![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mul31 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Commutative/associative law. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
mul31 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulcom 11224 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) | |
2 | 1 | oveq2d 7436 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต))) |
3 | 2 | 3adant1 1128 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต))) |
4 | mulass 11226 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ))) | |
5 | mulcl 11222 | . . . . 5 โข ((๐ถ โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) | |
6 | 5 | ancoms 458 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
7 | 6 | 3adant1 1128 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยท ๐ต) โ โ) |
8 | simp1 1134 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ๐ด โ โ) | |
9 | 7, 8 | mulcomd 11265 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต))) |
10 | 3, 4, 9 | 3eqtr4d 2778 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 (class class class)co 7420 โcc 11136 ยท cmul 11143 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-ext 2699 ax-mulcl 11200 ax-mulcom 11202 ax-mulass 11204 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-sb 2061 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-rab 3430 df-v 3473 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-br 5149 df-iota 6500 df-fv 6556 df-ov 7423 |
This theorem is referenced by: mul02lem1 11420 addrid 11424 mul31d 11455 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |