Theorem cnmpt1ds 23739

Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt12f 22563 which cannot be used directly because 𝐷 is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmpt1ds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
cnmpt1ds.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
cnmpt1ds.r	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
cnmpt1ds.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
cnmpt1ds.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1ds.a	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1ds.b	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1ds	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1ds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmpt1ds.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		cnmpt1ds.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MetSp)
3		mstps 23353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → 𝐺 ∈ TopSp)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6		cnmpt1ds.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
7	5, 6	istps 21831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
8	4, 7	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
9		cnmpt1ds.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
10		cnf2 22146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶(Base‘𝐺))
11	1, 8, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴):𝑋⟶(Base‘𝐺))
12	11	fvmptelrn 6930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
13		cnmpt1ds.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
14		cnf2 22146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶(Base‘𝐺))
15	1, 8, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵):𝑋⟶(Base‘𝐺))
16	15	fvmptelrn 6930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘𝐺))
17	12, 16	ovresd 7375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
18	17	mpteq2dva 5150	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)))
19		cnmpt1ds.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
20		cnmpt1ds.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
21	5, 19, 6, 20	msdcn 23738	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
22	2, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝑅))
23	1, 9, 13, 22	cnmpt12f 22563	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴(𝐷 ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))
24	18, 23	eqeltrrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐷𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ↦ cmpt 5135   × cxp 5549  ran crn 5552   ↾ cres 5553  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  (,)cioo 12935  Basecbs 16760  distcds 16811  TopOpenctopn 16926  topGenctg 16942  TopOnctopon 21807  TopSpctps 21829   Cn ccn 22121   ×_t ctx 22457  MetSpcms 23216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-ec 8393  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-ordt 17006  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-ps 18072  df-tsr 18073  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220

This theorem is referenced by:  nmcn  23741