Theorem rrhcn 33497

Description: If the topology of 𝑅 is Hausdorff, and 𝑅 is a complete uniform space, then the canonical homomorphism from the real numbers to 𝑅 is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrhf.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
rrhf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rrhf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrhf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
rrhf.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
rrhf.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
rrhf.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
rrhf.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
rrhf.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
rrhf.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
rrhf.6	⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
rrhcn	⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem rrhcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrhf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		nrgngp 24523	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		ngpxms 24454	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5		xmstps 24303	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)
7		rrhf.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
8		rrhf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
9	7, 8	rrhval 33496	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → (ℝHom‘𝑅) = ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)))
10	6, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) = ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)))
11		rebase 21488	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
12		rrhf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		retopn 25251	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
14	7, 13	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℝfld)
15		eqid 2724	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘ℝfld)
16		df-refld 21487	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
17	16	oveq1i 7412	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ↾s ℚ) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ)
18		reex 11198	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
19		qssre 12942	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
20		ressabs 17199	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ))
21	18, 19, 20	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
22	17, 21	eqtr2i 2753	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℝfld ↾s ℚ)
23	22	fveq2i 6885	. . 3 ⊢ (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (UnifSt‘(ℝfld ↾s ℚ))
24		eqid 2724	. . 3 ⊢ (UnifSt‘𝑅) = (UnifSt‘𝑅)
25		recms 25252	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CMetSp
26		cmsms 25220	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ CMetSp → ℝfld ∈ MetSp)
27		mstps 24305	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ MetSp → ℝfld ∈ TopSp)
28	25, 26, 27	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ TopSp
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝfld ∈ TopSp)
30		recusp 25254	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
31		cuspusp 24149	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ CUnifSp → ℝfld ∈ UnifSp)
32	30, 31	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝfld ∈ UnifSp)
33		rrhf.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
34		rrhf.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
35	8, 12, 34	xmstopn 24301	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘𝐷))
36	4, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (MetOpen‘𝐷))
37	12, 34	xmsxmet 24306	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
38		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
39	38	methaus 24373	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
40	4, 37, 39	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
41	36, 40	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
42	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ ℝ)
43		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
44		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ))
45	34	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (metUnif‘𝐷) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
46		rrhf.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
47		rrhf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
48		rrhf.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
49		rrhf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
50	12, 43, 44, 45, 46, 1, 47, 48, 49	qqhucn 33492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) Cnu(metUnif‘𝐷)))
51		rrhf.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
52	51	eqcomd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (metUnif‘𝐷) = (UnifSt‘𝑅))
53	52	oveq2d 7418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) Cnu(metUnif‘𝐷)) = ((UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) Cnu(UnifSt‘𝑅)))
54	50, 53	eleqtrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) Cnu(UnifSt‘𝑅)))
55	7	fveq2i 6885	. . . . . 6 ⊢ (cls‘𝐽) = (cls‘(topGen‘ran (,)))
56	55	fveq1i 6883	. . . . 5 ⊢ ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
57		qdensere 24630	. . . . 5 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
58	56, 57	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ
59	58	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ)
60	11, 12, 14, 8, 15, 23, 24, 29, 32, 6, 33, 41, 42, 54, 59	ucnextcn 24153	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
61	10, 60	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ⊆ wss 3941   × cxp 5665  ran crn 5668   ↾ cres 5669  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  0cc0 11107  ℚcq 12931  (,)cioo 13325  Basecbs 17149   ↾_s cress 17178  distcds 17211  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  DivRingcdr 20583  ∞Metcxmet 21219  MetOpencmopn 21224  metUnifcmetu 21225  ℂ_fldccnfld 21234  ℤModczlm 21376  chrcchr 21377  ℝ_fldcrefld 21486  TopSpctps 22778  clsccl 22866   Cn ccn 23072  Hauscha 23156  CnExtccnext 23907  UnifStcuss 24102  UnifSpcusp 24103   Cn_ucucn 24124  CUnifSpccusp 24146  ∞MetSpcxms 24167  MetSpcms 24168  NrmGrpcngp 24430  NrmRingcnrg 24432  NrmModcnlm 24433  CMetSpccms 25204  ℚHomcqqh 33472  ℝHomcrrh 33493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-gcd 16439  df-numer 16676  df-denom 16677  df-gz 16868  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-od 19444  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-nzr 20411  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-abv 20656  df-lmod 20704  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-metu 21233  df-cnfld 21235  df-zring 21323  df-zrh 21379  df-zlm 21380  df-chr 21381  df-refld 21487  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-reg 23164  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-fcls 23789  df-cnext 23908  df-ust 24049  df-utop 24080  df-uss 24105  df-usp 24106  df-ucn 24125  df-cfilu 24136  df-cusp 24147  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-nm 24435  df-ngp 24436  df-nrg 24438  df-nlm 24439  df-cncf 24742  df-cfil 25127  df-cmet 25129  df-cms 25207  df-qqh 33473  df-rrh 33495

This theorem is referenced by:  rrhf  33498  rrhcne  33513