Theorem mul02lem1 11523

Description: Lemma for mul02 11525. If any real does not produce 0 when multiplied by 0, then any complex is equal to double itself. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
mul02lem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))

Proof of Theorem mul02lem1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11347	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		remulcl 11322	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
4		ax-rrecex 11309	. . . 4 ⊢ (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
5	3, 4	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
7		00id 11522	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = 0
8	7	oveq2i 7460	. . . 4 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)
9	8	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0))
10		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
12		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11366	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ)
15		simplr 781	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
16		0cn 11335	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℂ
17		mul32 11513	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
18	16, 17	mp3an3 1480	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
19	14, 15, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
20		mul31 11514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
21	16, 20	mp3an3 1480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
22	11, 13, 21	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
23		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
24	22, 23	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = 1)
25	24	oveq1d 7464	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
26		mullid 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
27	26	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
28	25, 27	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵) = 𝐵)
29	19, 28	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = 𝐵)
30	14, 15	mulcld 11366	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
31		adddi 11326	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
32	16, 16, 31	mp3an23 1483	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
33	30, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
34	29, 29	oveq12d 7467	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)) = (𝐵 + 𝐵))
35	33, 34	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = (𝐵 + 𝐵))
36	9, 29, 35	3eqtr3a 2822	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))
37	6, 36	rexlimddv 3173	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-ov 7452  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-ltxr 11385

This theorem is used by:  mul02lem2  11524