![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mul32 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Commutative/associative law. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) |
Ref | Expression |
---|---|
mul32 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulcom 11218 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) | |
2 | 1 | oveq2d 7430 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต))) |
3 | 2 | 3adant1 1128 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต))) |
4 | mulass 11220 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ))) | |
5 | mulass 11220 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต))) | |
6 | 5 | 3com23 1124 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต))) |
7 | 3, 4, 6 | 3eqtr4d 2778 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 (class class class)co 7414 โcc 11130 ยท cmul 11137 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-ext 2699 ax-mulcom 11196 ax-mulass 11198 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-sb 2061 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-rab 3429 df-v 3472 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-nul 4319 df-if 4525 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5143 df-iota 6494 df-fv 6550 df-ov 7417 |
This theorem is referenced by: mul4 11406 mul02lem1 11414 mul32i 11434 mul32d 11448 muldvds1 16251 2sqlem6 27349 cnlnadjlem2 31871 cnlnadjlem7 31876 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |