MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02lem1 11437
Description: Lemma for mul02 11439. If any real does not produce 0 when multiplied by 0, then any complex is equal to double itself. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02lem1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))

Proof of Theorem mul02lem1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11263 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 remulcl 11240 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
31, 2mpan 690 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) ∈ ℝ)
4 ax-rrecex 11227 . . . 4 (((0 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
53, 4sylan 580 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
65adantr 480 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
7 00id 11436 . . . . 5 (0 + 0) = 0
87oveq2i 7442 . . . 4 (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)
98eqcomi 2746 . . 3 (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0))
10 simprl 771 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1110recnd 11289 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℂ)
12 simplll 775 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1312recnd 11289 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1411, 13mulcld 11281 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ)
15 simplr 769 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
16 0cn 11253 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
17 mul32 11427 . . . . . 6 (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
1816, 17mp3an3 1452 . . . . 5 (((𝑦 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
1914, 15, 18syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵))
20 mul31 11428 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
2116, 20mp3an3 1452 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
2211, 13, 21syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = ((0 · 𝐴) · 𝑦))
23 simprr 773 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)
2422, 23eqtrd 2777 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 0) = 1)
2524oveq1d 7446 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
26 mullid 11260 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2726ad2antlr 727 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2825, 27eqtrd 2777 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 0) · 𝐵) = 𝐵)
2919, 28eqtrd 2777 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) = 𝐵)
3014, 15mulcld 11281 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
31 adddi 11244 . . . . . 6 ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
3216, 16, 31mp3an23 1455 . . . . 5 (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)))
3429, 29oveq12d 7449 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → ((((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0) + (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · 0)) = (𝐵 + 𝐵))
3533, 34eqtrd 2777 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → (((𝑦 · 𝐴) · 𝐵) · (0 + 0)) = (𝐵 + 𝐵))
369, 29, 353eqtr3a 2801 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((0 · 𝐴) · 𝑦) = 1)) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))
376, 36rexlimddv 3161 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 · 𝐴) ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 = (𝐵 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300
This theorem is referenced by:  mul02lem2  11438
  Copyright terms: Public domain W3C validator