Theorem addrid 11396

Description: 0 is an additive identity. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
addrid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addrid

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11214	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11177	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0)
3		ax-1ne0 11175	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
4		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (1 + 𝑐) = (1 + 0))
5	4	eqeq1d 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → ((1 + 𝑐) = 0 ↔ (1 + 0) = 0))
6	5	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → (1 + 0) = 0))
7		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 0) = 0 → (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0))
8		ax-icn 11165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
9	8, 8	mulcli 11222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
10	9, 9	mulcli 11222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ
11		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		0cn 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	10, 11, 12	adddii 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0))
14	10	mulridi 11219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 1) = ((i · i) · (i · i))
15		mul01 11395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ → (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0)
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0
17		ax-i2m1 11174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
18	16, 17	eqtr4i 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 0) = ((i · i) + 1)
19	14, 18	oveq12i 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
20	13, 19	eqtri 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
21	20, 16	eqeq12i 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0)
22	10, 9, 11	addassi 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
23	9	mulridi 11219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · 1) = (i · i)
24	23	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = (((i · i) · (i · i)) + (i · i))
25	9, 9, 11	adddii 11227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1))
26	17	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = ((i · i) · 0)
27		mul01 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · i) ∈ ℂ → ((i · i) · 0) = 0)
28	9, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · 0) = 0
29	26, 28	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = 0
30	25, 29	eqtr3i 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = 0
31	24, 30	eqtr3i 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + (i · i)) = 0
32	31	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (0 + 1)
33	22, 32	eqtr3i 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = (0 + 1)
34		00id 11391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 0) = 0
35	34	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0 + 0)
36	33, 35	eqeq12i 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0 ↔ (0 + 1) = (0 + 0))
37		0re 11216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		readdcan 11390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
39	1, 37, 37, 38	mp3an 1489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
40	21, 36, 39	3bitri 300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ 1 = 0)
41	7, 40	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 0) = 0 → 1 = 0)
42	6, 41	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → 1 = 0))
43	42	necon3d 2978	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (1 ≠ 0 → 𝑐 ≠ 0))
44	3, 43	mpi 21	. . . . 5 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → 𝑐 ≠ 0)
45		ax-rrecex 11178	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
46	44, 45	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
47		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
48		simplrl 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48	recnd 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
51		simplll 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℝ)
52	51	recnd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℂ)
53	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	adddid 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)))
55	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
56	55, 52, 53	addassd 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (1 + (𝑐 + 0)))
57		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝑐) = 0)
58	57	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (0 + 0))
59	56, 58	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (0 + 0))
60	34, 59, 57	3eqtr4a 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐))
61	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
62	51, 61	readdcld 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) ∈ ℝ)
63	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
64		readdcan 11390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑐 + 0) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
65	62, 51, 63, 64	syl3anc 1397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
66	60, 65	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) = 𝑐)
67	66	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
68	54, 67	eqtr3d 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
69		mul31 11383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
70	47, 49, 52, 69	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
71		simplrr 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 · 𝑥) = 1)
72	71	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
73	47	mullidd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
74	70, 72, 73	3eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = 𝐴)
75		mul01 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
76	50, 75	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
77	74, 76	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = (𝐴 + 0))
78	68, 77, 74	3eqtr3d 2805	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
79	78	exp42 440	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))))
80	79	rexlimdv 3163	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)))
81	46, 80	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
82	81	rexlimiva 3157	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
83	1, 2, 82	mp2b 10	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254

This theorem is used by:  cnegex  11397  addlid  11399  addcan2  11401  addridi  11403  addridd  11416  subid  11483  subid1  11484  addid0  11639  swrdccat3blem  14783  shftval3  15120  reim0  15176  isercolllem3  15725  fsumcvg  15770  summolem2a  15773  risefac1  16093  chnccat  18688  cnaddid  19946  ovolicc1  25686  addsqnreup  27618  brbtwn2  29266  axsegconlem1  29278  ax5seglem4  29293  axeuclid  29324  axcontlem2  29326  axcontlem4  29328  gsumzrsum  33394  stoweidlem26  46768  2zrngamnd  49040  aacllem  50649