MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02lem1 11392
Description: Lemma for mul02 11394. If any real does not produce 0 when multiplied by 0, then any complex is equal to double itself. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02lem1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต = (๐ต + ๐ต))

Proof of Theorem mul02lem1
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11218 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
2 remulcl 11197 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
31, 2mpan 688 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
4 ax-rrecex 11184 . . . 4 (((0 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)
53, 4sylan 580 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)
65adantr 481 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)
7 00id 11391 . . . . 5 (0 + 0) = 0
87oveq2i 7422 . . . 4 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0)) = (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0)
98eqcomi 2741 . . 3 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) = (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0))
10 simprl 769 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1110recnd 11244 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
12 simplll 773 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1312recnd 11244 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1411, 13mulcld 11236 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
15 simplr 767 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
16 0cn 11208 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
17 mul32 11382 . . . . . 6 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) = (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) ยท ๐ต))
1816, 17mp3an3 1450 . . . . 5 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) = (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) ยท ๐ต))
1914, 15, 18syl2anc 584 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) = (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) ยท ๐ต))
20 mul31 11383 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) = ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ))
2116, 20mp3an3 1450 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) = ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ))
2211, 13, 21syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) = ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ))
23 simprr 771 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)
2422, 23eqtrd 2772 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) = 1)
2524oveq1d 7426 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) ยท ๐ต) = (1 ยท ๐ต))
26 mullid 11215 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
2726ad2antlr 725 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
2825, 27eqtrd 2772 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) ยท ๐ต) = ๐ต)
2919, 28eqtrd 2772 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) = ๐ต)
3014, 15mulcld 11236 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
31 adddi 11201 . . . . . 6 ((((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0)) = ((((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) + (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0)))
3216, 16, 31mp3an23 1453 . . . . 5 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0)) = ((((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) + (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0)))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0)) = ((((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) + (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0)))
3429, 29oveq12d 7429 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) + (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0)) = (๐ต + ๐ต))
3533, 34eqtrd 2772 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0)) = (๐ต + ๐ต))
369, 29, 353eqtr3a 2796 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต = (๐ต + ๐ต))
376, 36rexlimddv 3161 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต = (๐ต + ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255
This theorem is referenced by:  mul02lem2  11393
  Copyright terms: Public domain W3C validator