Theorem mul02lem1 11410

Description: Lemma for mul02 11412. If any real does not produce 0 when multiplied by 0, then any complex is equal to double itself. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02lem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))

Proof of Theorem mul02lem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11234	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		remulcl 11209	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
4		ax-rrecex 11196	. . . 4 ⊢ (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
5	3, 4	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
7		00id 11409	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
8	7	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)
9	8	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0))
10		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11261	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
12		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11261	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11253	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ)
15		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
16		0cn 11222	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
17		mul32 11400	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
18	16, 17	mp3an3 1479	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
19	14, 15, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
20		mul31 11401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
21	16, 20	mp3an3 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
22	11, 13, 21	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
23		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
24	22, 23	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = 1)
25	24	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
26		mullid 11231	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
27	26	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
28	25, 27	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵) = 𝐵)
29	19, 28	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = 𝐵)
30	14, 15	mulcld 11253	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
31		adddi 11213	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
32	16, 16, 31	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
33	30, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
34	29, 29	oveq12d 7431	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)) = (𝐵 + 𝐵))
35	33, 34	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = (𝐵 + 𝐵))
36	9, 29, 35	3eqtr3a 2819	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))
37	6, 36	rexlimddv 3169	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is used by:  mul02lem2  11411