MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrgtmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrgtmnf 12361
Description: The supremum of a nonempty set of reals is greater than minus infinity. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrgtmnf ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrgtmnf
StepHypRef Expression
1 supxrbnd 12360 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
213expia 1150 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
32con3d 149 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
4 ressxr 10337 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℝ*
5 sstr 3769 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
64, 5mpan2 682 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
7 supxrcl 12347 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
98adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 nltpnft 12197 . . . . 5 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞))
123, 11sylibrd 250 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
1312orrd 889 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∨ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
14 mnfltxr 12161 . 2 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∨ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
1513, 14syl 17 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → -∞ < sup(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809  supcsup 8553  cr 10188  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523
This theorem is referenced by:  supxrre1  12362  ovolunlem1a  23554  suplesup  40125
  Copyright terms: Public domain W3C validator