Theorem nosgnn0 27641

Description: ∅ is not a surreal sign. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nosgnn0	⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Proof of Theorem nosgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8414	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	nesymi 2990	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 1o
3		nsuceq0 6400	. . . . 5 ⊢ suc 1o ≠ ∅
4		necom 2986	. . . . . 6 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ suc 1o)
5		df-2o 8397	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	neeq2i 2998	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 2o ↔ ∅ ≠ suc 1o)
7	4, 6	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ 2o)
8	3, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 2o
9	8	neii 2935	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 2o
10	2, 9	pm3.2ni 881	. 2 ⊢ ¬ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o)
11		0ex 5242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	elpr 4593	. 2 ⊢ (∅ ∈ {1o, 2o} ↔ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o))
13	10, 12	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  {cpr 4570  suc csuc 6317  1_oc1o 8389  2_oc2o 8390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-nul 4275  df-sn 4569  df-pr 4571  df-suc 6321  df-1o 8396  df-2o 8397

This theorem is referenced by:  nosgnn0i  27642  ltsres  27645  noseponlem  27647  ltsso  27659  nosepssdm  27669  nodenselem8  27674  nolt02olem  27677