Theorem nosgnn0 27607

Description: ∅ is not a surreal sign. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nosgnn0	⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Proof of Theorem nosgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8412	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	nesymi 2987	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 1o
3		nsuceq0 6399	. . . . 5 ⊢ suc 1o ≠ ∅
4		necom 2983	. . . . . 6 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ suc 1o)
5		df-2o 8395	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	neeq2i 2995	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 2o ↔ ∅ ≠ suc 1o)
7	4, 6	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ 2o)
8	3, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 2o
9	8	neii 2932	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 2o
10	2, 9	pm3.2ni 880	. 2 ⊢ ¬ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o)
11		0ex 5249	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	elpr 4602	. 2 ⊢ (∅ ∈ {1o, 2o} ↔ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o))
13	10, 12	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∅c0 4284  {cpr 4579  suc csuc 6316  1_oc1o 8387  2_oc2o 8388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-nul 5248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2931  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-nul 4285  df-sn 4578  df-pr 4580  df-suc 6320  df-1o 8394  df-2o 8395

This theorem is referenced by:  nosgnn0i  27608  sltres  27611  noseponlem  27613  sltso  27625  nosepssdm  27635  nodenselem8  27640  nolt02olem  27643