Theorem noseponlem 27689

Description: Lemma for nosepon 27690. Consider a case of proper subset domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
noseponlem	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem noseponlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nodmon 27675	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)
2	1	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ On)
3		nodmord 27678	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → Ord dom 𝐴)
4		ordirr 6384	. . . . . . 7 ⊢ (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
6	5	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
7		ndmfv 6926	. . . . 5 ⊢ (¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
9		nosgnn0 27683	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
10		elno3 27680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ No ↔ (𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o} ∧ dom 𝐵 ∈ On))
11	10	simplbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ No → 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
12	11	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
13		simp3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ dom 𝐵)
14	12, 13	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o})
15		eleq1 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ((𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o} ↔ ∅ ∈ {1o, 2o}))
16	14, 15	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ∅ ∈ {1o, 2o}))
17	9, 16	mtoi 198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ (𝐵‘dom 𝐴) = ∅)
18	17	neqned 2937	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ≠ ∅)
19	18	necomd 2986	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∅ ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
20	8, 19	eqnetrd 2998	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
21		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐴‘𝑥) = (𝐴‘dom 𝐴))
22		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘dom 𝐴))
23	21, 22	neeq12d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑥 = dom 𝐴 → ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)))
24	23	rspcev 3608	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥))
25	2, 20, 24	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥))
26		df-ne 2931	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ ¬ (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
27	26	rexbii 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
28		rexnal 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
29	27, 28	bitri 274	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
30	25, 29	sylib 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∅c0 4323  {cpr 4626  dom cdm 5673  Ord word 6365  Oncon0 6366  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  1_oc1o 8479  2_oc2o 8480   No csur 27664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3465  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-br 5145  df-opab 5207  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-ord 6369  df-on 6370  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-1o 8486  df-2o 8487  df-no 27667

This theorem is referenced by:  nosepon  27690