . . 7 +∞ ∉ ℝ
21neli 3048 . . . . . 6 ¬ +∞ ∈ ℝ
32intnanr 487 . . . . 5 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
43intnanr 487 . . . 4 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴)
5 pnfnemnf 11316 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
65neii 2942 . . . . 5 ¬ +∞ = -∞
76intnanr 487 . . . 4 ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)
84, 7pm3.2ni 881 . . 3 ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞))
92intnanr 487 . . . 4 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞)
106intnanr 487 . . . 4 ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
119, 10pm3.2ni 881 . . 3 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
128, 11pm3.2ni 881 . 2 ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
13 pnfxr 11315 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
14 ltxr 13157 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
1513, 14mpan 690 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
1612, 15mtbiri 327 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cr 11154   < cltrr 11159  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300
This theorem is referenced by:  pnfge  13172  xrltnsym  13179  xrlttr  13182  qbtwnxr  13242  xltnegi  13258  xmullem2  13307  xrinfmexpnf  13348  xrsupsslem  13349  xrinfmsslem  13350  xrub  13354  supxrpnf  13360  supxrunb1  13361  supxrunb2  13362  xrinf0  13380  lt6abl  19913  pnfnei  23228  metdstri  24873  esumpcvgval  34079  icorempo  37352  iooelexlt  37363  iccpartigtl  47410
  Copyright terms: Public domain W3C validator