Theorem mul02lem1 11321

Description: Lemma for mul02 11323. If any real does not produce 0 when multiplied by 0, then any complex is equal to double itself. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02lem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))

Proof of Theorem mul02lem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		remulcl 11123	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
4		ax-rrecex 11110	. . . 4 ⊢ (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
5	3, 4	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
7		00id 11320	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
8	7	oveq2i 7379	. . . 4 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)
9	8	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0))
10		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
12		simplll 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ)
15		simplr 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
16		0cn 11136	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
17		mul32 11311	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
18	16, 17	mp3an3 1453	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
19	14, 15, 18	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
20		mul31 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
21	16, 20	mp3an3 1453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
22	11, 13, 21	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
23		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
24	22, 23	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = 1)
25	24	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
26		mullid 11143	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
27	26	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
28	25, 27	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵) = 𝐵)
29	19, 28	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = 𝐵)
30	14, 15	mulcld 11164	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
31		adddi 11127	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
32	16, 16, 31	mp3an23 1456	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
33	30, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
34	29, 29	oveq12d 7386	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)) = (𝐵 + 𝐵))
35	33, 34	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = (𝐵 + 𝐵))
36	9, 29, 35	3eqtr3a 2796	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))
37	6, 36	rexlimddv 3145	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  mul02lem2  11322