Theorem nosgnn0 27158

Description: ∅ is not a surreal sign. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nosgnn0	⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Proof of Theorem nosgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8487	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	nesymi 2998	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 1o
3		nsuceq0 6447	. . . . 5 ⊢ suc 1o ≠ ∅
4		necom 2994	. . . . . 6 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ suc 1o)
5		df-2o 8466	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	neeq2i 3006	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 2o ↔ ∅ ≠ suc 1o)
7	4, 6	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ 2o)
8	3, 7	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 2o
9	8	neii 2942	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 2o
10	2, 9	pm3.2ni 879	. 2 ⊢ ¬ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o)
11		0ex 5307	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	elpr 4651	. 2 ⊢ (∅ ∈ {1o, 2o} ↔ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o))
13	10, 12	mtbir 322	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  {cpr 4630  suc csuc 6366  1_oc1o 8458  2_oc2o 8459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-nul 4323  df-sn 4629  df-pr 4631  df-suc 6370  df-1o 8465  df-2o 8466

This theorem is referenced by:  nosgnn0i  27159  sltres  27162  noseponlem  27164  sltso  27176  nosepssdm  27186  nodenselem8  27191  nolt02olem  27194