MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul31 11329
Description: Commutative/associative law. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul31 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด))

Proof of Theorem mul31
StepHypRef Expression
1 mulcom 11144 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
21oveq2d 7378 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
323adant1 1131 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
4 mulass 11146 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
5 mulcl 11142 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
65ancoms 460 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
763adant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
8 simp1 1137 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
97, 8mulcomd 11183 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
103, 4, 93eqtr4d 2787 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-mulcl 11120  ax-mulcom 11122  ax-mulass 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-iota 6453  df-fv 6509  df-ov 7365
This theorem is referenced by:  mul02lem1  11338  addid1  11342  mul31d  11373
  Copyright terms: Public domain W3C validator