MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfltpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfltpnf 13101
Description: Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfltpnf -∞ < +∞

Proof of Theorem mnfltpnf
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 -∞ = -∞
2 eqid 2733 . . . 4 +∞ = +∞
3 olc 867 . . . 4 ((-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞) → (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)))
41, 2, 3mp2an 691 . . 3 (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
54orci 864 . 2 ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
6 mnfxr 11266 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
7 pnfxr 11263 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
8 ltxr 13090 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
96, 7, 8mp2an 691 . 2 (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
105, 9mpbir 230 1 -∞ < +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5146  cr 11104   < cltrr 11109  +∞cpnf 11240  -∞cmnf 11241  *cxr 11242   < clt 11243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-xp 5680  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248
This theorem is referenced by:  mnfltxr  13102  xrlttri  13113  xrlttr  13114  xltnegi  13190  supxrltinfxr  44093  liminflelimsupcex  44447
  Copyright terms: Public domain W3C validator