Theorem mul31 11428

Description: Commutative/associative law. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul31	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · 𝐴))

Proof of Theorem mul31

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom 11241	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
2	1	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
3	2	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
4		mulass 11243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
5		mulcl 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
6	5	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
7	6	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
8		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulcomd 11282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 · 𝐵) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
10	3, 4, 9	3eqtr4d 2787	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐶 · 𝐵) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   · cmul 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-mulcl 11217  ax-mulcom 11219  ax-mulass 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434

This theorem is referenced by:  mul02lem1  11437  addrid  11441  mul31d  11472