Theorem rlmbn 25501

Description: The ring module over a complete normed division ring is a Banach space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmbn	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (ringLMod‘𝑅) ∈ Ban)

Proof of Theorem rlmbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ CMetSp)
2		cmsms 25488	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CMetSp → 𝑅 ∈ MetSp)
3		mstps 24593	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ TopSp)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
7	5, 6	tpsuni 23074	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → (Base‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅))
8	4, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (Base‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅))
9	6	tpstop 23075	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → (TopOpen‘𝑅) ∈ Top)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅)
11	10	topcld 23173	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ∈ Top → ∪ (TopOpen‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)))
12	4, 9, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → ∪ (TopOpen‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)))
13	8, 12	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (Base‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)))
14	5	ressid 17305	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
15	14	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
16		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ DivRing)
17	15, 16	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ DivRing)
18		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ NrmRing)
19		nrgring 24801	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ Ring)
21	5	subrgid 20659	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
23		rlmval 21293	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
24	23, 6	srabn 25500	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp ∧ (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((ringLMod‘𝑅) ∈ Ban ↔ ((Base‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ DivRing)))
25	18, 1, 22, 24	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → ((ringLMod‘𝑅) ∈ Ban ↔ ((Base‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ DivRing)))
26	13, 17, 25	mpbir2and 725	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (ringLMod‘𝑅) ∈ Ban)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∪ cuni 4873  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  TopOpenctopn 17475  Ringcrg 20316  SubRingcsubrg 20655  DivRingcdr 20814  ringLModcrglmod 21274  Topctop 23031  TopSpctps 23070  Clsdccld 23154  MetSpcms 24456  NrmRingcnrg 24717  CMetSpccms 25472  Bancbn 25473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ico 13379  df-icc 13380  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ds 17333  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-topgen 17497  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-abv 20893  df-lmod 20964  df-lvec 21205  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-haus 23453  df-fil 23984  df-flim 24077  df-xms 24458  df-ms 24459  df-nm 24720  df-ngp 24721  df-nrg 24723  df-nlm 24724  df-nvc 24725  df-cfil 25395  df-cmet 25397  df-cms 25475  df-bn 25476

This theorem is referenced by: (None)