Theorem pnfnlt 13115

Description: No extended real is greater than plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnlt	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Proof of Theorem pnfnlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 11262	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3047	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3	2	intnanr 487	. . . . 5 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	intnanr 487	. . . 4 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴)
5		pnfnemnf 11276	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ -∞
6	5	neii 2941	. . . . 5 ⊢ ¬ +∞ = -∞
7	6	intnanr 487	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)
8	4, 7	pm3.2ni 878	. . 3 ⊢ ¬ (((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞))
9	2	intnanr 487	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞)
10	6	intnanr 487	. . . 4 ⊢ ¬ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)
11	9, 10	pm3.2ni 878	. . 3 ⊢ ¬ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
12	8, 11	pm3.2ni 878	. 2 ⊢ ¬ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
13		pnfxr 11275	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
14		ltxr 13102	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
15	13, 14	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ < 𝐴 ↔ ((((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ +∞ <ℝ 𝐴) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((+∞ ∈ ℝ ∧ 𝐴 = +∞) ∨ (+∞ = -∞ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))))
16	12, 15	mtbiri 327	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ℝcr 11115   <_ℝ cltrr 11120  +∞cpnf 11252  -∞cmnf 11253  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260

This theorem is referenced by:  pnfge  13117  xrltnsym  13123  xrlttr  13126  qbtwnxr  13186  xltnegi  13202  xmullem2  13251  xrinfmexpnf  13292  xrsupsslem  13293  xrinfmsslem  13294  xrub  13298  supxrpnf  13304  supxrunb1  13305  supxrunb2  13306  xrinf0  13324  lt6abl  19811  pnfnei  23044  metdstri  24687  esumpcvgval  33541  icorempo  36698  iooelexlt  36709  iccpartigtl  46552