Theorem nosgnn0 27570

Description: ∅ is not a surreal sign. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nosgnn0	⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Proof of Theorem nosgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8452	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	nesymi 2982	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 1o
3		nsuceq0 6417	. . . . 5 ⊢ suc 1o ≠ ∅
4		necom 2978	. . . . . 6 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ suc 1o)
5		df-2o 8435	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	neeq2i 2990	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 2o ↔ ∅ ≠ suc 1o)
7	4, 6	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ 2o)
8	3, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 2o
9	8	neii 2927	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 2o
10	2, 9	pm3.2ni 880	. 2 ⊢ ¬ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o)
11		0ex 5262	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	elpr 4614	. 2 ⊢ (∅ ∈ {1o, 2o} ↔ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o))
13	10, 12	mtbir 323	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  {cpr 4591  suc csuc 6334  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-nul 4297  df-sn 4590  df-pr 4592  df-suc 6338  df-1o 8434  df-2o 8435

This theorem is referenced by:  nosgnn0i  27571  sltres  27574  noseponlem  27576  sltso  27588  nosepssdm  27598  nodenselem8  27603  nolt02olem  27606