MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngptgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngptgp 24563
Description: A normed abelian group is a topological group (with the topology induced by the metric induced by the norm). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngptgp ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ๐บ โˆˆ TopGrp)

Proof of Theorem ngptgp
Dummy variables ๐‘ข ๐‘Ÿ ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 24526 . . 3 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
21adantr 479 . 2 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3 ngpms 24527 . . . 4 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ๐บ โˆˆ MetSp)
43adantr 479 . . 3 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ๐บ โˆˆ MetSp)
5 mstps 24379 . . 3 (๐บ โˆˆ MetSp โ†’ ๐บ โˆˆ TopSp)
64, 5syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ๐บ โˆˆ TopSp)
7 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
8 eqid 2727 . . . . . 6 (-gโ€˜๐บ) = (-gโ€˜๐บ)
97, 8grpsubf 18980 . . . . 5 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (-gโ€˜๐บ):((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
102, 9syl 17 . . . 4 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ (-gโ€˜๐บ):((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
11 rphalfcl 13039 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ง / 2) โˆˆ โ„+)
12 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel))
1312, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐บ โˆˆ MetSp)
14 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)))
1514simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
16 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
17 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (distโ€˜๐บ) = (distโ€˜๐บ)
187, 17mscl 24385 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ MetSp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) โˆˆ โ„)
1913, 15, 16, 18syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) โˆˆ โ„)
2014simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
21 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
227, 17mscl 24385 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ MetSp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ โ„)
2313, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ โ„)
24 rpre 13020 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
2524ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
26 lt2halves 12483 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
2719, 23, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
2812, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
297, 8grpsubcl 18981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
3028, 15, 20, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
317, 8grpsubcl 18981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
3228, 16, 21, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
337, 8grpsubcl 18981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
3428, 16, 20, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
357, 17mstri 24393 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ MetSp โˆง ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โ‰ค (((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)) + ((๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ))))
3613, 30, 32, 34, 35syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โ‰ค (((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)) + ((๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ))))
3712simpld 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐บ โˆˆ NrmGrp)
387, 8, 17ngpsubcan 24541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข))
3937, 15, 16, 20, 38syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข))
40 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
41 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
427, 40, 41, 8grpsubval 18947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)))
4316, 20, 42syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)))
447, 40, 41, 8grpsubval 18947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) = (๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)))
4544adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) = (๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)))
4643, 45oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) = ((๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ))))
477, 41grpinvcl 18949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
4828, 20, 47syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
497, 41grpinvcl 18949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
5028, 21, 49syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
517, 40, 17ngplcan 24538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)))
5212, 48, 50, 16, 51syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)))
537, 41, 17ngpinvds 24540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)) = (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ))
5412, 20, 21, 53syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)) = (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ))
5546, 52, 543eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) = (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ))
5639, 55oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)) + ((๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ))) = ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)))
5736, 56breqtrd 5176 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โ‰ค ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)))
587, 17mscl 24385 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ MetSp โˆง (๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆˆ โ„)
5913, 30, 32, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆˆ โ„)
6019, 23readdcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆˆ โ„)
61 lelttr 11340 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โ‰ค ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆง ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
6259, 60, 25, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โ‰ค ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆง ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
6357, 62mpand 693 . . . . . . . . . 10 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
6427, 63syld 47 . . . . . . . . 9 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
6515, 16ovresd 7592 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) = (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข))
6665breq1d 5160 . . . . . . . . . 10 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โ†” (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) < (๐‘ง / 2)))
6720, 21ovresd 7592 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) = (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ))
6867breq1d 5160 . . . . . . . . . 10 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2) โ†” (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)))
6966, 68anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†” ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2))))
7030, 32ovresd 7592 . . . . . . . . . 10 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) = ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)))
7170breq1d 5160 . . . . . . . . 9 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง โ†” ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
7264, 69, 713imtr4d 293 . . . . . . . 8 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
7372ralrimivva 3196 . . . . . . 7 ((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
74 breq2 5154 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = (๐‘ง / 2) โ†’ ((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2)))
75 breq2 5154 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = (๐‘ง / 2) โ†’ ((๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)))
7674, 75anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = (๐‘ง / 2) โ†’ (((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†” ((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2))))
7776imbi1d 340 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = (๐‘ง / 2) โ†’ ((((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง) โ†” (((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง)))
78772ralbidv 3214 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = (๐‘ง / 2) โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง)))
7978rspcev 3609 . . . . . . 7 (((๐‘ง / 2) โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
8011, 73, 79syl2an2 684 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
8180ralrimiva 3142 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
8281ralrimivva 3196 . . . 4 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
83 msxms 24378 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ MetSp โ†’ ๐บ โˆˆ โˆžMetSp)
84 eqid 2727 . . . . . . 7 ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) = ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))
857, 84xmsxmet 24380 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ โˆžMetSp โ†’ ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) โˆˆ (โˆžMetโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
864, 83, 853syl 18 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) โˆˆ (โˆžMetโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
87 eqid 2727 . . . . . 6 (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))
8887, 87, 87txmetcn 24475 . . . . 5 ((((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) โˆˆ (โˆžMetโ€˜(Baseโ€˜๐บ)) โˆง ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) โˆˆ (โˆžMetโ€˜(Baseโ€˜๐บ)) โˆง ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) โˆˆ (โˆžMetโ€˜(Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((-gโ€˜๐บ) โˆˆ (((MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) ร—t (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) Cn (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) โ†” ((-gโ€˜๐บ):((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))โŸถ(Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))))
8986, 86, 86, 88syl3anc 1368 . . . 4 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ((-gโ€˜๐บ) โˆˆ (((MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) ร—t (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) Cn (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) โ†” ((-gโ€˜๐บ):((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))โŸถ(Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))))
9010, 82, 89mpbir2and 711 . . 3 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ (-gโ€˜๐บ) โˆˆ (((MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) ร—t (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) Cn (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))))
91 eqid 2727 . . . . . . 7 (TopOpenโ€˜๐บ) = (TopOpenโ€˜๐บ)
9291, 7, 84mstopn 24376 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ MetSp โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))))
934, 92syl 17 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))))
9493, 93oveq12d 7442 . . . 4 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) = ((MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) ร—t (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))))
9594, 93oveq12d 7442 . . 3 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)) = (((MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) ร—t (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) Cn (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))))
9690, 95eleqtrrd 2831 . 2 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ (-gโ€˜๐บ) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
9791, 8istgp2 24013 . 2 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐บ โˆˆ TopSp โˆง (-gโ€˜๐บ) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ))))
982, 6, 96, 97syl3anbrc 1340 1 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ๐บ โˆˆ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3057  โˆƒwrex 3066   class class class wbr 5150   ร— cxp 5678   โ†พ cres 5682  โŸถwf 6547  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„cr 11143   + caddc 11147   < clt 11284   โ‰ค cle 11285   / cdiv 11907  2c2 12303  โ„+crp 13012  Basecbs 17185  +gcplusg 17238  distcds 17247  TopOpenctopn 17408  Grpcgrp 18895  invgcminusg 18896  -gcsg 18897  Abelcabl 19741  โˆžMetcxmet 21269  MetOpencmopn 21274  TopSpctps 22852   Cn ccn 23146   ร—t ctx 23482  TopGrpctgp 23993  โˆžMetSpcxms 24241  MetSpcms 24242  NrmGrpcngp 24504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-plusf 18604  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-tmd 23994  df-tgp 23995  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-nm 24509  df-ngp 24510
This theorem is referenced by:  nrgtgp  24607  nlmtlm  24629
  Copyright terms: Public domain W3C validator