Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnlt 12516
 Description: No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnlt (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Proof of Theorem pnfnlt
StepHypRef Expression
1 pnfnre 10674 . . . . . . 7 +∞ ∉ ℝ
21neli 3129 . . . . . 6 ¬ +∞ ∈ ℝ
32intnanr 488 . . . . 5 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
43intnanr 488 . . . 4 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴)
5 pnfnemnf 10688 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
65neii 3022 . . . . 5 ¬ +∞ = -∞
76intnanr 488 . . . 4 ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)
84, 7pm3.2ni 876 . . 3 ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞))
92intnanr 488 . . . 4 ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞)
106intnanr 488 . . . 4 ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
119, 10pm3.2ni 876 . . 3 ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
128, 11pm3.2ni 876 . 2 ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
13 pnfxr 10687 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
14 ltxr 12503 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
1513, 14mpan 686 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ < 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
1612, 15mtbiri 328 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5062  ℝcr 10528   <ℝ cltrr 10533  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  ℝ*cxr 10666   < clt 10667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-xp 5559  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672 This theorem is referenced by:  pnfge  12518  xrltnsym  12523  xrlttr  12526  qbtwnxr  12586  xltnegi  12602  xmullem2  12651  xrinfmexpnf  12692  xrsupsslem  12693  xrinfmsslem  12694  xrub  12698  supxrpnf  12704  supxrunb1  12705  supxrunb2  12706  xrinf0  12724  lt6abl  18937  pnfnei  21746  metdstri  23376  esumpcvgval  31225  icorempo  34503  iooelexlt  34514  iccpartigtl  43417
 Copyright terms: Public domain W3C validator