Theorem rlmbn 25346

Description: The ring module over a complete normed division ring is a Banach space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmbn	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (ringLMod‘𝑅) ∈ Ban)

Proof of Theorem rlmbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ CMetSp)
2		cmsms 25333	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CMetSp → 𝑅 ∈ MetSp)
3		mstps 24438	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ TopSp)
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
7	5, 6	tpsuni 22919	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → (Base‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅))
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (Base‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅))
9	6	tpstop 22920	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → (TopOpen‘𝑅) ∈ Top)
10		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅)
11	10	topcld 23018	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ∈ Top → ∪ (TopOpen‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)))
12	4, 9, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → ∪ (TopOpen‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)))
13	8, 12	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (Base‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)))
14	5	ressid 17205	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
15	14	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
16		simp2 1143	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ DivRing)
17	15, 16	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ DivRing)
18		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ NrmRing)
19		nrgring 24646	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ Ring)
21	5	subrgid 20545	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
23		rlmval 21181	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
24	23, 6	srabn 25345	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp ∧ (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((ringLMod‘𝑅) ∈ Ban ↔ ((Base‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ DivRing)))
25	18, 1, 22, 24	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → ((ringLMod‘𝑅) ∈ Ban ↔ ((Base‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ DivRing)))
26	13, 17, 25	mpbir2and 719	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (ringLMod‘𝑅) ∈ Ban)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  TopOpenctopn 17375  Ringcrg 20205  SubRingcsubrg 20541  DivRingcdr 20701  ringLModcrglmod 21162  Topctop 22876  TopSpctps 22915  Clsdccld 22999  MetSpcms 24301  NrmRingcnrg 24562  CMetSpccms 25317  Bancbn 25318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-icc 13296  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ds 17233  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-topgen 17397  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-abv 20781  df-lmod 20852  df-lvec 21093  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-haus 23298  df-fil 23829  df-flim 23922  df-xms 24303  df-ms 24304  df-nm 24565  df-ngp 24566  df-nrg 24568  df-nlm 24569  df-nvc 24570  df-cfil 25240  df-cmet 25242  df-cms 25320  df-bn 25321

This theorem is referenced by: (None)