Theorem nosgnn0 27833

Description: ∅ is not a surreal sign. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nosgnn0	⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

Proof of Theorem nosgnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 8470	. . . 4 ⊢ 1o ≠ ∅
2	1	nesymi 3014	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 1o
3		nsuceq0 6446	. . . . 5 ⊢ suc 1o ≠ ∅
4		necom 3010	. . . . . 6 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ suc 1o)
5		df-2o 8452	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
6	5	neeq2i 3022	. . . . . 6 ⊢ (∅ ≠ 2o ↔ ∅ ≠ suc 1o)
7	4, 6	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (suc 1o ≠ ∅ ↔ ∅ ≠ 2o)
8	3, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ∅ ≠ 2o
9	8	neii 2959	. . 3 ⊢ ¬ ∅ = 2o
10	2, 9	pm3.2ni 893	. 2 ⊢ ¬ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o)
11		0ex 5269	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
12	11	elpr 4613	. 2 ⊢ (∅ ∈ {1o, 2o} ↔ (∅ = 1o ∨ ∅ = 2o))
13	10, 12	mtbir 326	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285  {cpr 4590  suc csuc 6362  1_oc1o 8444  2_oc2o 8445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-nul 5268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-nul 4286  df-sn 4589  df-pr 4591  df-suc 6366  df-1o 8451  df-2o 8452

This theorem is used by:  nosgnn0i  27834  ltsres  27837  noseponlem  27839  ltsso  27851  nosepssdm  27861  nodenselem8  27866  nolt02olem  27869