Theorem cnmpt2ds 25172

Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt22f 24003 which cannot be used directly because 𝐷 is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1ds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
cnmpt1ds.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
cnmpt1ds.r	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
cnmpt1ds.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
cnmpt1ds.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt2ds.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
cnmpt2ds.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
cnmpt2ds.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt2ds	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑦)   𝐿(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cnmpt2ds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1ds.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		cnmpt2ds.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
3		txtopon 23919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
5		cnmpt1ds.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
6		mstps 24783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ TopSp)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
8		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
9		cnmpt1ds.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10	8, 9	istps 23261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
11	7, 10	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
12		cnmpt2ds.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
13		cnf2 23576	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
14	4, 11, 12, 13	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
15		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴)
16	15	fmpo 8084	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐴):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
17	14, 16	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
18	17	r19.21bi 3254	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
19	18	r19.21bi 3254	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
20		cnmpt2ds.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽))
21		cnf2 23576	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
22	4, 11, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
23		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵)
24	23	fmpo 8084	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵):(𝑋 × 𝑌)⟶(Base‘𝐺))
25	22, 24	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
26	25	r19.21bi 3254	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
27	26	r19.21bi 3254	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
28	19, 27	ovresd 7591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
29	28	3impa 1127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
30	29	mpoeq3dva 7501	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴𝐷𝐵)))
31		cnmpt1ds.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
32		cnmpt1ds.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
33	8, 31, 9, 32	msdcn 25170	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
34	5, 33	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
35	1, 2, 12, 20, 34	cnmpt22f 24003	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝑅))
36	30, 35	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐿) Cn 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   × cxp 5649  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  (,)cioo 13483  Basecbs 17396  distcds 17446  TopOpenctopn 17601  topGenctg 17617  TopOnctopon 23237  TopSpctps 23259   Cn ccn 23551   ×_t ctx 23888  MetSpcms 24646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-ec 8727  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-ordt 17682  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-ps 18749  df-tsr 18750  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650

This theorem is used by: (None)