MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02lem1 11390
Description: Lemma for mul02 11392. If any real does not produce 0 when multiplied by 0, then any complex is equal to double itself. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02lem1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต = (๐ต + ๐ต))

Proof of Theorem mul02lem1
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 11216 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
2 remulcl 11195 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
31, 2mpan 689 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
4 ax-rrecex 11182 . . . 4 (((0 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)
53, 4sylan 581 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)
65adantr 482 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)
7 00id 11389 . . . . 5 (0 + 0) = 0
87oveq2i 7420 . . . 4 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0)) = (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0)
98eqcomi 2742 . . 3 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) = (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0))
10 simprl 770 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
1110recnd 11242 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
12 simplll 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1312recnd 11242 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1411, 13mulcld 11234 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
15 simplr 768 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
16 0cn 11206 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
17 mul32 11380 . . . . . 6 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) = (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) ยท ๐ต))
1816, 17mp3an3 1451 . . . . 5 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) = (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) ยท ๐ต))
1914, 15, 18syl2anc 585 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) = (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) ยท ๐ต))
20 mul31 11381 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) = ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ))
2116, 20mp3an3 1451 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) = ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ))
2211, 13, 21syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) = ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ))
23 simprr 772 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)
2422, 23eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) = 1)
2524oveq1d 7424 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) ยท ๐ต) = (1 ยท ๐ต))
26 mullid 11213 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
2726ad2antlr 726 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
2825, 27eqtrd 2773 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท 0) ยท ๐ต) = ๐ต)
2919, 28eqtrd 2773 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) = ๐ต)
3014, 15mulcld 11234 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
31 adddi 11199 . . . . . 6 ((((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0)) = ((((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) + (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0)))
3216, 16, 31mp3an23 1454 . . . . 5 (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0)) = ((((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) + (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0)))
3330, 32syl 17 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0)) = ((((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) + (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0)))
3429, 29oveq12d 7427 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ((((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0) + (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท 0)) = (๐ต + ๐ต))
3533, 34eqtrd 2773 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐ด) ยท ๐ต) ยท (0 + 0)) = (๐ต + ๐ต))
369, 29, 353eqtr3a 2797 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ((0 ยท ๐ด) ยท ๐‘ฆ) = 1)) โ†’ ๐ต = (๐ต + ๐ต))
376, 36rexlimddv 3162 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (0 ยท ๐ด) โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต = (๐ต + ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253
This theorem is referenced by:  mul02lem2  11391
  Copyright terms: Public domain W3C validator