Theorem nosgnn0 28016

Description: ∅ is not a surreal sign. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nosgnn0	⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Proof of Theorem nosgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8496	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	nesymi 3012	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 1o
3		nsuceq0 6448	. . . . 5 ⊢ suc 1o ≠ ∅
4		necom 3008	. . . . . 6 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ suc 1o)
5		df-2o 8478	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	neeq2i 3020	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 2o ↔ ∅ ≠ suc 1o)
7	4, 6	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ 2o)
8	3, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 2o
9	8	neii 2957	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 2o
10	2, 9	pm3.2ni 894	. 2 ⊢ ¬ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o)
11		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	elpr 4608	. 2 ⊢ (∅ ∈ {1o, 2o} ↔ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o))
13	10, 12	mtbir 326	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  {cpr 4585  suc csuc 6364  1_oc1o 8470  2_oc2o 8471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-v 3452  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-sn 4584  df-pr 4586  df-suc 6368  df-1o 8477  df-2o 8478

This theorem is used by:  nosgnn0i  28017  ltsres  28020  noseponlem  28022  ltsso  28034  nosepssdm  28044  nodenselem8  28049  nolt02olem  28052