Theorem rlmbn 25737

Description: The ring module over a complete normed division ring is a Banach space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmbn	⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (ringLMod‘𝑅) ∈ Ban)

Proof of Theorem rlmbn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ CMetSp)
2		cmsms 25724	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CMetSp → 𝑅 ∈ MetSp)
3		mstps 24829	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ TopSp)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
7	5, 6	tpsuni 23309	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → (Base‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅))
8	4, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (Base‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅))
9	6	tpstop 23310	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ TopSp → (TopOpen‘𝑅) ∈ Top)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ∪ (TopOpen‘𝑅) = ∪ (TopOpen‘𝑅)
11	10	topcld 23408	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘𝑅) ∈ Top → ∪ (TopOpen‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)))
12	4, 9, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → ∪ (TopOpen‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)))
13	8, 12	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (Base‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)))
14	5	ressid 17466	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
15	14	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
16		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ DivRing)
17	15, 16	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ DivRing)
18		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ NrmRing)
19		nrgring 25037	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → 𝑅 ∈ Ring)
21	5	subrgid 20876	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
23		rlmval 21517	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
24	23, 6	srabn 25736	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp ∧ (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((ringLMod‘𝑅) ∈ Ban ↔ ((Base‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ DivRing)))
25	18, 1, 22, 24	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → ((ringLMod‘𝑅) ∈ Ban ↔ ((Base‘𝑅) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) ∈ DivRing)))
26	13, 17, 25	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CMetSp) → (ringLMod‘𝑅) ∈ Ban)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  TopOpenctopn 17642  Ringcrg 20510  SubRingcsubrg 20872  DivRingcdr 21031  ringLModcrglmod 21498  Topctop 23266  TopSpctps 23305  Clsdccld 23389  MetSpcms 24692  NrmRingcnrg 24953  CMetSpccms 25708  Bancbn 25709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ico 13522  df-icc 13523  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ds 17495  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-topgen 17664  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-abv 21117  df-lmod 21188  df-lvec 21429  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-haus 23688  df-fil 24220  df-flim 24313  df-xms 24694  df-ms 24695  df-nm 24956  df-ngp 24957  df-nrg 24959  df-nlm 24960  df-nvc 24961  df-cfil 25631  df-cmet 25633  df-cms 25711  df-bn 25712

This theorem is used by: (None)