Theorem pnfnlt 13108

Description: No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnlt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Proof of Theorem pnfnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11255	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3049	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3	2	intnanr 489	. . . . 5 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	intnanr 489	. . . 4 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴)
5		pnfnemnf 11269	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
6	5	neii 2943	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ = -∞
7	6	intnanr 489	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)
8	4, 7	pm3.2ni 880	. . 3 ⊢ ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞))
9	2	intnanr 489	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞)
10	6	intnanr 489	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
11	9, 10	pm3.2ni 880	. . 3 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
12	8, 11	pm3.2ni 880	. 2 ⊢ ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
13		pnfxr 11268	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		ltxr 13095	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
15	13, 14	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
16	12, 15	mtbiri 327	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   <_ℝ cltrr 11114  +∞cpnf 11245  -∞cmnf 11246  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  pnfge  13110  xrltnsym  13116  xrlttr  13119  qbtwnxr  13179  xltnegi  13195  xmullem2  13244  xrinfmexpnf  13285  xrsupsslem  13286  xrinfmsslem  13287  xrub  13291  supxrpnf  13297  supxrunb1  13298  supxrunb2  13299  xrinf0  13317  lt6abl  19763  pnfnei  22724  metdstri  24367  esumpcvgval  33076  icorempo  36232  iooelexlt  36243  iccpartigtl  46091