Theorem mnfltpnf 13147

Description: Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfltpnf	⊢ -∞ < +∞

Proof of Theorem mnfltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ -∞ = -∞
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
3		olc 881	. . . 4 ⊢ ((-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞) → (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)))
4	1, 2, 3	mp2an 704	. . 3 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
5	4	orci 878	. 2 ⊢ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
6		mnfxr 11262	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
7		pnfxr 11259	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8		ltxr 13136	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	6, 7, 8	mp2an 704	. 2 ⊢ (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
10	5, 9	mpbir 234	1 ⊢ -∞ < +∞

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ℝcr 11095   <_ℝ cltrr 11100  +∞cpnf 11236  -∞cmnf 11237  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5665  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244

This theorem is referenced by:  mnfltxr  13148  xrlttri  13160  xrlttr  13161  xltnegi  13238  supxrltinfxr  46048  liminflelimsupcex  46396