Theorem nosgnn0 27692

Description: ∅ is not a surreal sign. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nosgnn0	⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Proof of Theorem nosgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8444	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	nesymi 3008	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 1o
3		nsuceq0 6420	. . . . 5 ⊢ suc 1o ≠ ∅
4		necom 3004	. . . . . 6 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ suc 1o)
5		df-2o 8426	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	neeq2i 3016	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 2o ↔ ∅ ≠ suc 1o)
7	4, 6	bitr4i 280	. . . . 5 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ 2o)
8	3, 7	mpbi 232	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 2o
9	8	neii 2953	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 2o
10	2, 9	pm3.2ni 889	. 2 ⊢ ¬ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o)
11		0ex 5251	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	elpr 4601	. 2 ⊢ (∅ ∈ {1o, 2o} ↔ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o))
13	10, 12	mtbir 325	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 856   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∅c0 4280  {cpr 4578  suc csuc 6337  1_oc1o 8418  2_oc2o 8419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-ext 2728  ax-nul 5250

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-sb 2085  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-ne 2952  df-v 3450  df-dif 3902  df-un 3904  df-nul 4281  df-sn 4577  df-pr 4579  df-suc 6341  df-1o 8425  df-2o 8426

This theorem is referenced by:  nosgnn0i  27693  ltsres  27696  noseponlem  27698  ltsso  27710  nosepssdm  27720  nodenselem8  27725  nolt02olem  27728