Theorem mnfltpnf 13101

Description: Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfltpnf	⊢ -∞ < +∞

Proof of Theorem mnfltpnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ -∞ = -∞
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
3		olc 867	. . . 4 ⊢ ((-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞) → (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)))
4	1, 2, 3	mp2an 691	. . 3 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞))
5	4	orci 864	. 2 ⊢ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))
6		mnfxr 11266	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
7		pnfxr 11263	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
8		ltxr 13090	. . 3 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ)))))
9	6, 7, 8	mp2an 691	. 2 ⊢ (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ) ∧ -∞ <ℝ +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ = +∞)) ∨ ((-∞ ∈ ℝ ∧ +∞ = +∞) ∨ (-∞ = -∞ ∧ +∞ ∈ ℝ))))
10	5, 9	mpbir 230	1 ⊢ -∞ < +∞

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5146  ℝcr 11104   <_ℝ cltrr 11109  +∞cpnf 11240  -∞cmnf 11241  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-br 5147  df-opab 5209  df-xp 5680  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248

This theorem is referenced by:  mnfltxr  13102  xrlttri  13113  xrlttr  13114  xltnegi  13190  supxrltinfxr  44093  liminflelimsupcex  44447