Theorem mul02lem1 11382

Description: Lemma for mul02 11384. If any real does not produce 0 when multiplied by 0, then any complex is equal to double itself. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02lem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))

Proof of Theorem mul02lem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11206	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		remulcl 11181	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
4		ax-rrecex 11168	. . . 4 ⊢ (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
5	3, 4	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
6	5	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
7		00id 11381	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
8	7	oveq2i 7419	. . . 4 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)
9	8	eqcomi 2778	. . 3 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0))
10		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11233	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
12		simplll 786	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11233	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11225	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ)
15		simplr 780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
16		0cn 11194	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
17		mul32 11372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
18	16, 17	mp3an3 1476	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
19	14, 15, 18	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
20		mul31 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
21	16, 20	mp3an3 1476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
22	11, 13, 21	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
23		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
24	22, 23	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = 1)
25	24	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
26		mullid 11203	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
27	26	ad2antlr 739	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
28	25, 27	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵) = 𝐵)
29	19, 28	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = 𝐵)
30	14, 15	mulcld 11225	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
31		adddi 11185	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
32	16, 16, 31	mp3an23 1479	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
33	30, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
34	29, 29	oveq12d 7426	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)) = (𝐵 + 𝐵))
35	33, 34	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = (𝐵 + 𝐵))
36	9, 29, 35	3eqtr3a 2828	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))
37	6, 36	rexlimddv 3178	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244

This theorem is referenced by:  mul02lem2  11383