Theorem nosgnn0 27590

Description: ∅ is not a surreal sign. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nosgnn0	⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Proof of Theorem nosgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8398	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	nesymi 2983	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 1o
3		nsuceq0 6387	. . . . 5 ⊢ suc 1o ≠ ∅
4		necom 2979	. . . . . 6 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ suc 1o)
5		df-2o 8381	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	neeq2i 2991	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 2o ↔ ∅ ≠ suc 1o)
7	4, 6	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ 2o)
8	3, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 2o
9	8	neii 2928	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 2o
10	2, 9	pm3.2ni 880	. 2 ⊢ ¬ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o)
11		0ex 5243	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	elpr 4599	. 2 ⊢ (∅ ∈ {1o, 2o} ↔ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o))
13	10, 12	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∅c0 4281  {cpr 4576  suc csuc 6304  1_oc1o 8373  2_oc2o 8374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-nul 5242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-nul 4282  df-sn 4575  df-pr 4577  df-suc 6308  df-1o 8380  df-2o 8381

This theorem is referenced by:  nosgnn0i  27591  sltres  27594  noseponlem  27596  sltso  27608  nosepssdm  27618  nodenselem8  27623  nolt02olem  27626