Theorem nmogtmnf 31372

Description: The norm of an operator is greater than minus infinity. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoxr.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
nmogtmnf	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → -∞ < (𝑁‘𝑇))

Proof of Theorem nmogtmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoxr.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nmoxr.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		nmoxr.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
4	1, 2, 3	nmorepnf 31370	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁‘𝑇) ≠ +∞))
5		df-ne 2956	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ (𝑁‘𝑇) = +∞)
6	4, 5	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (𝑁‘𝑇) = +∞))
7		xor3 385	. . 3 ⊢ (¬ ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁‘𝑇) = +∞) ↔ ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (𝑁‘𝑇) = +∞))
8		nbior 901	. . 3 ⊢ (¬ ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁‘𝑇) = +∞) → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝑇) = +∞))
9	7, 8	sylbir 238	. 2 ⊢ (((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (𝑁‘𝑇) = +∞) → ((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝑇) = +∞))
10		mnfltxr 13256	. 2 ⊢ (((𝑁‘𝑇) ∈ ℝ ∨ (𝑁‘𝑇) = +∞) → -∞ < (𝑁‘𝑇))
11	6, 9, 10	3syl 19	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋⟶𝑌) → -∞ < (𝑁‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  +∞cpnf 11340  -∞cmnf 11341   < clt 11343  NrmCVeccnv 31186  BaseSetcba 31188   normOp_OLD cnmoo 31343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-nmcv 31202  df-nmoo 31347

This theorem is used by:  nmobndi  31377  nmblore  31388  ubthlem3  31474