MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfltpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfltpnf 13111
Description: Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfltpnf -∞ < +∞

Proof of Theorem mnfltpnf
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 -∞ = -∞
2 eqid 2731 . . . 4 +∞ = +∞
3 olc 865 . . . 4 ((-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞) → (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)))
41, 2, 3mp2an 689 . . 3 (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
54orci 862 . 2 ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
6 mnfxr 11276 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
7 pnfxr 11273 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
8 ltxr 13100 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
96, 7, 8mp2an 689 . 2 (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ < +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
105, 9mpbir 230 1 -∞ < +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5149  cr 11112   < cltrr 11117  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  *cxr 11252   < clt 11253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258
This theorem is referenced by:  mnfltxr  13112  xrlttri  13123  xrlttr  13124  xltnegi  13200  supxrltinfxr  44459  liminflelimsupcex  44813
  Copyright terms: Public domain W3C validator