Theorem cnmpt2ds 24827

Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt22f 23658 which cannot be used directly because 𝐷 is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1ds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
cnmpt1ds.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
cnmpt1ds.r	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
cnmpt1ds.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
cnmpt1ds.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt2ds.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmpt2ds.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2ds.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2ds	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2ds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1ds.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		cnmpt2ds.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
3		txtopon 23574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
5		cnmpt1ds.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
6		mstps 24438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ TopSp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
8		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9		cnmpt1ds.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10	8, 9	istps 22917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	7, 10	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
12		cnmpt2ds.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
13		cnf2 23232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
14	4, 11, 12, 13	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
15		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)
16	15	fmpo 8010	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
17	14, 16	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
18	17	r19.21bi 3231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
19	18	r19.21bi 3231	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
20		cnmpt2ds.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
21		cnf2 23232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
22	4, 11, 20, 21	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
23		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵)
24	23	fmpo 8010	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
25	22, 24	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
26	25	r19.21bi 3231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
27	26	r19.21bi 3231	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
28	19, 27	ovresd 7523	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
29	28	3impa 1115	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
30	29	mpoeq3dva 7433	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴𝐷𝐵)))
31		cnmpt1ds.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
32		cnmpt1ds.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
33	8, 31, 9, 32	msdcn 24825	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
34	5, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
35	1, 2, 12, 20, 34	cnmpt22f 23658	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝑅))
36	30, 35	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   × cxp 5616  ran crn 5619   ↾ cres 5620  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  (,)cioo 13289  Basecbs 17170  distcds 17220  TopOpenctopn 17375  topGenctg 17391  TopOnctopon 22893  TopSpctps 22915   Cn ccn 23207   ×_t ctx 23543  MetSpcms 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-ec 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-ordt 17456  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305

This theorem is referenced by: (None)