Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrhcn 33825
Description: If the topology of 𝑅 is Hausdorff, and 𝑅 is a complete uniform space, then the canonical homomorphism from the real numbers to 𝑅 is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rrhf.d 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
rrhf.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rrhf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrhf.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
rrhf.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
rrhf.1 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
rrhf.2 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
rrhf.3 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
rrhf.4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
rrhf.5 (𝜑𝑅 ∈ CUnifSp)
rrhf.6 (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
Assertion
Ref Expression
rrhcn (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem rrhcn
StepHypRef Expression
1 rrhf.2 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
2 nrgngp 24667 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3 ngpxms 24598 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ∞MetSp)
5 xmstps 24447 . . . 4 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ TopSp)
7 rrhf.j . . . 4 𝐽 = (topGen‘ran (,))
8 rrhf.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
97, 8rrhval 33824 . . 3 (𝑅 ∈ TopSp → (ℝHom‘𝑅) = ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)))
106, 9syl 17 . 2 (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) = ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)))
11 rebase 21598 . . 3 ℝ = (Base‘ℝfld)
12 rrhf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
13 retopn 25395 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
147, 13eqtri 2754 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℝfld)
15 eqid 2726 . . 3 (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘ℝfld)
16 df-refld 21597 . . . . . 6 fld = (ℂflds ℝ)
1716oveq1i 7426 . . . . 5 (ℝflds ℚ) = ((ℂflds ℝ) ↾s ℚ)
18 reex 11240 . . . . . 6 ℝ ∈ V
19 qssre 12989 . . . . . 6 ℚ ⊆ ℝ
20 ressabs 17258 . . . . . 6 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((ℂflds ℝ) ↾s ℚ) = (ℂflds ℚ))
2118, 19, 20mp2an 690 . . . . 5 ((ℂflds ℝ) ↾s ℚ) = (ℂflds ℚ)
2217, 21eqtr2i 2755 . . . 4 (ℂflds ℚ) = (ℝflds ℚ)
2322fveq2i 6896 . . 3 (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = (UnifSt‘(ℝflds ℚ))
24 eqid 2726 . . 3 (UnifSt‘𝑅) = (UnifSt‘𝑅)
25 recms 25396 . . . . 5 fld ∈ CMetSp
26 cmsms 25364 . . . . 5 (ℝfld ∈ CMetSp → ℝfld ∈ MetSp)
27 mstps 24449 . . . . 5 (ℝfld ∈ MetSp → ℝfld ∈ TopSp)
2825, 26, 27mp2b 10 . . . 4 fld ∈ TopSp
2928a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝfld ∈ TopSp)
30 recusp 25398 . . . 4 fld ∈ CUnifSp
31 cuspusp 24293 . . . 4 (ℝfld ∈ CUnifSp → ℝfld ∈ UnifSp)
3230, 31mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ℝfld ∈ UnifSp)
33 rrhf.5 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CUnifSp)
34 rrhf.d . . . . . 6 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
358, 12, 34xmstopn 24445 . . . . 5 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘𝐷))
364, 35syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘𝐷))
3712, 34xmsxmet 24450 . . . . 5 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
38 eqid 2726 . . . . . 6 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3938methaus 24517 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
404, 37, 393syl 18 . . . 4 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
4136, 40eqeltrd 2826 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
4219a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℚ ⊆ ℝ)
43 eqid 2726 . . . . 5 (ℂflds ℚ) = (ℂflds ℚ)
44 eqid 2726 . . . . 5 (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = (UnifSt‘(ℂflds ℚ))
4534fveq2i 6896 . . . . 5 (metUnif‘𝐷) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
46 rrhf.z . . . . 5 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
47 rrhf.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
48 rrhf.3 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
49 rrhf.4 . . . . 5 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
5012, 43, 44, 45, 46, 1, 47, 48, 49qqhucn 33820 . . . 4 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((UnifSt‘(ℂflds ℚ)) Cnu(metUnif‘𝐷)))
51 rrhf.6 . . . . . 6 (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
5251eqcomd 2732 . . . . 5 (𝜑 → (metUnif‘𝐷) = (UnifSt‘𝑅))
5352oveq2d 7432 . . . 4 (𝜑 → ((UnifSt‘(ℂflds ℚ)) Cnu(metUnif‘𝐷)) = ((UnifSt‘(ℂflds ℚ)) Cnu(UnifSt‘𝑅)))
5450, 53eleqtrd 2828 . . 3 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((UnifSt‘(ℂflds ℚ)) Cnu(UnifSt‘𝑅)))
557fveq2i 6896 . . . . . 6 (cls‘𝐽) = (cls‘(topGen‘ran (,)))
5655fveq1i 6894 . . . . 5 ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
57 qdensere 24774 . . . . 5 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
5856, 57eqtri 2754 . . . 4 ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ
5958a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ)
6011, 12, 14, 8, 15, 23, 24, 29, 32, 6, 33, 41, 42, 54, 59ucnextcn 24297 . 2 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6110, 60eqeltrd 2826 1 (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3946   × cxp 5672  ran crn 5675  cres 5676  cfv 6546  (class class class)co 7416  cr 11148  0cc0 11149  cq 12978  (,)cioo 13372  Basecbs 17208  s cress 17237  distcds 17270  TopOpenctopn 17431  topGenctg 17447  DivRingcdr 20703  ∞Metcxmet 21324  MetOpencmopn 21329  metUnifcmetu 21330  fldccnfld 21339  ℤModczlm 21486  chrcchr 21487  fldcrefld 21596  TopSpctps 22922  clsccl 23010   Cn ccn 23216  Hauscha 23300  CnExtccnext 24051  UnifStcuss 24246  UnifSpcusp 24247   Cnucucn 24268  CUnifSpccusp 24290  ∞MetSpcxms 24311  MetSpcms 24312  NrmGrpcngp 24574  NrmRingcnrg 24576  NrmModcnlm 24577  CMetSpccms 25348  ℚHomcqqh 33800  ℝHomcrrh 33821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-dvds 16252  df-gcd 16490  df-numer 16732  df-denom 16733  df-gz 16927  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-mulg 19058  df-subg 19113  df-ghm 19203  df-cntz 19307  df-od 19522  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20312  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-rhm 20450  df-nzr 20491  df-subrng 20524  df-subrg 20549  df-drng 20705  df-abv 20784  df-lmod 20834  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-metu 21338  df-cnfld 21340  df-zring 21433  df-zrh 21489  df-zlm 21490  df-chr 21491  df-refld 21597  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-haus 23307  df-reg 23308  df-cmp 23379  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-fcls 23933  df-cnext 24052  df-ust 24193  df-utop 24224  df-uss 24249  df-usp 24250  df-ucn 24269  df-cfilu 24280  df-cusp 24291  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-nm 24579  df-ngp 24580  df-nrg 24582  df-nlm 24583  df-cncf 24886  df-cfil 25271  df-cmet 25273  df-cms 25351  df-qqh 33801  df-rrh 33823
This theorem is referenced by:  rrhf  33826  rrhcne  33841
  Copyright terms: Public domain W3C validator