MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfltpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfltpnf 13165
Description: Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfltpnf -∞ < +∞

Proof of Theorem mnfltpnf
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . 4 -∞ = -∞
2 eqid 2734 . . . 4 +∞ = +∞
3 olc 868 . . . 4 ((-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞) → (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)))
41, 2, 3mp2an 692 . . 3 (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
54orci 865 . 2 ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
6 mnfxr 11315 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
7 pnfxr 11312 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
8 ltxr 13154 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
96, 7, 8mp2an 692 . 2 (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
105, 9mpbir 231 1 -∞ < +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cr 11151   < cltrr 11156  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5694  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297
This theorem is referenced by:  mnfltxr  13166  xrlttri  13177  xrlttr  13178  xltnegi  13254  supxrltinfxr  45398  liminflelimsupcex  45752
  Copyright terms: Public domain W3C validator