MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noseponlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noseponlem 27724
Description: Lemma for nosepon 27725. Consider a case of proper subset domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
noseponlem ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem noseponlem
StepHypRef Expression
1 nodmon 27710 . . . 4 (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)
213ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ On)
3 nodmord 27713 . . . . . . 7 (𝐴 No → Ord dom 𝐴)
4 ordirr 6404 . . . . . . 7 (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴 No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
653ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
7 ndmfv 6942 . . . . 5 (¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
86, 7syl 17 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
9 nosgnn0 27718 . . . . . . 7 ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
10 elno3 27715 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 No ↔ (𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o} ∧ dom 𝐵 ∈ On))
1110simplbi 497 . . . . . . . . . 10 (𝐵 No 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
12113ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
13 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ dom 𝐵)
1412, 13ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o})
15 eleq1 2827 . . . . . . . 8 ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ((𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o} ↔ ∅ ∈ {1o, 2o}))
1614, 15syl5ibcom 245 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ∅ ∈ {1o, 2o}))
179, 16mtoi 199 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ (𝐵‘dom 𝐴) = ∅)
1817neqned 2945 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ≠ ∅)
1918necomd 2994 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∅ ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
208, 19eqnetrd 3006 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
21 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐴𝑥) = (𝐴‘dom 𝐴))
22 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐵𝑥) = (𝐵‘dom 𝐴))
2321, 22neeq12d 3000 . . . 4 (𝑥 = dom 𝐴 → ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)))
2423rspcev 3622 . . 3 ((dom 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥))
252, 20, 24syl2anc 584 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥))
26 df-ne 2939 . . . 4 ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
2726rexbii 3092 . . 3 (∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
28 rexnal 3098 . . 3 (∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
2927, 28bitri 275 . 2 (∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
3025, 29sylib 218 1 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  c0 4339  {cpr 4633  dom cdm 5689  Ord word 6385  Oncon0 6386  wf 6559  cfv 6563  1oc1o 8498  2oc2o 8499   No csur 27699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702
This theorem is referenced by:  nosepon  27725
  Copyright terms: Public domain W3C validator