MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngptgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngptgp 24496
Description: A normed abelian group is a topological group (with the topology induced by the metric induced by the norm). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ngptgp ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ๐บ โˆˆ TopGrp)

Proof of Theorem ngptgp
Dummy variables ๐‘ข ๐‘Ÿ ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 24459 . . 3 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
21adantr 480 . 2 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3 ngpms 24460 . . . 4 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ๐บ โˆˆ MetSp)
43adantr 480 . . 3 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ๐บ โˆˆ MetSp)
5 mstps 24312 . . 3 (๐บ โˆˆ MetSp โ†’ ๐บ โˆˆ TopSp)
64, 5syl 17 . 2 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ๐บ โˆˆ TopSp)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (-gโ€˜๐บ) = (-gโ€˜๐บ)
97, 8grpsubf 18945 . . . . 5 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (-gโ€˜๐บ):((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
102, 9syl 17 . . . 4 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ (-gโ€˜๐บ):((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
11 rphalfcl 13004 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ง / 2) โˆˆ โ„+)
12 simplll 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel))
1312, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐บ โˆˆ MetSp)
14 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)))
1514simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
16 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
17 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (distโ€˜๐บ) = (distโ€˜๐บ)
187, 17mscl 24318 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ MetSp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) โˆˆ โ„)
1913, 15, 16, 18syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) โˆˆ โ„)
2014simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
21 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
227, 17mscl 24318 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ MetSp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ โ„)
2313, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ โ„)
24 rpre 12985 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
2524ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
26 lt2halves 12448 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
2719, 23, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
2812, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
297, 8grpsubcl 18946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
3028, 15, 20, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
317, 8grpsubcl 18946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
3228, 16, 21, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
337, 8grpsubcl 18946 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
3428, 16, 20, 33syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
357, 17mstri 24326 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ MetSp โˆง ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โ‰ค (((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)) + ((๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ))))
3613, 30, 32, 34, 35syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โ‰ค (((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)) + ((๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ))))
3712simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ๐บ โˆˆ NrmGrp)
387, 8, 17ngpsubcan 24474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข))
3937, 15, 16, 20, 38syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข))
40 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
41 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
427, 40, 41, 8grpsubval 18913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)))
4316, 20, 42syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)))
447, 40, 41, 8grpsubval 18913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) = (๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) = (๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)))
4643, 45oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) = ((๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ))))
477, 41grpinvcl 18915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
4828, 20, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
497, 41grpinvcl 18915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
5028, 21, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))
517, 40, 17ngplcan 24471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)))
5212, 48, 50, 16, 51syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ))(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(+gโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ))) = (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)))
537, 41, 17ngpinvds 24473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)) = (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ))
5412, 20, 21, 53syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฃ)) = (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ))
5546, 52, 543eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) = (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ))
5639, 55oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)) + ((๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ))) = ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)))
5736, 56breqtrd 5167 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โ‰ค ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)))
587, 17mscl 24318 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ MetSp โˆง (๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง (๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ) โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆˆ โ„)
5913, 30, 32, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆˆ โ„)
6019, 23readdcld 11244 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆˆ โ„)
61 lelttr 11305 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โ‰ค ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆง ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
6259, 60, 25, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โ‰ค ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) โˆง ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
6357, 62mpand 692 . . . . . . . . . 10 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) + (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
6427, 63syld 47 . . . . . . . . 9 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
6515, 16ovresd 7570 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) = (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข))
6665breq1d 5151 . . . . . . . . . 10 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โ†” (๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) < (๐‘ง / 2)))
6720, 21ovresd 7570 . . . . . . . . . . 11 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) = (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ))
6867breq1d 5151 . . . . . . . . . 10 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2) โ†” (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)))
6966, 68anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†” ((๐‘ฅ(distโ€˜๐บ)๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ(distโ€˜๐บ)๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2))))
7030, 32ovresd 7570 . . . . . . . . . 10 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) = ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)))
7170breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง โ†” ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)(distโ€˜๐บ)(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
7264, 69, 713imtr4d 294 . . . . . . . 8 (((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ (((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
7372ralrimivva 3194 . . . . . . 7 ((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โ†’ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
74 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = (๐‘ง / 2) โ†’ ((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2)))
75 breq2 5145 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = (๐‘ง / 2) โ†’ ((๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ โ†” (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)))
7674, 75anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = (๐‘ง / 2) โ†’ (((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†” ((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2))))
7776imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = (๐‘ง / 2) โ†’ ((((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง) โ†” (((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง)))
78772ralbidv 3212 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = (๐‘ง / 2) โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง)))
7978rspcev 3606 . . . . . . 7 (((๐‘ง / 2) โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < (๐‘ง / 2) โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < (๐‘ง / 2)) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
8011, 73, 79syl2an2 683 . . . . . 6 ((((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
8180ralrimiva 3140 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
8281ralrimivva 3194 . . . 4 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))
83 msxms 24311 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ MetSp โ†’ ๐บ โˆˆ โˆžMetSp)
84 eqid 2726 . . . . . . 7 ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) = ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))
857, 84xmsxmet 24313 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ โˆžMetSp โ†’ ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) โˆˆ (โˆžMetโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
864, 83, 853syl 18 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) โˆˆ (โˆžMetโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
87 eqid 2726 . . . . . 6 (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))
8887, 87, 87txmetcn 24408 . . . . 5 ((((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) โˆˆ (โˆžMetโ€˜(Baseโ€˜๐บ)) โˆง ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) โˆˆ (โˆžMetโ€˜(Baseโ€˜๐บ)) โˆง ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))) โˆˆ (โˆžMetโ€˜(Baseโ€˜๐บ))) โ†’ ((-gโ€˜๐บ) โˆˆ (((MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) ร—t (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) Cn (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) โ†” ((-gโ€˜๐บ):((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))โŸถ(Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))))
8986, 86, 86, 88syl3anc 1368 . . . 4 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ((-gโ€˜๐บ) โˆˆ (((MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) ร—t (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) Cn (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) โ†” ((-gโ€˜๐บ):((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))โŸถ(Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)(((๐‘ฅ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ข) < ๐‘Ÿ โˆง (๐‘ฆ((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))๐‘ฃ) < ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ฅ(-gโ€˜๐บ)๐‘ฆ)((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))(๐‘ข(-gโ€˜๐บ)๐‘ฃ)) < ๐‘ง))))
9010, 82, 89mpbir2and 710 . . 3 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ (-gโ€˜๐บ) โˆˆ (((MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) ร—t (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) Cn (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))))
91 eqid 2726 . . . . . . 7 (TopOpenโ€˜๐บ) = (TopOpenโ€˜๐บ)
9291, 7, 84mstopn 24309 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ MetSp โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))))
934, 92syl 17 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) = (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))))
9493, 93oveq12d 7422 . . . 4 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) = ((MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) ร—t (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))))
9594, 93oveq12d 7422 . . 3 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)) = (((MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ)))) ร—t (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))) Cn (MetOpenโ€˜((distโ€˜๐บ) โ†พ ((Baseโ€˜๐บ) ร— (Baseโ€˜๐บ))))))
9690, 95eleqtrrd 2830 . 2 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ (-gโ€˜๐บ) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
9791, 8istgp2 23946 . 2 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐บ โˆˆ TopSp โˆง (-gโ€˜๐บ) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) ร—t (TopOpenโ€˜๐บ)) Cn (TopOpenโ€˜๐บ))))
982, 6, 96, 97syl3anbrc 1340 1 ((๐บ โˆˆ NrmGrp โˆง ๐บ โˆˆ Abel) โ†’ ๐บ โˆˆ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141   ร— cxp 5667   โ†พ cres 5671  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108   + caddc 11112   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   / cdiv 11872  2c2 12268  โ„+crp 12977  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  distcds 17213  TopOpenctopn 17374  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  -gcsg 18863  Abelcabl 19699  โˆžMetcxmet 21221  MetOpencmopn 21226  TopSpctps 22785   Cn ccn 23079   ร—t ctx 23415  TopGrpctgp 23926  โˆžMetSpcxms 24174  MetSpcms 24175  NrmGrpcngp 24437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-plusf 18570  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-tmd 23927  df-tgp 23928  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-nm 24442  df-ngp 24443
This theorem is referenced by:  nrgtgp  24540  nlmtlm  24562
  Copyright terms: Public domain W3C validator