MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noseponlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noseponlem 27689
Description: Lemma for nosepon 27690. Consider a case of proper subset domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
noseponlem ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem noseponlem
StepHypRef Expression
1 nodmon 27675 . . . 4 (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ On)
3 nodmord 27678 . . . . . . 7 (𝐴 No → Ord dom 𝐴)
4 ordirr 6384 . . . . . . 7 (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴 No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
653ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
7 ndmfv 6926 . . . . 5 (¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
86, 7syl 17 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
9 nosgnn0 27683 . . . . . . 7 ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
10 elno3 27680 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 No ↔ (𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o} ∧ dom 𝐵 ∈ On))
1110simplbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝐵 No 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
12113ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
13 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ dom 𝐵)
1412, 13ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o})
15 eleq1 2814 . . . . . . . 8 ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ((𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o} ↔ ∅ ∈ {1o, 2o}))
1614, 15syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ∅ ∈ {1o, 2o}))
179, 16mtoi 198 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ (𝐵‘dom 𝐴) = ∅)
1817neqned 2937 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ≠ ∅)
1918necomd 2986 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∅ ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
208, 19eqnetrd 2998 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
21 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐴𝑥) = (𝐴‘dom 𝐴))
22 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐵𝑥) = (𝐵‘dom 𝐴))
2321, 22neeq12d 2992 . . . 4 (𝑥 = dom 𝐴 → ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)))
2423rspcev 3608 . . 3 ((dom 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥))
252, 20, 24syl2anc 582 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥))
26 df-ne 2931 . . . 4 ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
2726rexbii 3084 . . 3 (∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
28 rexnal 3090 . . 3 (∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
2927, 28bitri 274 . 2 (∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
3025, 29sylib 217 1 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  c0 4323  {cpr 4626  dom cdm 5673  Ord word 6365  Oncon0 6366  wf 6540  cfv 6544  1oc1o 8479  2oc2o 8480   No csur 27664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3421  df-v 3465  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-br 5145  df-opab 5207  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-ord 6369  df-on 6370  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-1o 8486  df-2o 8487  df-no 27667
This theorem is referenced by:  nosepon  27690
  Copyright terms: Public domain W3C validator