Theorem mnfltpnf 13168

Description: Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfltpnf	⊢ -∞ < +∞

Proof of Theorem mnfltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ -∞ = -∞
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
3		olc 869	. . . 4 ⊢ ((-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞) → (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . 3 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
5	4	orci 866	. 2 ⊢ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
6		mnfxr 11318	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
7		pnfxr 11315	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8		ltxr 13157	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	6, 7, 8	mp2an 692	. 2 ⊢ (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
10	5, 9	mpbir 231	1 ⊢ -∞ < +∞

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ℝcr 11154   <_ℝ cltrr 11159  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  mnfltxr  13169  xrlttri  13181  xrlttr  13182  xltnegi  13258  supxrltinfxr  45460  liminflelimsupcex  45812