Theorem mstps 22762

Description: A metric space is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mstps	⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝑀 ∈ TopSp)

Proof of Theorem mstps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msxms 22761	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝑀 ∈ ∞MetSp)
2		xmstps 22760	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ∞MetSp → 𝑀 ∈ TopSp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → 𝑀 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050  TopSpctps 21238  ∞MetSpcxms 22624  MetSpcms 22625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-ext 2744

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-xp 5407  df-res 5413  df-iota 6146  df-fv 6190  df-xms 22627  df-ms 22628

This theorem is referenced by:  ngptps  22908  ngptgp  22942  cnfldtps  23083  cnmpt1ds  23147  cnmpt2ds  23148  rlmbn  23661  rrhcn  30882  sitgclbn  31246