Theorem addrid 11414

Description: 0 is an additive identity. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
addrid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addrid

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11232	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11195	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0)
3		ax-1ne0 11193	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
4		oveq2 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (1 + 𝑐) = (1 + 0))
5	4	eqeq1d 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → ((1 + 𝑐) = 0 ↔ (1 + 0) = 0))
6	5	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → (1 + 0) = 0))
7		oveq2 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 0) = 0 → (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0))
8		ax-icn 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
9	8, 8	mulcli 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
10	9, 9	mulcli 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ
11		ax-1cn 11182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		0cn 11222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	10, 11, 12	adddii 11245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0))
14	10	mulridi 11237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 1) = ((i · i) · (i · i))
15		mul01 11413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ → (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0)
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0
17		ax-i2m1 11192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
18	16, 17	eqtr4i 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 0) = ((i · i) + 1)
19	14, 18	oveq12i 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
20	13, 19	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
21	20, 16	eqeq12i 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0)
22	10, 9, 11	addassi 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
23	9	mulridi 11237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · 1) = (i · i)
24	23	oveq2i 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = (((i · i) · (i · i)) + (i · i))
25	9, 9, 11	adddii 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1))
26	17	oveq2i 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = ((i · i) · 0)
27		mul01 11413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · i) ∈ ℂ → ((i · i) · 0) = 0)
28	9, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · 0) = 0
29	26, 28	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = 0
30	25, 29	eqtr3i 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = 0
31	24, 30	eqtr3i 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + (i · i)) = 0
32	31	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (0 + 1)
33	22, 32	eqtr3i 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = (0 + 1)
34		00id 11409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 0) = 0
35	34	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0 + 0)
36	33, 35	eqeq12i 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0 ↔ (0 + 1) = (0 + 0))
37		0re 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		readdcan 11408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
39	1, 37, 37, 38	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
40	21, 36, 39	3bitri 300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ 1 = 0)
41	7, 40	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 0) = 0 → 1 = 0)
42	6, 41	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → 1 = 0))
43	42	necon3d 2976	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (1 ≠ 0 → 𝑐 ≠ 0))
44	3, 43	mpi 21	. . . . 5 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → 𝑐 ≠ 0)
45		ax-rrecex 11196	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
46	44, 45	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
47		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
48		simplrl 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48	recnd 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
51		simplll 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℝ)
52	51	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℂ)
53	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	adddid 11257	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)))
55	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
56	55, 52, 53	addassd 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (1 + (𝑐 + 0)))
57		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝑐) = 0)
58	57	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (0 + 0))
59	56, 58	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (0 + 0))
60	34, 59, 57	3eqtr4a 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐))
61	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
62	51, 61	readdcld 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) ∈ ℝ)
63	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
64		readdcan 11408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑐 + 0) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
65	62, 51, 63, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
66	60, 65	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) = 𝑐)
67	66	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
68	54, 67	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
69		mul31 11401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
70	47, 49, 52, 69	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
71		simplrr 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 · 𝑥) = 1)
72	71	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
73	47	mullidd 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
74	70, 72, 73	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = 𝐴)
75		mul01 11413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
76	50, 75	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
77	74, 76	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = (𝐴 + 0))
78	68, 77, 74	3eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
79	78	exp42 441	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))))
80	79	rexlimdv 3161	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)))
81	46, 80	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
82	81	rexlimiva 3155	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
83	1, 2, 82	mp2b 10	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125  ici 11126   + caddc 11127   · cmul 11129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is used by:  cnegex  11415  addlid  11417  addcan2  11419  addridi  11421  addridd  11434  subid  11501  subid1  11502  addid0  11657  swrdccat3blem  14808  shftval3  15149  reim0  15205  isercolllem3  15754  fsumcvg  15798  summolem2a  15801  risefac1  16119  chnccat  18714  cnaddid  19997  ovolicc1  25744  addsqnreup  27679  brbtwn2  29362  axsegconlem1  29374  ax5seglem4  29389  axeuclid  29420  axcontlem2  29422  axcontlem4  29424  gsumzrsum  33505  stoweidlem26  46854  2zrngamnd  49162  aacllem  50772