Theorem noseponlem 27583

Description: Lemma for nosepon 27584. Consider a case of proper subset domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
noseponlem	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem noseponlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nodmon 27569	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ On)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ On)
3		nodmord 27572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → Ord dom 𝐴)
4		ordirr 6353	. . . . . . 7 ⊢ (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
6	5	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
7		ndmfv 6896	. . . . 5 ⊢ (¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
9		nosgnn0 27577	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
10		elno3 27574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ No ↔ (𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o} ∧ dom 𝐵 ∈ On))
11	10	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ No → 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
12	11	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
13		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ dom 𝐵)
14	12, 13	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o})
15		eleq1 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ((𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o} ↔ ∅ ∈ {1o, 2o}))
16	14, 15	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ∅ ∈ {1o, 2o}))
17	9, 16	mtoi 199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ (𝐵‘dom 𝐴) = ∅)
18	17	neqned 2933	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ≠ ∅)
19	18	necomd 2981	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∅ ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
20	8, 19	eqnetrd 2993	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
21		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐴‘𝑥) = (𝐴‘dom 𝐴))
22		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘dom 𝐴))
23	21, 22	neeq12d 2987	. . . 4 ⊢ (𝑥 = dom 𝐴 → ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)))
24	23	rspcev 3591	. . 3 ⊢ ((dom 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥))
25	2, 20, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥))
26		df-ne 2927	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ ¬ (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
27	26	rexbii 3077	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
28		rexnal 3083	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
29	27, 28	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))
30	25, 29	sylib 218	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴‘𝑥) = (𝐵‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  ∅c0 4299  {cpr 4594  dom cdm 5641  Ord word 6334  Oncon0 6335  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  1_oc1o 8430  2_oc2o 8431   No csur 27558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-1o 8437  df-2o 8438  df-no 27561

This theorem is referenced by:  nosepon  27584