MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noseponlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noseponlem 27167
Description: Lemma for nosepon 27168. Consider a case of proper subset domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
noseponlem ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem noseponlem
StepHypRef Expression
1 nodmon 27153 . . . 4 (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ On)
3 nodmord 27156 . . . . . . 7 (𝐴 No → Ord dom 𝐴)
4 ordirr 6383 . . . . . . 7 (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴 No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
653ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
7 ndmfv 6927 . . . . 5 (¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
86, 7syl 17 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
9 nosgnn0 27161 . . . . . . 7 ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
10 elno3 27158 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 No ↔ (𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o} ∧ dom 𝐵 ∈ On))
1110simplbi 499 . . . . . . . . . 10 (𝐵 No 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
12113ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
13 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ dom 𝐵)
1412, 13ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o})
15 eleq1 2822 . . . . . . . 8 ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ((𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o} ↔ ∅ ∈ {1o, 2o}))
1614, 15syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ∅ ∈ {1o, 2o}))
179, 16mtoi 198 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ (𝐵‘dom 𝐴) = ∅)
1817neqned 2948 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ≠ ∅)
1918necomd 2997 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∅ ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
208, 19eqnetrd 3009 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
21 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐴𝑥) = (𝐴‘dom 𝐴))
22 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐵𝑥) = (𝐵‘dom 𝐴))
2321, 22neeq12d 3003 . . . 4 (𝑥 = dom 𝐴 → ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)))
2423rspcev 3613 . . 3 ((dom 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥))
252, 20, 24syl2anc 585 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥))
26 df-ne 2942 . . . 4 ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
2726rexbii 3095 . . 3 (∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
28 rexnal 3101 . . 3 (∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
2927, 28bitri 275 . 2 (∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
3025, 29sylib 217 1 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  c0 4323  {cpr 4631  dom cdm 5677  Ord word 6364  Oncon0 6365  wf 6540  cfv 6544  1oc1o 8459  2oc2o 8460   No csur 27143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-1o 8466  df-2o 8467  df-no 27146
This theorem is referenced by:  nosepon  27168
  Copyright terms: Public domain W3C validator