Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1ds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1ds 23485
 Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt12f 22309 which cannot be used directly because 𝐷 is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ds.d 𝐷 = (dist‘𝐺)
cnmpt1ds.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
cnmpt1ds.r 𝑅 = (topGen‘ran (,))
cnmpt1ds.g (𝜑𝐺 ∈ MetSp)
cnmpt1ds.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1ds.a (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1ds.b (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1ds (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1ds
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ds.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 cnmpt1ds.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MetSp)
3 mstps 23100 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ TopSp)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
5 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6 cnmpt1ds.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
75, 6istps 21577 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
84, 7sylib 221 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9 cnmpt1ds.a . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
10 cnf2 21892 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶(Base‘𝐺))
111, 8, 9, 10syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶(Base‘𝐺))
1211fvmptelrn 6861 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
13 cnmpt1ds.b . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
14 cnf2 21892 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(Base‘𝐺))
151, 8, 13, 14syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(Base‘𝐺))
1615fvmptelrn 6861 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
1712, 16ovresd 7303 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
1817mpteq2dva 5128 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)))
19 cnmpt1ds.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝐺)
20 cnmpt1ds.r . . . . 5 𝑅 = (topGen‘ran (,))
215, 19, 6, 20msdcn 23484 . . . 4 (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
222, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
231, 9, 13, 22cnmpt12f 22309 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))
2418, 23eqeltrrd 2891 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5113   × cxp 5520  ran crn 5523   ↾ cres 5524  ⟶wf 6325  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  (,)cioo 12743  Basecbs 16492  distcds 16583  TopOpenctopn 16704  topGenctg 16720  TopOnctopon 21553  TopSpctps 21575   Cn ccn 21867   ×t ctx 22203  MetSpcms 22963 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618  ax-pre-sup 10619 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7397  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7824  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-ec 8289  df-map 8406  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-div 11302  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11987  df-dec 12104  df-uz 12249  df-q 12354  df-rp 12395  df-xneg 12512  df-xadd 12513  df-xmul 12514  df-ioo 12747  df-ioc 12748  df-ico 12749  df-icc 12750  df-fz 12903  df-fzo 13046  df-seq 13382  df-exp 13443  df-hash 13704  df-cj 14467  df-re 14468  df-im 14469  df-sqrt 14603  df-abs 14604  df-struct 16494  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-ip 16592  df-tset 16593  df-ple 16594  df-ds 16596  df-hom 16598  df-cco 16599  df-rest 16705  df-topn 16706  df-0g 16724  df-gsum 16725  df-topgen 16726  df-pt 16727  df-prds 16730  df-ordt 16783  df-xrs 16784  df-qtop 16789  df-imas 16790  df-xps 16792  df-mre 16866  df-mrc 16867  df-acs 16869  df-ps 17819  df-tsr 17820  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-submnd 17966  df-mulg 18235  df-cntz 18457  df-cmn 18918  df-psmet 20101  df-xmet 20102  df-met 20103  df-bl 20104  df-mopn 20105  df-top 21537  df-topon 21554  df-topsp 21576  df-bases 21589  df-cn 21870  df-cnp 21871  df-tx 22205  df-hmeo 22398  df-xms 22965  df-ms 22966  df-tms 22967 This theorem is referenced by:  nmcn  23487
 Copyright terms: Public domain W3C validator