Theorem rrhcn 33598

Description: If the topology of 𝑅 is Hausdorff, and 𝑅 is a complete uniform space, then the canonical homomorphism from the real numbers to 𝑅 is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrhf.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
rrhf.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rrhf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrhf.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
rrhf.z	⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
rrhf.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
rrhf.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
rrhf.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
rrhf.4	⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
rrhf.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
rrhf.6	⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))

Assertion

Ref	Expression
rrhcn	⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem rrhcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrhf.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NrmRing)
2		nrgngp 24592	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3		ngpxms 24523	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5		xmstps 24372	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ TopSp)
7		rrhf.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
8		rrhf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
9	7, 8	rrhval 33597	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → (ℝHom‘𝑅) = ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)))
10	6, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) = ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)))
11		rebase 21538	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
12		rrhf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		retopn 25320	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
14	7, 13	eqtri 2756	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℝfld)
15		eqid 2728	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘ℝfld)
16		df-refld 21537	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
17	16	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ↾s ℚ) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ)
18		reex 11230	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
19		qssre 12974	. . . . . 6 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
20		ressabs 17230	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ))
21	18, 19, 20	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
22	17, 21	eqtr2i 2757	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℝfld ↾s ℚ)
23	22	fveq2i 6900	. . 3 ⊢ (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (UnifSt‘(ℝfld ↾s ℚ))
24		eqid 2728	. . 3 ⊢ (UnifSt‘𝑅) = (UnifSt‘𝑅)
25		recms 25321	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CMetSp
26		cmsms 25289	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ CMetSp → ℝfld ∈ MetSp)
27		mstps 24374	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ MetSp → ℝfld ∈ TopSp)
28	25, 26, 27	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ TopSp
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝfld ∈ TopSp)
30		recusp 25323	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
31		cuspusp 24218	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ CUnifSp → ℝfld ∈ UnifSp)
32	30, 31	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝfld ∈ UnifSp)
33		rrhf.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CUnifSp)
34		rrhf.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
35	8, 12, 34	xmstopn 24370	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘𝐷))
36	4, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (MetOpen‘𝐷))
37	12, 34	xmsxmet 24375	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
38		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
39	38	methaus 24442	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
40	4, 37, 39	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
41	36, 40	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
42	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℚ ⊆ ℝ)
43		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℚ) = (ℂfld ↾s ℚ)
44		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) = (UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ))
45	34	fveq2i 6900	. . . . 5 ⊢ (metUnif‘𝐷) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
46		rrhf.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
47		rrhf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
48		rrhf.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ NrmMod)
49		rrhf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
50	12, 43, 44, 45, 46, 1, 47, 48, 49	qqhucn 33593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) Cnu(metUnif‘𝐷)))
51		rrhf.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
52	51	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (metUnif‘𝐷) = (UnifSt‘𝑅))
53	52	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) Cnu(metUnif‘𝐷)) = ((UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) Cnu(UnifSt‘𝑅)))
54	50, 53	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((UnifSt‘(ℂfld ↾s ℚ)) Cnu(UnifSt‘𝑅)))
55	7	fveq2i 6900	. . . . . 6 ⊢ (cls‘𝐽) = (cls‘(topGen‘ran (,)))
56	55	fveq1i 6898	. . . . 5 ⊢ ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
57		qdensere 24699	. . . . 5 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
58	56, 57	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ
59	58	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ)
60	11, 12, 14, 8, 15, 23, 24, 29, 32, 6, 33, 41, 42, 54, 59	ucnextcn 24222	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
61	10, 60	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947   × cxp 5676  ran crn 5679   ↾ cres 5680  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  0cc0 11139  ℚcq 12963  (,)cioo 13357  Basecbs 17180   ↾_s cress 17209  distcds 17242  TopOpenctopn 17403  topGenctg 17419  DivRingcdr 20624  ∞Metcxmet 21264  MetOpencmopn 21269  metUnifcmetu 21270  ℂ_fldccnfld 21279  ℤModczlm 21426  chrcchr 21427  ℝ_fldcrefld 21536  TopSpctps 22847  clsccl 22935   Cn ccn 23141  Hauscha 23225  CnExtccnext 23976  UnifStcuss 24171  UnifSpcusp 24172   Cn_ucucn 24193  CUnifSpccusp 24215  ∞MetSpcxms 24236  MetSpcms 24237  NrmGrpcngp 24499  NrmRingcnrg 24501  NrmModcnlm 24502  CMetSpccms 25273  ℚHomcqqh 33573  ℝHomcrrh 33594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-numer 16707  df-denom 16708  df-gz 16899  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-od 19483  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-rhm 20411  df-nzr 20452  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-drng 20626  df-abv 20697  df-lmod 20745  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-metu 21278  df-cnfld 21280  df-zring 21373  df-zrh 21429  df-zlm 21430  df-chr 21431  df-refld 21537  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-reg 23233  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-fcls 23858  df-cnext 23977  df-ust 24118  df-utop 24149  df-uss 24174  df-usp 24175  df-ucn 24194  df-cfilu 24205  df-cusp 24216  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nrg 24507  df-nlm 24508  df-cncf 24811  df-cfil 25196  df-cmet 25198  df-cms 25276  df-qqh 33574  df-rrh 33596

This theorem is referenced by:  rrhf  33599  rrhcne  33614