Theorem mnfltpnf 12547

Description: Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfltpnf	⊢ -∞ < +∞

Proof of Theorem mnfltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2759	. . . 4 ⊢ -∞ = -∞
2		eqid 2759	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
3		olc 866	. . . 4 ⊢ ((-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞) → (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . 3 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
5	4	orci 863	. 2 ⊢ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
6		mnfxr 10721	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
7		pnfxr 10718	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8		ltxr 12536	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	6, 7, 8	mp2an 692	. 2 ⊢ (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
10	5, 9	mpbir 234	1 ⊢ -∞ < +∞

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  ℝcr 10559   <_ℝ cltrr 10564  +∞cpnf 10695  -∞cmnf 10696  ℝ^*cxr 10697   < clt 10698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-ral 3073  df-rex 3074  df-v 3409  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-br 5026  df-opab 5088  df-xp 5523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703

This theorem is referenced by:  mnfltxr  12548  xrlttri  12558  xrlttr  12559  xltnegi  12635  supxrltinfxr  42438  liminflelimsupcex  42790