MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt2ds 24758
Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt22f 23578 which cannot be used directly because 𝐷 is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ds.d 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
cnmpt1ds.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
cnmpt1ds.r 𝑅 = (topGenβ€˜ran (,))
cnmpt1ds.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
cnmpt1ds.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmpt2ds.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmpt2ds.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2ds.b (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ds (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴𝐷𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐡(π‘₯,𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2ds
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ds.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 cnmpt2ds.l . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
3 txtopon 23494 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
41, 2, 3syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
5 cnmpt1ds.g . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MetSp)
6 mstps 24360 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ MetSp β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
8 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
9 cnmpt1ds.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
108, 9istps 22835 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
117, 10sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
12 cnmpt2ds.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
13 cnf2 23152 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
144, 11, 12, 13syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
15 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
1615fmpo 8072 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
1714, 16sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1817r19.21bi 3245 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1918r19.21bi 3245 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
20 cnmpt2ds.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽))
21 cnf2 23152 . . . . . . . . 9 (((𝐾 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
224, 11, 20, 21syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
23 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡)
2423fmpo 8072 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
2522, 24sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2625r19.21bi 3245 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2726r19.21bi 3245 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2819, 27ovresd 7588 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))𝐡) = (𝐴𝐷𝐡))
29283impa 1108 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴(𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))𝐡) = (𝐴𝐷𝐡))
3029mpoeq3dva 7497 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴(𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴𝐷𝐡)))
31 cnmpt1ds.d . . . . 5 𝐷 = (distβ€˜πΊ)
32 cnmpt1ds.r . . . . 5 𝑅 = (topGenβ€˜ran (,))
338, 31, 9, 32msdcn 24756 . . . 4 (𝐺 ∈ MetSp β†’ (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝑅))
345, 33syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ))) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝑅))
351, 2, 12, 20, 34cnmpt22f 23578 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴(𝐷 β†Ύ ((Baseβ€˜πΊ) Γ— (Baseβ€˜πΊ)))𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑅))
3630, 35eqeltrrd 2830 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ (𝐴𝐷𝐡)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐿) Cn 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   Γ— cxp 5676  ran crn 5679   β†Ύ cres 5680  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  (,)cioo 13356  Basecbs 17179  distcds 17241  TopOpenctopn 17402  topGenctg 17418  TopOnctopon 22811  TopSpctps 22833   Cn ccn 23127   Γ—t ctx 23463  MetSpcms 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-ec 8726  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-ordt 17482  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-ps 18557  df-tsr 18558  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator