MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nofv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nofv 27157
Description: The function value of a surreal is either a sign or the empty set. (Contributed by Scott Fenton, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nofv (𝐴 No → ((𝐴𝑋) = ∅ ∨ (𝐴𝑋) = 1o ∨ (𝐴𝑋) = 2o))

Proof of Theorem nofv
StepHypRef Expression
1 pm2.1 895 . . 3 𝑋 ∈ dom 𝐴𝑋 ∈ dom 𝐴)
2 ndmfv 6926 . . . . 5 𝑋 ∈ dom 𝐴 → (𝐴𝑋) = ∅)
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 No → (¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴 → (𝐴𝑋) = ∅))
4 nofun 27149 . . . . 5 (𝐴 No → Fun 𝐴)
5 norn 27151 . . . . 5 (𝐴 No → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
6 fvelrn 7078 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐴𝑋 ∈ dom 𝐴) → (𝐴𝑋) ∈ ran 𝐴)
7 ssel 3975 . . . . . . . 8 (ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o} → ((𝐴𝑋) ∈ ran 𝐴 → (𝐴𝑋) ∈ {1o, 2o}))
86, 7syl5com 31 . . . . . . 7 ((Fun 𝐴𝑋 ∈ dom 𝐴) → (ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o} → (𝐴𝑋) ∈ {1o, 2o}))
98impancom 452 . . . . . 6 ((Fun 𝐴 ∧ ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o}) → (𝑋 ∈ dom 𝐴 → (𝐴𝑋) ∈ {1o, 2o}))
10 1oex 8475 . . . . . . 7 1o ∈ V
11 2on 8479 . . . . . . . 8 2o ∈ On
1211elexi 3493 . . . . . . 7 2o ∈ V
1310, 12elpr2 4653 . . . . . 6 ((𝐴𝑋) ∈ {1o, 2o} ↔ ((𝐴𝑋) = 1o ∨ (𝐴𝑋) = 2o))
149, 13imbitrdi 250 . . . . 5 ((Fun 𝐴 ∧ ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o}) → (𝑋 ∈ dom 𝐴 → ((𝐴𝑋) = 1o ∨ (𝐴𝑋) = 2o)))
154, 5, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 No → (𝑋 ∈ dom 𝐴 → ((𝐴𝑋) = 1o ∨ (𝐴𝑋) = 2o)))
163, 15orim12d 963 . . 3 (𝐴 No → ((¬ 𝑋 ∈ dom 𝐴𝑋 ∈ dom 𝐴) → ((𝐴𝑋) = ∅ ∨ ((𝐴𝑋) = 1o ∨ (𝐴𝑋) = 2o))))
171, 16mpi 20 . 2 (𝐴 No → ((𝐴𝑋) = ∅ ∨ ((𝐴𝑋) = 1o ∨ (𝐴𝑋) = 2o)))
18 3orass 1090 . 2 (((𝐴𝑋) = ∅ ∨ (𝐴𝑋) = 1o ∨ (𝐴𝑋) = 2o) ↔ ((𝐴𝑋) = ∅ ∨ ((𝐴𝑋) = 1o ∨ (𝐴𝑋) = 2o)))
1917, 18sylibr 233 1 (𝐴 No → ((𝐴𝑋) = ∅ ∨ (𝐴𝑋) = 1o ∨ (𝐴𝑋) = 2o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3948  c0 4322  {cpr 4630  dom cdm 5676  ran crn 5677  Oncon0 6364  Fun wfun 6537  cfv 6543  1oc1o 8458  2oc2o 8459   No csur 27140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1o 8465  df-2o 8466  df-no 27143
This theorem is referenced by:  nolesgn2o  27171  nogesgn1o  27173  nosep1o  27181  nosep2o  27182  nolt02o  27195  nogt01o  27196  nosupbnd1lem5  27212  nosupbnd1lem6  27213  noinfbnd1lem5  27227  noinfbnd1lem6  27228
  Copyright terms: Public domain W3C validator