Theorem addrid 11314

Description: 0 is an additive identity. This used to be one of our complex number axioms, until it was found to be dependent on the others. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
addrid	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addrid

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11134	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-rnegex 11099	. 2 ⊢ (1 ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0)
3		ax-1ne0 11097	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
4		oveq2 7361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (1 + 𝑐) = (1 + 0))
5	4	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → ((1 + 𝑐) = 0 ↔ (1 + 0) = 0))
6	5	biimpcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → (1 + 0) = 0))
7		oveq2 7361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 + 0) = 0 → (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0))
8		ax-icn 11087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
9	8, 8	mulcli 11141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
10	9, 9	mulcli 11141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ
11		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		0cn 11126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	10, 11, 12	adddii 11146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0))
14	10	mulridi 11138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 1) = ((i · i) · (i · i))
15		mul01 11313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((i · i) · (i · i)) ∈ ℂ → (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0)
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 0) = 0
17		ax-i2m1 11096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
18	16, 17	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · 0) = ((i · i) + 1)
19	14, 18	oveq12i 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · 1) + (((i · i) · (i · i)) · 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
20	13, 19	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
21	20, 16	eqeq12i 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0)
22	10, 9, 11	addassi 11144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1))
23	9	mulridi 11138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · 1) = (i · i)
24	23	oveq2i 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = (((i · i) · (i · i)) + (i · i))
25	9, 9, 11	adddii 11146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1))
26	17	oveq2i 7364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = ((i · i) · 0)
27		mul01 11313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · i) ∈ ℂ → ((i · i) · 0) = 0)
28	9, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · i) · 0) = 0
29	26, 28	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · ((i · i) + 1)) = 0
30	25, 29	eqtr3i 2754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) · 1)) = 0
31	24, 30	eqtr3i 2754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + (i · i)) = 0
32	31	oveq1i 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + (i · i)) + 1) = (0 + 1)
33	22, 32	eqtr3i 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = (0 + 1)
34		00id 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 0) = 0
35	34	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0 + 0)
36	33, 35	eqeq12i 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) + ((i · i) + 1)) = 0 ↔ (0 + 1) = (0 + 0))
37		0re 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		readdcan 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0))
39	1, 37, 37, 38	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) = (0 + 0) ↔ 1 = 0)
40	21, 36, 39	3bitri 297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((i · i) · (i · i)) · (1 + 0)) = (((i · i) · (i · i)) · 0) ↔ 1 = 0)
41	7, 40	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 0) = 0 → 1 = 0)
42	6, 41	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (𝑐 = 0 → 1 = 0))
43	42	necon3d 2946	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → (1 ≠ 0 → 𝑐 ≠ 0))
44	3, 43	mpi 20	. . . . 5 ⊢ ((1 + 𝑐) = 0 → 𝑐 ≠ 0)
45		ax-rrecex 11100	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
46	44, 45	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1)
47		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
48		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
49	48	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
51		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℝ)
52	51	recnd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑐 ∈ ℂ)
53	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
54	50, 52, 53	adddid 11158	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)))
55	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
56	55, 52, 53	addassd 11156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (1 + (𝑐 + 0)))
57		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝑐) = 0)
58	57	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + 𝑐) + 0) = (0 + 0))
59	56, 58	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (0 + 0))
60	34, 59, 57	3eqtr4a 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐))
61	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℝ)
62	51, 61	readdcld 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) ∈ ℝ)
63	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℝ)
64		readdcan 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑐 + 0) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
65	62, 51, 63, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 + (𝑐 + 0)) = (1 + 𝑐) ↔ (𝑐 + 0) = 𝑐))
66	60, 65	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 + 0) = 𝑐)
67	66	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · (𝑐 + 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
68	54, 67	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐))
69		mul31 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
70	47, 49, 52, 69	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴))
71		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑐 · 𝑥) = 1)
72	71	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑐 · 𝑥) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
73	47	mullidd 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
74	70, 72, 73	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) = 𝐴)
75		mul01 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
76	50, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑥) · 0) = 0)
77	74, 76	oveq12d 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝑥) · 𝑐) + ((𝐴 · 𝑥) · 0)) = (𝐴 + 0))
78	68, 77, 74	3eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑐 · 𝑥) = 1)) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
79	78	exp42 435	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))))
80	79	rexlimdv 3128	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑐 · 𝑥) = 1 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)))
81	46, 80	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑐) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
82	81	rexlimiva 3122	. 2 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ (1 + 𝑐) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴))
83	1, 2, 82	mp2b 10	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  cnegex  11315  addlid  11317  addcan2  11319  addridi  11321  addridd  11334  subid  11401  subid1  11402  addid0  11557  swrdccat3blem  14663  shftval3  15001  reim0  15043  isercolllem3  15592  fsumcvg  15637  summolem2a  15640  risefac1  15958  cnaddid  19767  ovolicc1  25433  addsqnreup  27370  brbtwn2  28868  axsegconlem1  28880  ax5seglem4  28895  axeuclid  28926  axcontlem2  28928  axcontlem4  28930  gsumzrsum  33025  stoweidlem26  46008  2zrngamnd  48219  aacllem  49774