Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  noseponlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noseponlem 32357
Description: Lemma for nosepon 32358. Consider a case of proper subset domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
noseponlem ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem noseponlem
StepHypRef Expression
1 nodmon 32343 . . . 4 (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)
213ad2ant1 1169 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ On)
3 nodmord 32346 . . . . . . 7 (𝐴 No → Ord dom 𝐴)
4 ordirr 5982 . . . . . . 7 (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐴 No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
653ad2ant1 1169 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
7 ndmfv 6464 . . . . 5 (¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴 → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
86, 7syl 17 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) = ∅)
9 nosgnn0 32351 . . . . . . 7 ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
10 elno3 32348 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 No ↔ (𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o} ∧ dom 𝐵 ∈ On))
1110simplbi 493 . . . . . . . . . 10 (𝐵 No 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
12113ad2ant2 1170 . . . . . . . . 9 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → 𝐵:dom 𝐵⟶{1o, 2o})
13 simp3 1174 . . . . . . . . 9 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → dom 𝐴 ∈ dom 𝐵)
1412, 13ffvelrnd 6610 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o})
15 eleq1 2895 . . . . . . . 8 ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ((𝐵‘dom 𝐴) ∈ {1o, 2o} ↔ ∅ ∈ {1o, 2o}))
1614, 15syl5ibcom 237 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ((𝐵‘dom 𝐴) = ∅ → ∅ ∈ {1o, 2o}))
179, 16mtoi 191 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ (𝐵‘dom 𝐴) = ∅)
1817neqned 3007 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐵‘dom 𝐴) ≠ ∅)
1918necomd 3055 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∅ ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
208, 19eqnetrd 3067 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴))
21 fveq2 6434 . . . . 5 (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐴𝑥) = (𝐴‘dom 𝐴))
22 fveq2 6434 . . . . 5 (𝑥 = dom 𝐴 → (𝐵𝑥) = (𝐵‘dom 𝐴))
2321, 22neeq12d 3061 . . . 4 (𝑥 = dom 𝐴 → ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)))
2423rspcev 3527 . . 3 ((dom 𝐴 ∈ On ∧ (𝐴‘dom 𝐴) ≠ (𝐵‘dom 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥))
252, 20, 24syl2anc 581 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥))
26 df-ne 3001 . . . 4 ((𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
2726rexbii 3252 . . 3 (∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
28 rexnal 3204 . . 3 (∃𝑥 ∈ On ¬ (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
2927, 28bitri 267 . 2 (∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ (𝐵𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
3025, 29sylib 210 1 ((𝐴 No 𝐵 No ∧ dom 𝐴 ∈ dom 𝐵) → ¬ ∀𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) = (𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  wrex 3119  c0 4145  {cpr 4400  dom cdm 5343  Ord word 5963  Oncon0 5964  wf 6120  cfv 6124  1oc1o 7820  2oc2o 7821   No csur 32333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-ord 5967  df-on 5968  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-1o 7827  df-2o 7828  df-no 32336
This theorem is referenced by:  nosepon  32358
  Copyright terms: Public domain W3C validator