Theorem nosgnn0 27647

Description: ∅ is not a surreal sign. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nosgnn0	⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Proof of Theorem nosgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8420	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	nesymi 2992	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 1o
3		nsuceq0 6402	. . . . 5 ⊢ suc 1o ≠ ∅
4		necom 2988	. . . . . 6 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ suc 1o)
5		df-2o 8403	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	neeq2i 3000	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 2o ↔ ∅ ≠ suc 1o)
7	4, 6	bitr4i 279	. . . . 5 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ 2o)
8	3, 7	mpbi 231	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 2o
9	8	neii 2937	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 2o
10	2, 9	pm3.2ni 886	. 2 ⊢ ¬ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o)
11		0ex 5236	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	elpr 4587	. 2 ⊢ (∅ ∈ {1o, 2o} ↔ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o))
13	10, 12	mtbir 324	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∅c0 4268  {cpr 4564  suc csuc 6319  1_oc1o 8395  2_oc2o 8396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-nul 5235

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-nul 4269  df-sn 4563  df-pr 4565  df-suc 6323  df-1o 8402  df-2o 8403

This theorem is referenced by:  nosgnn0i  27648  ltsres  27651  noseponlem  27653  ltsso  27665  nosepssdm  27675  nodenselem8  27680  nolt02olem  27683