Theorem cnmpt1ds 24865

Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt12f 23675 which cannot be used directly because 𝐷 is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1ds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
cnmpt1ds.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
cnmpt1ds.r	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
cnmpt1ds.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
cnmpt1ds.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1ds.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1ds.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1ds	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1ds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1ds.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		cnmpt1ds.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
3		mstps 24466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ TopSp)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6		cnmpt1ds.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
7	5, 6	istps 22941	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
8	4, 7	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9		cnmpt1ds.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
10		cnf2 23258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶(Base‘𝐺))
11	1, 8, 9, 10	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶(Base‘𝐺))
12	11	fvmptelcdm 7132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
13		cnmpt1ds.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
14		cnf2 23258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶(Base‘𝐺))
15	1, 8, 13, 14	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶(Base‘𝐺))
16	15	fvmptelcdm 7132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
17	12, 16	ovresd 7601	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
18	17	mpteq2dva 5241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)))
19		cnmpt1ds.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
20		cnmpt1ds.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
21	5, 19, 6, 20	msdcn 24864	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
22	2, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
23	1, 9, 13, 22	cnmpt12f 23675	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))
24	18, 23	eqeltrrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5224   × cxp 5682  ran crn 5685   ↾ cres 5686  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  (,)cioo 13388  Basecbs 17248  distcds 17307  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  TopOnctopon 22917  TopSpctps 22939   Cn ccn 23233   ×_t ctx 23569  MetSpcms 24329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-ec 8748  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-ps 18612  df-tsr 18613  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333

This theorem is referenced by:  nmcn  24867