![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mul31 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Commutative/associative law. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
mul31 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulcom 11144 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) | |
2 | 1 | oveq2d 7378 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต))) |
3 | 2 | 3adant1 1131 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต))) |
4 | mulass 11146 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ))) | |
5 | mulcl 11142 | . . . . 5 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) | |
6 | 5 | ancoms 460 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
7 | 6 | 3adant1 1131 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
8 | simp1 1137 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ๐ด โ โ) | |
9 | 7, 8 | mulcomd 11183 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต))) |
10 | 3, 4, 9 | 3eqtr4d 2787 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7362 โcc 11056 ยท cmul 11063 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-ext 2708 ax-mulcl 11120 ax-mulcom 11122 ax-mulass 11124 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-sb 2069 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-rab 3411 df-v 3450 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-br 5111 df-iota 6453 df-fv 6509 df-ov 7365 |
This theorem is referenced by: mul02lem1 11338 addid1 11342 mul31d 11373 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |